2.3常用的离散型分布(1)
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的 概 率 为0.005(设 短 时 间 内 最 多 发 生 一次 断 头).求 在 这 段 时 间 内
总 共 发 生 的 断 头 次 数 超过2的 概 率.
解 : 设X为800个纺锭在该段时间内发生的断头次数,则X ~ B(800 ,0.005 )
800
800
P{X 2}
P{X k}
Ck 800
k!
的 泊 松 分 布, 记 作X ~ P().
历 史 上 ， 泊 松 分 布 是 作为 二 项 分 布 的 近 似 ， 于1837年 由 法 国 数 学 家Poisson引 入 的 。
常 见 的 服 从 泊 松 分 布 的随 机 现 象(：随 机 现 象 的 “ 基 本 粒 子”) 容 器 内 的 细 菌 数, 十 字 路 口 的 交 通 事 故, 寻 呼 台 的 寻 呼 次 数, 候车室内旅客人数, 放射性物质分裂到某一区域的质点数等等.
解：设X是1000片芯片中次品数，则X ~ B(1000 ,0.001)
P{X
2}
1000
P{X
k}
1000C1k000(0.001)k
(1
0.001)nk
k2
k2
10001k
e
1
k2 k!
( np 1)
1
1
1k e 1
k0 k!
1 (e1 e1) 1 2 0.367879 0.2642
易 见, P{ X k} k e e e 1 归 一 性
k 0
k0 k!
ex
xn
n0 n!
(1)期 望
EX kP{ X k}
k
e
k 1 e
k 0
k1 (k 1)!
k10 (k 1)!
e e
EX
(2)方 差: DX EX 2 (EX )2
DX
例5 :
n(n 1) (n k 1) n k 1 n nk
k!
n n
kn (1 1 )(1 2 ) (1 k 1)(1 n )nk
k! n n
n
n
对 固 定 的k, n 时, kn k ,
(1 1 )(1 2) (1 k 1) 1,
nn
n
(1 n )nk e
n
附录2 : 二项分布期望与方差的证明
模型背景:
若 在N件 产 品 中 有M件 废 品, 现 在 进 行n次 不 放 回 抽 样,问 共 抽
得k件废品的概率.
由古典概型解得: P{X
k}
C
k M
C
nk NM
C
n N
超几何分布与二项分布的关系: 不放回与有放回的区别
3.性 质
不妨令：M N1, N M N2 ,即N1 N2 M
4.超几何分布的期望和方差（了解）
EX n N1 N
DX n N1 N2 N n N N N 1
2.3.7 泊松分布(Poisson)---二项分布的极限
1.Def :
设 随 机 变 量 的 一 切 可 能取 值 为0,1,2, ,而 取 各 个 值 的 概 率 为
P{ X k} k e ,其 中k 0,1,2, , 0.则 称X服 从 参 数 为
则X的
分
布
函
数
为F (
x)
0 1
xc (a)
xc
c
x
EX c DX 0
2.3.2 0 1分布(两点分布)
Def 1 :
若 随 机 变 量X只 取0和1两 个 数 值, 则 其 概 率 分 布 为
P{ X x} px (1 p)1x pxq1x , x 0,1 0 p 1
或表示为 X
附 录1: Th :Poisson定 理 的 证 明
在n重 伯 努 利 试 验 中,以pn代 表 事 件A在 试 验 中 出 现 的 概 率,它 与
试
pr
验次 :记n
数n有 关, 如npn
npn ,则pn
n
n
,则当n
(npn比 较 适 中)
时,
B(n,
pn
)
k
k!
e
.
则B(n, pn ) Cnk pnk (1 pn )nk
n
EX 2
k
2C
k n
pk q nk
n(n
1)
p2
np
k 1
DX EX 2 (EX )2 n(n 1) p2 np (np)2 npq
EX np
DX npq
0
1
P
1 p
p
q 1 p
则此时称X服从(0 1)分布,又称伯努利(Bernoulli)分布或两点分布.
Def 2 :
对 这 种 只 描 述 了 两 种 对立 结 果 的 随 机 试 验, 称 为 伯 努 利 试 验.习 惯 上, 把 伯 努 利 试 验 的 一 种 结果, 称 作"成 功",另 一 种 结 果 称 为"失 败".
Th: 对于固定的n,当N , N1 p时, N2 1 p有 :
N
N
P{ X
k}
C C k nk N1 N2
C
n N
C
k n
pk q nk
其中q 1 p
应用：
当N很 大, n相 对 于N较 小 时,比 如 n 不 超 过5% ,超 几 何 分 布 可 以 用 N
二 项 分 布 的 公 式 近 似 计算., 则 当n Nhomakorabea时,
B(n,
pn )
k
k!
e
.
