时间序列分析
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模型结构
xt a bt It E(It ) 0,Var(It )
Tt a bt 就是消除随机波动的影响之后该
序列的长期趋势。
例3.1拟合澳大利亚政府1981—— 1990年每季度的消费支出序列
(2) 可线性化的曲线趋势拟合模型
可线性化的曲线趋势模型是指时间序列随着时间 的推移呈现曲线变动趋势，但在估计这些趋势方 程时，可以把它们转化成线性关系．利用估计线 性趋势模型的方法估计其参数。最常用的可线性 化的曲线趋势模型有
2.1 时间序列的组合成份
• 循环变动（C）
是指沿着趋势线如钟摆般地循环变动，又称景 气循环变动(business cycle movement) 。
• 不规则变动（I）
是指在时间序列中由于随机因素影响所引起的 变动。
2.2 时间序列的组合模型
▪ 加法模型
假定时间序列是基于4种成份相加而成的。长期趋势并不影响
1.3 平稳性的检验（图检验法）
时序图检验
根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质， 平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在 一个常数值附近随机波动，而且波动的范围 有界、无明显趋势及周期特征
自相关图检验
平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自 相关系数来描述就是随着延迟期数的增加， 平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零
方差齐性 DX t Cov(0) 2
根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用 最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有 效的
2 时间序列因素分解
2.1时间序列的组合成份
• 长期趋势（T）
是指时间序列随时间的变化而逐渐增加或减少 的长期变化的趋势。
• 季节变动（S）
是指时间序列在一年中或固定时间内，呈现出 的固定规则的变动。
(1)图形识别法
图形识别法是通过时间序列的散点图或趋势 图来判断趋势。散点图或趋势图是以时间t为 横轴，以时间序列中的实际观测值为纵轴的图 形．根据此图形观测其变化曲线与各类函数曲 线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的 趋势模型。
这种方法非常简单、直观。但由干许多曲线 模型的图形较相似．此时通过这种直观的图形 识别法就不容易判断、当然，我们可以选几种 曲线模型，然后通过计算每一仲的精度指标来 确定。
时间序列分析
内容提纲
时间序列分析基本概念 时间序列因素分解 时间序列分析方法 平稳时间序列分析 非平稳时间序列分析
1 时间序列分析基本概念
定义 按照时间先后顺序把随机事件变化发
展的过程记录下来就构成了一个时间序 列。
对时间序列进行观察、研究，找寻它 变化发展的规律，预测它将来的走势就 是时间序列分析。
(2)差分法
根据序列的差分结果来选择模型: 1. 一阶差分相等或大致相等，选择线性模型 2. 二阶差分相等或大致相等，选择二次曲线模型 3. 一阶差比率相等或大致相等，选择指数曲线模型 4. 一阶差分的一阶差比率相等或者大致相等，选择
满足如下条件的序列称为平稳序列
(1)概率分布函数不随时间的平移而变化，即：
P( X1, X 2 ,..., X t ) P( X1m , X 2m ,..., X tm ) (2)期望值、方差和自协方差是不依赖于时间的 常数，即：
E(Xt ) E(Xtm) DX t DX tm Cov( X t , X tk ) Cov( X tm , X tkm )
1.4 纯随机序列的定义
纯随机序列也称为白噪声序列，它满足 如下两条性质
(1)EX t (常数), t T
（2 常数）,t s
(2)Cov(t, s)
, t, s T
0,t s
标准正态白噪声序列时序图
白噪声序列的性质
纯随机性 Cov(k) 0，k 0
各序列值之间没有任何相关关系，即为 “没有记 忆”的序列
指数曲线模型
指数曲线趋势模型：
