第1章 张量分析基础剖析

张量分析与连续介质力学
教材：
《The Mechanics and Thermodynamics of Continua》
M.E. Gurtin, E. Fried, L. Anand. Cambridge University Press, 2010
教学参考书：
1、《An Introduction to Continuum Mechanics》, M.E. Gurtin, Academic
Press, 1981. （中译本：郭仲衡等译，连续介质力学引论，高等教育出版社，1992）
2、《连续介质力学基础》，熊祝华等，湖南大学出版社，1997
3、《连续介质力学基础》，黄筑平，高等教育出版社，2003
4、《非线性连续介质力学》，匡正邦，上海交大出版社，2002
x v
y
第一章张量分析基础
第一节矢量和张量代数
一、矢量代数
本课程只在三维欧氏空间 内讨论连续介质力学的基础原理。

1、点——反应一定的空间位置，由x表示
2、矢量——具有大小和方向且满足一定规则的空间实体，用v来表示。

（两点间的距离可由一矢量表示）
（点x和矢量v之和是另一个点y）
3、矢量的点积和叉积
1）点积
（θ为两个矢量间的夹角）
u 表示矢量的大小，为一标量，有u u u ⋅=。

2）叉积
w v u =⨯ （为一新的矢量）
v u ⨯表示由u 和v 构成的平行四边形的面积。

θsin v u v u =⨯且u w ⊥，v w ⊥
3）混合积
()w v u ⨯⋅
()w
⋅表示由u，v和w三个矢量围成的体的体积。

v
u⨯
●如果该体的体积不为零，则称u，v和w线性无关。

●如果对于不为零的常数a，b，c，有：
u c
a
b
v
+w
=
+
则称u，v和w线性相关。

不满足线性相关的矢量则是线性无关的。

4、矢量空间及其性质
由欧氏空间ε中对应的点构成的矢量形成的空间称为矢量空间ν。

如果u，v和w是线性无关的，则{}w
u,构成矢量空间ν的基，即ν中任一矢量
v,
都可以表示为：
w v u γβα++=a
1） 如果()0>⨯⋅w v u ，则基{}w v ,u,是正向的（右手法则）。

2） 如果()c b a ⨯⋅和()w v u ⨯⋅是同号的，则两组基{}c b,a,和{}w v ,u,是同向的。

3） 如果
和
，则基{}w v ,u,是正交的，且u ，v 和
w 是单位矢量。

● 矢量的相等定义： 1）若对于所有的矢量v ，有v b v a ⋅=⋅，则b a =；
2）若对于所有的矢量v ，有v b v a ⨯=⨯，则b a =。

● 子空间的定义：对于矢量子集合κ中的任意矢量u 和v 以及任意的标量α和β，如果线性组合v u βα+也属于κ，则称矢量子集合κ为子空间。

例：ν的子空间有{}0，过原点的线，过原点的面以及ν本身。

回顾：矢量运算的基本定律。

① 矢量和：满足 交换律 u v v u +=+ 结合律 ()()w v u w v u ++=++ ② 数乘： 满足 分配律
()u u u b a b a +=+（a ，b 为实数）
()v u v u a a a +=+
结合律 ()u u ab b a =
③ 矢量的点积：满足 交换律 ()v u v u a a a +=+
分配律 ()v f u f v u f ⋅+⋅=+⋅
正定性 0≥⋅u u ，当且仅当0=u 时0=⋅u u
Schwartz 不等式
v u v u ≤⋅
④ 矢量的叉积：满足 分配律 ()v f u f v u f ⨯+⨯=+⨯
二重叉积 ()()()w v u v w u w v u ⋅-⋅=⨯⨯
⑤ 混合积： 记为[]w v u ()()w v u w v u ⨯⋅=⋅⨯
有 [][][][][][]u v w v w u w u v v u w u w v w v u -=-=-===
5、 Cartesian 坐标系（直角坐标系）
Cartesian 坐标系由一个原点和一组正向的正交基{}321e ,e ,e 构成。