上述定理表明:当n很大, p很小而np 适中时,
有以下近似表达式: (二项分布的泊松逼近)
Cnk pk (1
p)nk
(np)k k!
e np
(np )
k e的值可以查书后附表
k!
例6 : 纺织厂女工照顾800个纺锭, 每一纺锭在某一短时间内发生断头
(0.005
)k
(1
0.005
)
n
k
k 3
k3
800 4k e 4
k3 k!
( np 4)
1 2 4k e4
k0 k!
1 (0.018316 0.073263 0.146525)
1 0.238104 0.761896
EX :
一 个 计 算 机 公 司 生 产 一种 型 号 的 微 型 芯 片 ， 每一 芯 片 有0.1% 的 概 率 为 次 品 ， 且 各 芯片 是 否 成 为 次 品 是 相 互独 立 的 ， 求1000片 芯 片 中 至 少 有 两 块 是 次品 的 概 率.
几何分布描述了n重伯努利试验中，首次成功发生在 第k次的概率。
EX 1 p
DX
q p2
性质：设X服从几何分布，则对任何两个正整数m, n, 有 P{X m n X m} P{X n} (无记忆性P59例2.19)
2.3.5 二项分布
1.Def :
若 随 机 变 量X的 分 布 律 为P{ X
设 某 城 市 每 年 因 交 通 事故 死 亡 的 人 数 服 从 泊 松分 布.据 统 计 在 一 年 中
因交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的1 .计算一年中因交通 2
事 故 至 少 死 亡3人 的 概 率.
解 : 设随机变量X表示一年内因交通事故死亡的人数
首 先 求X的 分 布 参 数
P{ X
§2.3 常用的离散型分布
2.3.1 退 化 分 布(单 点 分 布)
并 称X服 从 退 化 分 布 或 单 点 分布.
例1: 设随机变量X只取一个值c,即P{X c} 1,求X的分布函数.
解 : F(x)
pk
xk x
0
1
xc
F ( x)
xc
1
Def : 若 随 机 变 量X只 取 一 个 常 数 值c,即P{ X c} 1,
k}
C
k n
pkqnk (k
0,12,
, n),
其 中0 p 1, q 1 p.则 称X服 从 参 数 为n, p的 二 项 分 布,
记 作X ~ B(n, p)或b(k;n, p).
模型背景：
在n重 伯 努 利 试 验 中 ， 设 每次 试 验A发 生 的 概 率 为p, 则 在n次 试验中A恰好发生k次的概率：P{ X k} Cnk pkqnk
更 一 般 的 ， 若 随 机 变 量X只 取x1和x2两 个 数 值, 则 其 概 率 分 布 为
表示为 X x1 x2 P p 1 p
0 p1
2.3.3 n个点上的均匀分布(离散的均匀分布）
Def :
若 随 机 变 量X的 概 率 分 布 为P{ X
xi }
1 n
,i
1,2,
, n,则 称X服 从
随 机 变 量X的 分 布 律 为P{ X
k
}
C
k n
pkqnk (k
0,12,
, n)
EX np
DX npq
2.3.6 超几何分布
Def :
若 随 机 变 量X的 分 布 律 为P{ X
k}
C
k M
C
nk N M
C
n N
(k
0,12,
,min{M , n}),
则称X服从超几何分布, 记作X ~ H (n, M , N ).
(1)期 望
EX
k
xk
pk
n
kCnk
k 0
pk qnk
n
k
k 0
n! k!(n k)!
p k q nk
n
np(n 1)!
p q k 1 n1(k 1)
k1 (k 1)![n 1 (k 1)]!
令k k 1
n1
np np
C
k n1
P
q k n1k
np (
p q )n1
k0
(2)方 差: DX EX 2 (EX )2
1}
1 2
P{ X
2}
e
1 2
2
2
e
4
P{X 3} 1 P{X 2}
查附表1,可得P{ X 3} 0.761896
2.Th2.4 :Poisson定 理(P61)
在n重 伯 努 利 试 验 中,以pn代 表 事 件A在 试 验 中 出 现 的 概 率,它 与
试 验 次 数n有 关, 如npn
n个 点{ x1, x2 , , xn }上 的 均 匀 分 布.
易见: EX
1 n
n i 1
xi
x
DX
1 n
n
( xi
i 1
x)2
2.3.4 几何分布
Def :(P59)
若随机变量X的概率分布为P{X k} pqk1, k 1,2, 其中0 P 1, q 1 p.则称X服从几何分布, 记为X ~ G( p).
Def : 重复进行n次独立的伯努利试验, 称为n重伯努利试验.
常 见 模 型 ： 有 放 回 的 取球 模 型
注解 :
1.0 1分布是二项分布在n 1的时候的特例: n 1, P{ X 0} C10 p0q10 q, P{ X 1} C11 p1q11 p
2.二 项 分 布B(n, p)的 期 望 和 方 差(P58)
总 共 发 生 的 断 头 次 数 超过2的 概 率.