Tt abt
指数曲线趋势模型的线性形式：
Tt a bt
其中Tt InTt , a Ina,b Inb
对数曲线模型
对数曲线趋势模型：
Tt a bInt
对数曲线趋势模型的线性形式：
Tt a bt
其中
t Int
(3) 不可线性化的曲线趋势模型
常用方法
趋势拟合法 平滑法
3.1 趋势拟合法
趋势拟合法就是把时间作为自变量，相 应的序列观察值作为因变量，建立序列 值随时间变化的回归模型的方法
趋势拟合法常用的模型
线性趋势模型 可线性化的曲线趋势拟模型 不可线性化的曲线趋势拟模型
(1) 线性趋势模型
适用条件
长期趋势呈现出线形特征
二次曲线模型 Tt a bt t 2
指数曲线模型
Tt abt
对数曲线模型 Tt a bInt
二次曲线模型 Tt a bt t 2
二次曲线趋势模型：
Tt a bt t 2
二次曲线趋势模型的线性形式：
Tt a bt t2
其中： t2 t 2
例3.2： 对上海证券交易所每月末上 证指数序列进行模型拟合
1.1 特征统计量
均值 方差
t EX t xdFt (x)
DXt
E(Xt t )2
wk.baidu.com
2
(x t ) dFt (x)
自协方差 Cov(t, s) E( X t t )( X s s )
自相关系数 (t, s) Cov(t, s)
DXt DX s
1.2 平稳时间序列定义
季节变动。若以Y表示时间序列，则加法模型为
Y=T+S+C+I
▪ 乘法模型
假定时间序列是基于4种成份相乘而成的。假定季节变动与 循环变动为长期趋势的函数。该模型的方程式为
Y T SCI
3 时间序列分析方法
趋势分析目的
有些时间序列具有非常显著的趋势，我们 分析的目的就是要找到序列中的这种趋势， 并利用这种趋势对序列的发展作出合理的 预测
常用的不可线性化的曲线趋势模型有：
修正指数模型 Tt a bct
T e 龚铂兹趋势模型 t
abct
皮尔曲线模型
1 Tt a bct
趋势模型判断的方法
以上列出了一些基本的长期趋势型．接 下来的问题是我们在实际应用中如何根 据实际观测值选择合适的趋势模型。特 别当时间序列呈现出曲线趋势时．很难 做出决断．因为曲线趋势模型的种类很 多。下面就介绍两种判断模型类型的方 法:图形识别法与差分法
xt a bt It E(It ) 0,Var(It )
Tt a bt 就是消除随机波动的影响之后该
序列的长期趋势。
例3.1拟合澳大利亚政府1981—— 1990年每季度的消费支出序列
(2) 可线性化的曲线趋势拟合模型
可线性化的曲线趋势模型是指时间序列随着时间 的推移呈现曲线变动趋势，但在估计这些趋势方 程时，可以把它们转化成线性关系．利用估计线 性趋势模型的方法估计其参数。最常用的可线性 化的曲线趋势模型有
2.1 时间序列的组合成份
• 循环变动（C）
是指沿着趋势线如钟摆般地循环变动，又称景 气循环变动(business cycle movement) 。
• 不规则变动（I）
是指在时间序列中由于随机因素影响所引起的 变动。
2.2 时间序列的组合模型
▪ 加法模型
假定时间序列是基于4种成份相加而成的。长期趋势并不影响
1.3 平稳性的检验（图检验法）
时序图检验
根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质， 平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在 一个常数值附近随机波动，而且波动的范围 有界、无明显趋势及周期特征
自相关图检验
平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自 相关系数来描述就是随着延迟期数的增加， 平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零
方差齐性 DX t Cov(0) 2
根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用 最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有 效的
2 时间序列因素分解
2.1时间序列的组合成份
• 长期趋势（T）
是指时间序列随时间的变化而逐渐增加或减少 的长期变化的趋势。
• 季节变动（S）