基矢间满足：
ij j i δe e =⋅ ()
ijk k j i εe e e =⨯⋅ （i ，j ，k =1，2，3）
ij δ为Kronecker 函数，有 j i j
i ij ≠=⎩⎨
⎧=0
1
δ
ijk
ε为置换符号，定义为
{}
{}{}{}
{}{}{}{}
如果指数重复
3,2,1
1,3,2
2,1,3
k
j,
i,
3,1,2
2,3,1
1,2,3
k
j,
i,
ε=
=
=
=
=
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
-
=
1
1
ijk
6、求和约定及矢量和点的分量表示
Einstein求和约定：两个相同的指标表示对（1, 2, 3）遍历求和，即
这两个相同的指标称为哑标（dummy index），可用任意两个相同的指标表示，即：矢量的分量表示：
（j=1, 2, 3）
u则称为u关于Cartesian坐标系基矢的分量，也可以写成：j
以此类推，可将点x的坐标写成：
矢量运算的分量表示：
ε-δ恒等式：
二、张量代数
1、张量的定义
由若干坐标系改变时满足一定坐标转换关系的有序数组成的集合定义为张量。

例如：由9个有序数组成的集合()3,2,1
,=
j
i
T
ij，在坐标转换时满足
()3,2,1
'
,'
'
'
''
=
=j
i
T
C
C
T
kl
l j
k i
j i，
则ij T就是一个张量（二阶张量）。

k i C'为系数转换矩阵。

上式中自由指标的个数与所乘坐标转换系数的次数相等，称为张量的阶数。

在n维空间中，m阶张量应是m n个数的集合。

2、二阶张量的线性变换性质
Gurtin等将二阶张量理解为矢量空间ν之间的线性变换，即认为一个张量S将矢量u线性映射为另一个矢量v，即有：
S张量的线性特性可以体现在：
张量相等：当且仅当对任意矢量v，Tv
S=。

Sv=成立时，有T
同样，对任意矢量a和b，当且仅当S = T时，有T b
⋅
=
a
a⋅
Sb
由此可定义张量S和T之和S + T以及张量S和标量α的乘积Sα为：
（对任意v）
可证明S + T和Sα也都是二阶张量。

3、几种特殊张量
1)零张量和单位张量：0，1
0v = 0 1v = v
2) 两矢量的张量积：
张量v u ⊗定义为()()u w v w v u ⋅=⊗（对所有w ）。

也就是说张量v u ⊗将任意矢量w 映射为矢量u 的一个标量乘积，即：()u w v ⋅。

3) 投影张量
张量
将任意矢量u 映射为u 在e 上的投影，即：
而张量
将任意矢量u 映射为u 在垂直于e 的面内的投影，即：
则张量
和称为投影张量。

4)球张量
若1
=，1为单位张量，则称S为球张量。

Sα
4、张量的分量
定义张量S的分量S ij为：
或
则有：
5、张量的转置，对称和反对称张量
张量S的转置张量S T是具有如下性质的唯一张量：
（对任意v，u）进而有：
对称张量：若S = S T则张量S是对称张量。

反对称张量：若S = -S T则张量S是反对称张量。

定义分别为S的对称部分和反对称部分。

对任意张量S，有
6、张量的乘积
一般来说，。

如果，则称张量S和T互为对易（commute）。

张量的乘积满足：
另可定义：S2 = SS
有：
7、矢量叉积，反对称张量的轴矢量
矢量w的叉乘w×是一个二阶张量，定义如下：
= v（对任意u）
因为，所以：。

因为，所以：。

对任一反对称张量Ω，存在一个唯一的矢量ω，使得：
则称ω为Ω的轴矢量，即：
（对任意u）
可得：
ε-恒等式，有：
利用δ
8、张量的秩，偏张量
张量的秩是一种给每一个张量S赋予一个标量值即trS的线性运算，其满足：
根据线性运算特性，有：
trS = S ii
有如下一些等式：
若张量S为反对称张量，则trS = 0。

偏张量：对某一张量S，若trS = 0，则称S是偏张量（或无秩张量）。

为张量的偏张量部分；
为球张量部分。

则有：
9、张量的内积，张量的大小
张量的内积：
性质：
（当且仅当S = 0时，S : S = 0）
张量的大小：
若S为对称张量，W为反对称张量，则有：
，即S和W是正交的。