解 : 设X为800个纺锭在该段时间内发生的断头次数,则X ~ B(800 ,0.005 )
800
800
P{X 2}
P{X k}
Ck 800
k!
的 泊 松 分 布, 记 作X ~ P().
历 史 上 ， 泊 松 分 布 是 作为 二 项 分 布 的 近 似 ， 于1837年 由 法 国 数 学 家Poisson引 入 的 。
常 见 的 服 从 泊 松 分 布 的随 机 现 象(：随 机 现 象 的 “ 基 本 粒 子”) 容 器 内 的 细 菌 数, 十 字 路 口 的 交 通 事 故, 寻 呼 台 的 寻 呼 次 数, 候车室内旅客人数, 放射性物质分裂到某一区域的质点数等等.
解：设X是1000片芯片中次品数，则X ~ B(1000 ,0.001)
P{X
2}
1000
P{X
k}
1000C1k000(0.001)k
(1
0.001)nk
k2
k2
10001k
e
1
k2 k!
( np 1)
1
1
1k e 1
k0 k!
1 (e1 e1) 1 2 0.367879 0.2642
易 见, P{ X k} k e e e 1 归 一 性
k 0
k0 k!
ex
xn
n0 n!
(1)期 望
EX kP{ X k}
k
e
k 1 e
k 0
k1 (k 1)!
k10 (k 1)!
e e
EX
(2)方 差: DX EX 2 (EX )2
DX
例5 :
n(n 1) (n k 1) n k 1 n nk
k!
n n
kn (1 1 )(1 2 ) (1 k 1)(1 n )nk
k! n n
n
n
对 固 定 的k, n 时, kn k ,
(1 1 )(1 2) (1 k 1) 1,
nn
n
(1 n )nk e
n
附录2 : 二项分布期望与方差的证明
模型背景:
若 在N件 产 品 中 有M件 废 品, 现 在 进 行n次 不 放 回 抽 样,问 共 抽
得k件废品的概率.
由古典概型解得: P{X
k}
C
k M
C
nk NM
C
n N
超几何分布与二项分布的关系: 不放回与有放回的区别
3.性 质
不妨令：M N1, N M N2 ,即N1 N2 M
4.超几何分布的期望和方差（了解）
EX n N1 N
DX n N1 N2 N n N N N 1
2.3.7 泊松分布(Poisson)---二项分布的极限
1.Def :
设 随 机 变 量 的 一 切 可 能取 值 为0,1,2, ,而 取 各 个 值 的 概 率 为
P{ X k} k e ,其 中k 0,1,2, , 0.则 称X服 从 参 数 为
则X的
分
布
函
数
为F (
x)
0 1
xc (a)
xc
c
x
EX c DX 0
2.3.2 0 1分布(两点分布)
Def 1 :
若 随 机 变 量X只 取0和1两 个 数 值, 则 其 概 率 分 布 为
P{ X x} px (1 p)1x pxq1x , x 0,1 0 p 1
或表示为 X
附 录1: Th :Poisson定 理 的 证 明
在n重 伯 努 利 试 验 中,以pn代 表 事 件A在 试 验 中 出 现 的 概 率,它 与
试
pr
验次 :记n
数n有 关, 如npn
npn ,则pn
n
n
,则当n
(npn比 较 适 中)
时,
B(n,
pn
)
k
k!
e
.
则B(n, pn ) Cnk pnk (1 pn )nk
n
EX 2
k
2C
k n
pk q nk
n(n
1)
p2
np
k 1
DX EX 2 (EX )2 n(n 1) p2 np (np)2 npq
EX np
DX npq
0
1
P
1 p
p
q 1 p
则此时称X服从(0 1)分布,又称伯努利(Bernoulli)分布或两点分布.
Def 2 :
对 这 种 只 描 述 了 两 种 对立 结 果 的 随 机 试 验, 称 为 伯 努 利 试 验.习 惯 上, 把 伯 努 利 试 验 的 一 种 结果, 称 作"成 功",另 一 种 结 果 称 为"失 败".
Th: 对于固定的n,当N , N1 p时, N2 1 p有 :
N
N
P{ X
k}
C C k nk N1 N2
C
n N
C
k n
pk q nk
其中q 1 p
应用：
当N很 大, n相 对 于N较 小 时,比 如 n 不 超 过5% ,超 几 何 分 布 可 以 用 N
二 项 分 布 的 公 式 近 似 计算., 则 当n Nhomakorabea时,
B(n,
pn )
k
k!
e
.
上述定理表明:当n很大, p很小而np 适中时,
有以下近似表达式: (二项分布的泊松逼近)
Cnk pk (1
p)nk
(np)k k!
e np
(np )
k e的值可以查书后附表
k!
