非欧几何(Non-Euclidean.

非欧几何（Non-Euclidean geometry）简介
福州大学林鸿仁
非欧几何就是非欧几里得几何，是针对欧几里得几何而言的，非欧几何通常指的是罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。

众所周知，素有“几何之父”之称的古希腊的数学家欧几里得( Euclid，希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年-前275年）有一本传世之作叫《几何原本》，已经传了两千多年了。

其中的基本内容，至今还是我们孩子们学习的课程，包括《平面几何》和《立体几何》。

西方的几何学大概兴于公元前7世纪的古埃及，对古代埃及人来说，几何学就是“测地术”，几何是在测量地块中获得的，是一种经验的几何知识，所以大都十分零散杂乱，缺乏系统。

古希腊的欧几里得首先觉察到，很有必要对这些“上帝的杰作”进行整理，于是特地到古埃及的亚历山大，收集整理并于公元前3世纪写成《几何原本》这一巨著，开创了数学理论的系统化逻辑化的先河，除了使几何成为一门独立学科之外，也成为西方科学研究方法的典范。

欧几里得的《几何原本》全书共分13卷，包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。

在每一卷中，欧几里得都采用了完全不同的叙述方式，先提出公理、公设和定义，再将命题进行逻辑推理和证明。

他先后对直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何等进行系统的论述。

在这里，作为定义的基本概念，如点、线、面、直角等，已不是具体的图形或图像，而是抽象的一般概念；推演定理的方法，也尽量避开直观，而采用“三段论式”的逻辑方法。

欧几里得的成功之处在于，从一些被认为是不证自明的事实出发，通过逻辑演绎，用很少的几个公理公设，令人信服地推出了很多的定理，而且它们与现实世界又是一致的。

欧几里得建立的这一个几何学公理体系一直受到后世数学家的普遍称颂，被公认为数学严格性的典范。

因此，在相当长的历史时期里，人们一直把几何称为“欧几里得几何”简称“欧氏几何”，并把它奉为金科玉律。

但由于时代的局限，他的5条公设中的第5条一直被质疑。

欧几里得的第5条公设是这样说的：“若两条直线都与第三条直线
相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这
一边必定相交”。

当时就有数学家发现这条公设的叙述不够顺畅，不
像欧几里得的其他公理公设那样显而易见，它似乎缺少作为一条公设的
自明性。

并注意到《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到
它，而且以后再也没有使用。

这也就是说，在《几何原本》中可以
不依靠第五条公设而推出前二十八个命题。

因此，数学家普遍认为，
这条公设所说明的事实，其实就是可以与之等价的“平行公理”：“通过直线外一点能且仅能作一条平行直线”。

因此，对第五公设能不能作为公设，普遍产生怀疑；又，第五公设能不能依靠前四个公设来证明？也是问题。

历史上关于这个“平行公理”证明的争论，一直持续了长达两千多年。

他们的证明一般遵循两条思路：一是直接进行证明，但几乎毫无所获；其二是间接证明，即用反证法来证明，而恰恰是这一反证法终于产生了非欧几何，也就是罗巴切夫斯基几何和黎曼几何。

1.罗巴切夫斯基几何（双曲型几何）
罗巴切夫斯基几何是俄罗斯喀山大学的教授尼古拉•伊万诺维奇•罗巴切夫斯基（Николай Иванович Лобачевский，Nikolai Ivanovich Lobachevskii，1793-1856）于1829年创建的。

他当时就是采用反证法来证明第五公设的，他提出一个与欧氏几何平行公理相矛盾的命题代替第五公设，然后与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开推理。

他认为，以这个系统为基础的推理中，如果出现矛盾的话，就等于证明了第五公设。

但是，在他极为细致深入的推理过程中，却得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，在逻辑上却毫无矛盾的命题。

最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
1，第五公设不能被证明。

2，对新的公理体系的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。

于是他开创了罗巴切夫斯基几何，这也是第一个被提出的非欧几何学。

但是当时迫于根深蒂固的传统观念，罗巴切夫斯基几何一直被冷落，都说他是在钻牛角尖，不值一提。

据说当时被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。

但怕遭到当时教会力量的迫害，不敢公开发表。

而罗巴切夫斯基的遭遇则更为不幸，因为当时人们普遍认为非欧几何是“无稽之谈”， 当时英国著名的数学家莫尔甘甚至武断地说：“我认为，任何时候也不会存在与欧几里得几何本质上不同的另外一种几何。

”莫尔甘的话代表了当时学术界对非欧几何的普遍态度。

罗巴切夫斯基一直受到打击，最后还被迫离开大学，身心俱伤，最终双目失明，于1856年2月12日去世。

他的成果长期无人问津。

这样一直到1868年，意大利的数学家贝特拉米（E.Beltrami ，1835-1899）利用当时微分几何的最新研究成果，发表了一篇《非欧几何解释的尝试》论文，证明了非欧几何可以在欧氏空间的曲面（例如伪球曲面pseudo-sphere ）上实现。

伪球面是一种形如喇叭的特殊曲面，是高斯曲率为负常数的特殊曲面，这也就为罗巴切夫斯基几何提供了一个模型。

这也就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧氏几何命题，如果欧氏几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。

直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究。

罗巴切夫斯基也由此得到学术界的高度评价和一致赞美。

耐人寻味的是，这时的罗巴切夫斯基已经被誉为“几何学中的哥白尼”。

罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧氏几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。

由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧氏几何内容不同的新的几何命题。

因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧氏几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。