对任一张量T，有：
同样，对球张量S和偏张量D，有：
对任一张量T，有：
几个有用的恒等式：
对任意T，若：
●S是对称张量，则
●W是反对称张量，则
S是偏张量，则
10、可逆张量
若则称S-1为张量S的逆，S为可逆张量。

1）两个可逆张量S和T的积ST也是可逆张量，即
2）若S为可逆张量，则有：
11、张量的行列式
对任一张量和任一基{u v w}，比值都是相等的。

由此可定义张量的行列式（determinant）为：
（{u v w}为任一基）
则det S表示由Su，Sv，Sw和u，v，w分别构成的两个平行六面体的体积比。

性质：
①当且仅当det S≠0时，S才是可逆的。

②
③若S是可逆的，则
具体计算：
12、 正交张量（Orthogonal Tensors ）
如果对任意矢量u 和v ，如果v u Qv Qu ⋅=⋅成立，则称张量Q 是正交的。

令v = u ，则有u Qu =。

这说明正交张量Q 对矢量u 的作用并不改变u 的长度。

令()v u,∠=θ为两个非零矢量u 和v 间的夹角，()Qv Qu,∠=β为变换后的矢量Qu 和Qv 间的夹角，则由上式可得：
则正交张量Q 对两个矢量间的夹角也不产生影响。

正交张量Q的一些基本性质：
①张量Q为正交张量的一个必要条件是：Q T=Q-1
②
③
④若det Q = 1，则Q表示旋转变换；若det Q = -1，则Q表示镜面反射变换。

13、张量的矩阵表示
张量的乘积，转置以及求张量的秩和行列式等与矩阵运算具有一一对应关系。

可以在一定基{}i e的基础上，将矢量和张量写成矩阵形式。

例如：
则：
①
②③
④
三、谱定理，Cayley-Hamilton 定理，极分解定理
1、 张量的特征值，特征向量，谱定理
如果有一个单位矢量e ，使得：Se = ωe 成立，则称标量ω是张量S 的特征值，e 称为与ω对应的特征矢量。

如果S 是对称张量，且其特征值21ωω≠，则对应的特征矢量e 1和e 2相互垂直，即：
也就是说：对于一个对称张量S，对应于不同特征值的特征矢量间是正交的。

谱定理：令S是对称张量，则存在一个完全由S的本征矢量构成的标准正交基{e i}并且可将S写成：
（*）其中i 为S对应于特征矢量e i的特征值。

（*）式也称为张量S的谱分解，该分解当且仅当S的特征值均不同时成立。

张量S的特征空间（由特征向量构成的线性空间）的集合特性取决于S不同的特征值的数目：
①如果S的特征值均不同，则S的三个特征空间是三条过原点O的相互垂直的直
线l i，i i//e
l；
②如果S有两个不同的特征值，即：
则，
此时的特征空间有两个：一是过原点O平行于e1的直线l1，一是过O点垂直于e1的平面∏。

③如果，则
即张量S为球张量。

此时每一个单位矢量都是S的特征向量，而S只有一个单一的特征空间，即整个矢量空间 。

张量的特征值表示：与张量S的本征矢量基{e i}相关的矩阵形式为对角阵，即
有：
2、 对称正定张量的均方根，极分解定理 ① 正定张量的定义：
对于任意矢量u≠0，如果0>⋅Cu u ，则张量C 为正定张量。

如果张量C 是对称、正定的，则对i 的任一固定选择，有
0>=⋅i i i ωCe e （对i 不求和）
也就是说，对称正定张量的特征值是正的；或者反过来，特征值为正的对称张量是正定张量。

若C是对称正定张量，则：
●det C > 0；
●对任意旋转R，RCR T是对称正定的；
●可以找到一个唯一的对称正定张量U，使得U2 = C，即：C
U 。

C为C的方根。

由：
可得：
即对称正定张量的方根也是对称正定张量。

推理：如果F是一个可逆张量，则F T F和FF T都是对称正定的。

极分解定理：令F是一个可逆张量，且det F > 0，则存在两个对称正定张量U，V和一个旋转张量R，使得：
成立，并且这样的分解是唯一的。

令F = RU为右极分解，而F = VR为左极分解。

证明（略）
3、张量的不变量，Cayley-Hamilton方程
如果 和e是张量S的特征值和对应的特征向量，则有：
因此，S –ω1不是可逆的，则det (S –ω1) =0，且S 张量的每一个特征值ω必须是多
项式方程03221
3=-+-a a a ωωω的实数解。