例6 : 纺织厂女工照顾800个纺锭, 每一纺锭在某一短时间内发生断头
(0.005
)k
(1
0.005
)
n
k
k 3
k3
800 4k e 4
k3 k!
( np 4)
1 2 4k e4
k0 k!
1 (0.018316 0.073263 0.146525)
1 0.238104 0.761896
EX :
一 个 计 算 机 公 司 生 产 一种 型 号 的 微 型 芯 片 ， 每一 芯 片 有0.1% 的 概 率 为 次 品 ， 且 各 芯片 是 否 成 为 次 品 是 相 互独 立 的 ， 求1000片 芯 片 中 至 少 有 两 块 是 次品 的 概 率.
几何分布描述了n重伯努利试验中，首次成功发生在 第k次的概率。
EX 1 p
DX
q p2
性质：设X服从几何分布，则对任何两个正整数m, n, 有 P{X m n X m} P{X n} (无记忆性P59例2.19)
2.3.5 二项分布
1.Def :
若 随 机 变 量X的 分 布 律 为P{ X
设 某 城 市 每 年 因 交 通 事故 死 亡 的 人 数 服 从 泊 松分 布.据 统 计 在 一 年 中
因交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的1 .计算一年中因交通 2
事 故 至 少 死 亡3人 的 概 率.
解 : 设随机变量X表示一年内因交通事故死亡的人数
首 先 求X的 分 布 参 数
P{ X
§2.3 常用的离散型分布
2.3.1 退 化 分 布(单 点 分 布)
并 称X服 从 退 化 分 布 或 单 点 分布.
例1: 设随机变量X只取一个值c,即P{X c} 1,求X的分布函数.
解 : F(x)
pk
xk x
0
1
xc
F ( x)
xc
1
Def : 若 随 机 变 量X只 取 一 个 常 数 值c,即P{ X c} 1,
k}
C
k n
pkqnk (k
0,12,
, n),
其 中0 p 1, q 1 p.则 称X服 从 参 数 为n, p的 二 项 分 布,
记 作X ~ B(n, p)或b(k;n, p).
模型背景：
在n重 伯 努 利 试 验 中 ， 设 每次 试 验A发 生 的 概 率 为p, 则 在n次 试验中A恰好发生k次的概率：P{ X k} Cnk pkqnk
更 一 般 的 ， 若 随 机 变 量X只 取x1和x2两 个 数 值, 则 其 概 率 分 布 为
表示为 X x1 x2 P p 1 p
0 p1
2.3.3 n个点上的均匀分布(离散的均匀分布）
Def :
若 随 机 变 量X的 概 率 分 布 为P{ X
xi }
1 n
,i
1,2,
, n,则 称X服 从
随 机 变 量X的 分 布 律 为P{ X
k
}
C
k n
pkqnk (k
0,12,
, n)
EX np
DX npq
2.3.6 超几何分布
Def :
若 随 机 变 量X的 分 布 律 为P{ X
k}
C
k M
C
nk N M
C
n N
(k
0,12,
,min{M , n}),
则称X服从超几何分布, 记作X ~ H (n, M , N ).
(1)期 望
EX
k
xk
pk
n
kCnk
k 0
pk qnk
n
k
k 0
n! k!(n k)!
p k q nk
n
np(n 1)!
p q k 1 n1(k 1)
k1 (k 1)![n 1 (k 1)]!
令k k 1
n1
np np
C
k n1
P
q k n1k
np (
p q )n1
k0
(2)方 差: DX EX 2 (EX )2
1}
1 2
P{ X
2}
e
1 2
2
2
e
4
P{X 3} 1 P{X 2}
查附表1,可得P{ X 3} 0.761896
2.Th2.4 :Poisson定 理(P61)
在n重 伯 努 利 试 验 中,以pn代 表 事 件A在 试 验 中 出 现 的 概 率,它 与
试 验 次 数n有 关, 如npn
n个 点{ x1, x2 , , xn }上 的 均 匀 分 布.
易见: EX
1 n
n i 1
xi
x
DX
1 n
n
( xi
i 1
x)2
2.3.4 几何分布
Def :(P59)
若随机变量X的概率分布为P{X k} pqk1, k 1,2, 其中0 P 1, q 1 p.则称X服从几何分布, 记为X ~ G( p).
Def : 重复进行n次独立的伯努利试验, 称为n重伯努利试验.
常 见 模 型 ： 有 放 回 的 取球 模 型
注解 :
1.0 1分布是二项分布在n 1的时候的特例: n 1, P{ X 0} C10 p0q10 q, P{ X 1} C11 p1q11 p
2.二 项 分 布B(n, p)的 期 望 和 方 差(P58)