稳态误差的计算

3-6 控制系统的稳态误差
系统响应的稳态分量(例如t>ts的输出分量）反映了 系统跟踪给定控制信号或希望输出信号的准确度或抑制 扰动信号的恢复能力。通常用稳态误差来衡量。它与系 统本身的结构、参数及外作用的形式有关，也与元件的 不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦 等因素有关。本书只讨论由于系统结构、参数及外作用 等因素所引起的稳态误差，即原理性误差。
1
r t Cr (t) 1t
0.8
0.6
G

G1G2

50
s 1.67s
1
bt C(t)
et 1t C(t)
0.4
0.2
ess

lim e(t)
t

lim[r(t) b(t)]
t
1 1
>> step(feedback(tf(50*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),0:.01:35)
ess

lim
s0
sR(s) 1 Gk (s)

1
1
lim
s0
Gk
(s)

1 lim s0
1 K s
G0 (s)

1 1 Kp
式中：K p

lim
s0
当 0时，K p
Gk (s) lim
s0
称为位置误差系数； KG0 (s) K , ess
1
1 K
当
1时，K p
lim[S 1R(s)]

s0
K
lim S
s0
lim
s0
1
sR(s) lim
K sv
G0 (s)
s0

(3ess与64) K
R(s)
s v 1 R( s ) K sv
系统型别 开环增益有关 输入信号
单位阶跃函数输入时的稳态误差
当输入为 R(s) 1 时（单位阶跃函数） s
s2Gk (s)
称为加速度误差系数；
当 当 当

0,1时，Ka

lim
s0
s(1,2)KG0 (s)


2时，Ka

lim
s0
KG0 (s)

K
,

3时，Ka

lim
s0
K s
G0 (s)

,
0, ess
ess

1 K
ess 0


Ka 反映了系统跟踪抛物线输入的能力。
0型与Ⅰ型系统稳态时不能跟踪加速度输入
1.2
Settling Time (sec): 6.81
System: untitled2
Final Value: 1
1
Amplitude
0.8
System: untitleGd1 G1G2
Settling Time (sec): 2.86
s 1
10 1.67s 1
System: untitled1 Final Value: 0.909
35
从图形中体会误差和稳态误差
Time (sec)
当输入为R(s) 1 时（单位斜坡函数） 单位斜坡函数输入时的稳态误差 s2
ess

lim
s0
sR(s) 1 Gk (s)

lim
s0
1 s Gk (s)

lim
s0
1
K s 1
G0
(s)

1 Kv
式中：Kvlim来自s0lim
s0
K s
G0 (s)

,
ess 0
K p 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。K p 越大，ess 越 小。所以说 K p 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。
如果要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用Ⅰ型及Ⅰ 型以上的系统。习惯上，阶跃输入作用下的稳态误差称为静差
>> step(feedback(tf(10*[0.0,1],conv([1,0],[1.67,1])),1),0:.01:35)
0
0
5
10
15
20
25
30
35
单位反馈情况：
Time (sec)
一
从图形和公式中体会误差和稳态误差
Step Response
ess

lim e(t)
t

ltim[Cr (t) C(t)] 0.5 0.5
1
r(t)=1(t)
N(s)
R(t) E(s)
+
0.8
-
H(s)=2
C(t)
➢ 给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差）
➢ 扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）
给定输入量变化时，要求系统输出量以一定的精度 跟随输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的 稳态性能。给定输入量不变时，需要分析输出量在扰动 作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统 的稳态性能。
一、稳态误差的定义和基本概念
80 8,1],[4,1]),conv([1,0],conv([1,0
误差
],[6,1]))),1),u,t)
60 K=0.14,0.04,0.0094
K 8s 14s 1 r(t) 40 G s2 6s 1
K＝0.04 K＝0.0094
20
Amplitude
0
0
5
10
15
Time (sec)
s0

lim
s0
s as
1
K bs2 cs 1

速度误差
系数为
Kv

lim sG
s0
s

lim
s0
s
s as
1
K bs2 cs 1
K
加速度误
差系数为
Ka

lim s2G s
s0

lim s2
s0

s as
1
K bs2 cs 1
Amplitude
14
r t Cr (t) t输入
12
ess
lim e(t) lim[r(t) b(t)] t (t 1/ K)
t
t
10
K=5
K=1
8
6
G K Td s 1 s 1.67s 1
Td 0
4
K=0.3
阶跃响应
2
0
0
2
4
6
System: untitled4
0.6
Final Value: 0.5
0.4
System: untitled4
1
0.2
Settling Time (sec): 2.49
G G1G2 s 1 1.67s 1
0 0
>> ste5p(feedbac10k(tf(1*[0.015,1],conv(2[10,1],[1.672,51])),1),0:.3001:35)
例3-11 单位反馈控制系统的开环传递函数为
G
s

s
as
K
1 bs 2

cs
1
试求：(1)位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数； (2)当参考输入为r×1(t)，rt×l(t)和rt2×1(t)时系统的 稳态误差。
解：根据误差系数公式，有位置误差系数为
Kp

limG s

lim[r(t)
t
b(t)]
稳态误差的定义：对于稳定的系统，误差信号 的稳态分量称为系统的稳态误差，以 es表s 示。
一
稳态误差的定义
二、给定输入作用下系统的误差分析
给定输入时的稳态误差
这时，不考虑扰动的影响。
R(s)
E(s)
可以写出随动系统的误差 ：
-
E(s) 1 R(s) 1 R(s)
R(s) E(s)
-
N(s)
+
C(s)
（2）输入端定义法：e(t) r(t) b(t)
-
B(s)
式中： r(t)为给定输入；
b(t)为系统主反馈信号。
图 典型反馈系统结构图
H（s）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的），故 此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。
误差的定义
注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念
从图形和公式中体会误差和稳态误差 Step Response
2
N(s)
1.8
R(t) E(s)
+
C(s)
Amplitude
1.6
1.4
C(t)=b(t)
-
H(s)=1
B(s)
System: untitled1
1.2
Settling Time (sec): 7.54
System: untitled2
Final Value: 1
取不同的ν 稳态误差
静态误差系数
R·1(t) V·t At2/2 R·1(t) V·t At2/2
R
0型 1+ k
∞∞
k 00
Ⅰ型 0
V
k
∞
∞
k0
Ⅱ型 0
0
A
k
∞
∞k
esr小s(=t)结=1R+：·1Rl(s123it→m)0
Kp=e?ss= sKKkν va==??