一元二次不等式及其解法课件

1 2
, 32
)
【活学活用】
1.已知函数f(x)=(ax-1)·(x+b)，如果不
等式f(x)>0的解集是(-1,3)，则不等式
f(-2x)<0的解集是( A)
(A)(-∞,
3 2
)∪( 12
,+∞)
(B)( 3 , 1) 22
(C)(-∞,
12)∪(
3 2
,+∞)
(D)(
1 2
, 32
)
思维拓展：高次不等式穿根法
基础 篇
例1：解下列一元二次不等式
(1)x2 3x 4 0; (2) x2 x 3 1; (3)2x2 3x 2 0; (4)4x2 12x 9 0.
例1：解下列一元二次不等式
(1)x2 3x 4 0;-，-1 U4，+
(2) x2 x 3 1;-1, 2
专题二
一元二次不等式及其解法
学习目标
❖ 学习目标: 通过复习进一步理解“三个二次”的关 系，掌握一元二次不等式的解法并会实际运用。
❖ 学法指导：体会数形结合、分类讨论的思想方法， 加强计算能力的培养。
❖ 学习重点、难点：一元二次不等式的解法及其步骤、 恒成立问题、实际应用问题。
[导入新知] 【概念回顾】 1．一元二次不等式 我们把只含有 一个 未知数，并且未知数的 最高次数是2 的 不等式，称为一元二次不等式，即形如 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或 ax2＋ bx＋c＜0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
[类题通法] 解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小 于 0 进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【活学活用】 2.解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
没有实数 根
判别式 Δ＝b2－ Δ>0
4ac
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋ c>0(a>0) 的解集
x|x<x1 或 x>x2}
x|x≠－2ba
R
ax2＋bx＋
x|x <x<x
1
2
∅
∅
c<0(a>0) 的解集
[化解疑难] 一元二次方程的根对应于二次函数图象与 x 轴的交点，一 元二次不等式的解对应于二次函数图象在 x 轴上方(下方)，或 在 x 轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与 x 轴的 交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二 次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．
(3)2x2 3x 2 0;
(4)4 x 2
12 x
9
0.
3 2
或
x
|
x
3 2
类题通法 求解一元二次不等式一般步骤：
1、化标准：变为ax2+bx+c>0（ a>0）即一端为零且二次项系数 化为正； 2、计算判别式△； 3、当△>0 时解方程ax2+bx+c=0 ，求两个根； △<0或△=0时， 画二次函数图像； 4、根据图像写解集。
总结:此法称为穿根法.在解高次不等式与分式不等式中简洁明了, 可迅速得出不等式的解集.口诀：右上角进入，奇过偶不过！！！
练 习
解不等式(x+2)4(x+1)3(2-x)(x-1)2x<0.
练 习
解不等式(x+2)4(x+1)3(2-x)(x-1)2x<0.
解： (x+2)4(x+1)3(2-x)(x-1)2x<0可化为(x+2)4(x+1)3(x-2)(x-1)2x>0,
解集规则： 当a>0时，大于取两边，小于取中间
【活学活用】
1.已知函数f(x)=(ax-1)·(x+b)，如果不
等式f(x)>0的解集是(-1,3)，则不等式
f(-2x)<0的解集是( )
(A)(-∞,
3 2
)∪( 12
,+)∪(
3 2
,+∞)
(D)(
【活学活用】 2.解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
①当a=0时，原不等式变为-x+1<0，解得x>1;
②当a≠0时，原不等式可因式分解为 x 1ax 1 0 即
a
x
- 1(x
-
1 a
)<
0.
若a<0，则上式即为
x
1 (x
1) a
0，
又因为
1 a
(x+2)4(x+1)3(2-x)(x-1)2x=0的根为-2,-1,0,1,2,
利用穿根法，如图：
-2 -1 0 1 2 ∴原不等式的解集为 (－1,0)∪(2, +∞) .
[例 2] 解关于 x 的不等式 x2＋(1－a)x－a＜0.
[例 2] 解关于 x 的不等式 x2＋(1－a)x－a＜0. [解] 方程 x2＋(1－a)x－a＝0 的解为 x1＝－1，x2＝a，函数 y＝x2＋(1－a)x－a 的图象开口向上，则当 a＜－1 时，原不等式 解集为{x|a＜x＜－1}； 当 a＝－1 时，原不等式解集为∅； 当 a＞－1 时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
思考下列式子是否为一元二次不等式：
（1）x2 0；（2）x2 +m x 3 0；（3）ax2 +x 2 0
2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 x的值 ，叫做这个一元二次不等式 的 解 ，其解的 集合 ，称为这个一元二次不等式的 解集 . [化解疑难]
1．定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式， 应严格按照定义去判断，即未知数只有 1 个，未知数的最高次数 是 2，且最高次的系数不能为 0.
例 解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
解： (x-1)(x-2)(x-3)=0的三个根分别为1,2,3, 如图,在数轴上标出3个实根,
这个不等式是3次的！ 零点分界法
+
+
-1 2 - 3
图中标”+”号的区间即为不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0的解
集. ∴(x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x|1<x<2或x>3}.
2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集 合或区间的形式.
[导入新知]
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
如表
判别式 Δ＝b2
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
－4ac
一元二次方程 有两相异 有两相等 ax2＋bx＋c＝ 实根 x1， 实根 x1＝x2
0(a>0)的根 x2，(x1＜x2) ＝－2ba