在欧氏几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。

例如在罗氏几何中欧氏几何定义的矩形是不存在的。

在欧氏几何中---
同一直线的垂线和斜线相交。

垂直于同一直线的两条直线互相平行。

存在相似的多边形。

过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。

在罗氏几何中---
同一直线的垂线和斜线不一定相交。

垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。

不存在相似的多边形。

过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。

从上面列举的罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象是有矛盾的。

所以罗氏几何中的一些几何事实没有象欧几里得几何那样容易被接受。

但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧几里得几何中的事实作一个直观“模型”如“伪球面”来解释罗氏几何是正确的。

罗氏几何的创立，打破了两千多年来欧氏几何的一统天下，从根本上革新和拓广了人们对几何学观念的认识，为几何学乃至整个数学及其应用开辟了崭新的途径。

罗氏几何的创立，还导致对几何学基础的深入研究。

1899年德国数学家D ．希尔伯特 (Hilbert) 建立了
欧几里得几何的公理体系，这种研究方法很快扩展到许多数学分支，形成了现代数学的公A C
理化运动．罗氏几何的创立对本世纪初物理学中所发生的时空观念的改革也起了重大作用。

罗氏几何首先提出了弯曲的空间，也为更广泛的黎曼几何的产生创造了条件，而黎曼几何后来甚至成为爱因斯坦广义相对论的数学工具。

人们在广义相对论的基础上研究宇宙结构，发现，宇宙结构更接近于罗氏几何，所以许多人采用罗氏几何作为宇宙的几何模型．德国数学家希尔伯特指出：“１９世纪最有启发性、最重要的数学成就是非欧几何的发现。

”
2.黎曼几何（椭圆型几何）
黎曼几何是德国数学家黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann,1826～1866)创立的。

1854年，黎曼在哥廷根大学作了一次演讲，演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的罗氏几何（双曲几何）作了纵贯古今的概述，并明确提出一种新的几何体系。

在这种几何学中，黎曼把欧氏几何的第五公设改为“过平面上一已知直线外一点没有直线与原直线平行”，由此可推出“三角形内角和大于180°”等命题，更重要的是他将欧几里得三维空间推广到n维空间，从而得到一种新的几何学，也即“黎曼几何学”。

他的这次演讲是在他逝世后两年(1868年)才以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。

欧几里得几何与罗巴切夫斯基几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。

欧几里得几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。

罗巴切夫斯基几何讲“ 过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。

那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？
黎曼几何回答了这个问题，他认为，通常所说的几何学只是在当时已知测量范围之内的几何学。

如果超出了这个范围，或者是到更细层次的范围里面，空间是否还是欧几里得的呢？这是一个需要验证的问题，需要依靠物理学发展的结果来决定。

黎曼认为这种空间(也就是形状可变的称为“流形Manifold”) 上的几何学应该是基于无限邻近点之间的距离。

在无限小的意义下，这种距离仍然满足勾股定理。

这样，在大一点的范围里一般就和欧几里得几何学有很大的区别了。

黎曼将曲面本身看成是一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作是欧几里得空间中的一个几何实体。

他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。

这也是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。

这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型来理解度量。

也就是由函数构成的正定对称矩阵来理解度量，这就是黎曼度量；赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。

黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。

在黎曼以前的数学家，仅知道三维欧几里得空间中的曲面S上存在诱导度量，即第一基本形式，而并未认识到曲面S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。

黎曼意
识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何
曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理
学的发展作出了杰出贡献。

黎曼几何是将欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例的，如果定义
度量a为常数，则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时，就是
黎曼椭圆几何，而当a＜0时为罗氏双曲几何。

黎曼几何的基本规定是：“在同一平面内任何两条直线都有公
共点(交点)”，在黎曼几何学中不承认平行线的存在；它的另一条
公设是：“直线可以无限延长，但总的长度是有限的”。

所以黎曼
几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。

在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。

在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。

在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。

此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。

它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别
的几何。

这三种几何各自所有的命题都构成了一个
严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性
和独立性。

因此这三种几何都是正确的。

在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇
宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实
际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎
曼几何更准确一些。

而在黎曼看来，这三种不同的几何学的差别，就在于通过给定一点做关于定直线所作平行线的条数。

如果只能作一条平行线，那就是众所熟知的欧几里得几何学；如果一条都不能作，那就是黎曼椭圆几何学；如果存在一组平行线，就得到第三种几何学，即罗巴切夫斯基几何学。

黎曼因此继罗巴切夫斯基以后发展了空间的理论，使得两千多年来关于欧几里得平行公理的讨论宣告结束。

他断言，客观空间是一种特殊的流形，预见具有某种特定性质的流形的存在性。

这些逐渐被后人一一证实。

事实上，黎曼几何证明的所谓的直线并不是真正的“直线”，当我们在纸上画一条直线时，由于纸被放在了大地上，而地球并不是平面而是球体，也就是说所谓的平面事实上是曲面，我们画的直线实际上是曲线。

所以黎曼的空间几何概念告诉我们直线是弯曲的，进而空间也是弯曲的。

这好比说，一只蚂蚁在球面上朝一个方向爬，在蚂蚁看来它走的是直线，而在我们看来它走的是曲线。

由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。

在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼提供的一些异于前人的手段，可以使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。

爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。

现在，黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。

黎曼的一生是短暂的，英年早逝，终年仅39岁。

他的著作不多，但却富于对概念的创造与想象。

黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为数学建立了丰功伟绩。

半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。

黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。

对于他的贡献，人们的评价是：“黎曼把数学向前推进了几代人的时间”。

非欧几何是人类认识史上的一个富有创造性的成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。

2009-11。