方程的系数1a ，2a 和3a 是S 的函数，特征方程可写成：
其中()S 1I ，()S 2I 和()S 3I 则是张量S 的不变量，有
若S 是对称的，则可由特征值表示上述不变量，即：
另，对称张量S ，有：
则
e e S e
e S 3322ωω==
可推出，对张量S 的每一个特征向量e ，可得：
则
此即为张量S的Cayley-Hamilton方程，其为特征方程的张量类推。

第二节矢量和张量分析
一、微分（differentiation）
1、标量的函数微分
设标量t的一个标量、矢量、点或张量函数为()tϕ，定义该函数对标量t的微分为：
则对点函数()t x，有：
由于差()()t
+是一个矢量，则导数()t x 是一个矢量函数。

考虑一个固定的正交基
h
x-
t x
矢{e i}，则对矢量函数()t v和张量函数()t T有：
对于矢量和张量函数，其对标量变量的求导可参照标量函数的求导法则，即有：
对于非零的张量函数()t A，有：
另，对可逆张量函数()t F ，有：
对正交张量函数
，有
和
是反对称张量。

2、 场的微分，梯度
设()h Φ是矢量h 的标量，矢量或张量函数，并认为()h Φ比h 趋近于零的速度要快，即：
当
时 ，有
()h O 是0→h 时的高阶无穷小。

或更简单的表示为：
如果则
ϕ赋予每场的定义：i）给定一个域R，则域为R的标量场ϕ表示一种将标量值()x
ϕ称为在x点处ϕ的值。

一个R域内点x的映射。

()x
ii）对矢量场，点域和张量场有类似定义。

由可微的定义，ϕ和v在域R内一点x可微的条件是：存在一个矢量g和一个张量G，使得
当时，有
则线性项和分别为和的近似。

该近似的误差比h趋近于零的速度要快，进而比线性项要快。

如果ϕ和v在x点处可微，则可定义：
即和为ϕ和v在x点处的梯度。

ϕ和v在x点处的Taylor级数展开为：
当时，
进而可得：
推论：①标量场的梯度是一个矢量场；
②矢量场的梯度是一个张量场。

按复合函数求导的链式法则，对和有：
3、散度和旋度，矢量和张量的恒等式
矢量场v和张量场T的散度和旋度定义为：
则div v是标量场，curl v和div T是矢量场，curl T是张量场。

散度和旋度也可以直接定义为：
a为任一常矢量。

乘积恒等式：
另有：
ϕ和矢量场v，定义起Laplace运算为：Laplace算子Δ：对标量场
则ϕ∆应是一个标量场，v∆是一个矢量场。

对张量场T，T∆定义为使下式成立的一个张量场：
（a为任意常矢量）
或
4、 张量的标量函数微分
对一个张量T 的标量函数()T Φ，其微分()T T ∂Φ∂/定义为如下的张量函数：
由链式法则，有：
则可由上式来计算微分()T T ∂Φ∂/。

另，由链式法则可得如下等式：
对任意A≠0 ，
T )(det )(det -=∂∂A A A
A
二、积分定理
散度定理和Stokes 定理是构建连续介质平衡和非平衡基本定律需要的两个重要数学定理。

1、 散度定理
散度定理：令R 为一个边界为R ∂的有界域。

假定有域为R 的标量场ϕ，矢量场v
和张量场T 。

令n 为域R 的边界R ∂的外法线单位向量场，则：
分量形式，
一般法则：面积分中的n i 将在体积分中产生一偏微分i x ∂∂/，则对任意阶张量T ，有：
k ij T ...是任意阶张量T 的分量。

2、线积分，Stokes定理
令C表示一条可以参数化表示的曲线，
则C就表示点在增加过程中的运动轨迹，而矢量函数
则是C的切线，指向增加方向。

如果，则称曲线C是封闭的。

对一个以R为域的矢量场v，沿R中一条曲线C的积分则是v的线积分，即：
对一个域R上的标量场 ，由链式法则可得：
则对一条封闭曲线C，有：。