是指时间序列在一年中或固定时间内，呈现出 的固定规则的变动。
(1)图形识别法
图形识别法是通过时间序列的散点图或趋势 图来判断趋势。散点图或趋势图是以时间t为 横轴，以时间序列中的实际观测值为纵轴的图 形．根据此图形观测其变化曲线与各类函数曲 线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的 趋势模型。
这种方法非常简单、直观。但由干许多曲线 模型的图形较相似．此时通过这种直观的图形 识别法就不容易判断、当然，我们可以选几种 曲线模型，然后通过计算每一仲的精度指标来 确定。
时间序列分析
内容提纲
时间序列分析基本概念 时间序列因素分解 时间序列分析方法 平稳时间序列分析 非平稳时间序列分析
1 时间序列分析基本概念
定义 按照时间先后顺序把随机事件变化发
展的过程记录下来就构成了一个时间序 列。
对时间序列进行观察、研究，找寻它 变化发展的规律，预测它将来的走势就 是时间序列分析。
(2)差分法
根据序列的差分结果来选择模型: 1. 一阶差分相等或大致相等，选择线性模型 2. 二阶差分相等或大致相等，选择二次曲线模型 3. 一阶差比率相等或大致相等，选择指数曲线模型 4. 一阶差分的一阶差比率相等或者大致相等，选择
满足如下条件的序列称为平稳序列
(1)概率分布函数不随时间的平移而变化，即：
P( X1, X 2 ,..., X t ) P( X1m , X 2m ,..., X tm ) (2)期望值、方差和自协方差是不依赖于时间的 常数，即：
E(Xt ) E(Xtm) DX t DX tm Cov( X t , X tk ) Cov( X tm , X tkm )
1.4 纯随机序列的定义
纯随机序列也称为白噪声序列，它满足 如下两条性质
(1)EX t (常数), t T
（2 常数）,t s
(2)Cov(t, s)
, t, s T
0,t s
标准正态白噪声序列时序图
白噪声序列的性质
纯随机性 Cov(k) 0，k 0
各序列值之间没有任何相关关系，即为 “没有记 忆”的序列
指数曲线模型
指数曲线趋势模型：
Tt abt
指数曲线趋势模型的线性形式：
Tt a bt
其中Tt InTt , a Ina,b Inb
对数曲线模型
对数曲线趋势模型：
Tt a bInt
对数曲线趋势模型的线性形式：
Tt a bt
其中
t Int
(3) 不可线性化的曲线趋势模型
常用方法
趋势拟合法 平滑法
3.1 趋势拟合法
趋势拟合法就是把时间作为自变量，相 应的序列观察值作为因变量，建立序列 值随时间变化的回归模型的方法
趋势拟合法常用的模型
线性趋势模型 可线性化的曲线趋势拟模型 不可线性化的曲线趋势拟模型
(1) 线性趋势模型
适用条件
长期趋势呈现出线形特征
二次曲线模型 Tt a bt t 2
指数曲线模型
Tt abt
对数曲线模型 Tt a bInt
二次曲线模型 Tt a bt t 2
二次曲线趋势模型：
Tt a bt t 2
二次曲线趋势模型的线性形式：
Tt a bt t2
其中： t2 t 2
例3.2： 对上海证券交易所每月末上 证指数序列进行模型拟合
1.1 特征统计量
均值 方差
t EX t xdFt (x)
DXt
E(Xt t )2
wk.baidu.com
2
(x t ) dFt (x)
自协方差 Cov(t, s) E( X t t )( X s s )
自相关系数 (t, s) Cov(t, s)
DXt DX s
1.2 平稳时间序列定义
季节变动。若以Y表示时间序列，则加法模型为
Y=T+S+C+I
▪ 乘法模型
假定时间序列是基于4种成份相乘而成的。假定季节变动与 循环变动为长期趋势的函数。该模型的方程式为
Y T SCI
3 时间序列分析方法
趋势分析目的
有些时间序列具有非常显著的趋势，我们 分析的目的就是要找到序列中的这种趋势， 并利用这种趋势对序列的发展作出合理的 预测
常用的不可线性化的曲线趋势模型有：
修正指数模型 Tt a bct
T e 龚铂兹趋势模型 t
abct
皮尔曲线模型
1 Tt a bct
趋势模型判断的方法
以上列出了一些基本的长期趋势型．接 下来的问题是我们在实际应用中如何根 据实际观测值选择合适的趋势模型。特 别当时间序列呈现出曲线趋势时．很难 做出决断．因为曲线趋势模型的种类很 多。下面就介绍两种判断模型类型的方 法:图形识别法与差分法