平几定理总结

● 圆幂定理：

1．相交弦定理；

2．切割线定理；

3．割线定理；

4．切线长定理．

这几个定理合起来叫“圆幂定理”：从一点 P(不在⊙O 上)引出的两条直线分别交⊙O 于点

A 、

B 及

C 、

D ，则 PA ·PB ＝PC ·PD 其中 d ＝|PO|，r 为⊙O 的半径．把称为点 P 对园 O 的幂．

定理 1(Ptolemy 定理)对于圆内接四边形 ABCD ，有

AC ·BD ＝AB ·CD ＋AD ·BC ．

反之亦真．

● Ptolemy 定理的各种形式：

1．三弦定理：设 A 为⊙O 上的一点，AB 、AC 、AD 为⊙O 的顺次三条弦，则 AC sin ∠BAD ＝AB sin ∠CAD ＋AD sin ∠BAC ．

2．四角定理：设 ABCD 为⊙O 的内接四边形，则

sin(α＋β)sin(α＋γ)＝sin αsin δ＋sin βsin γ．

3．直线上的 Ptolemy 定理：设 A 、B 、C 、D 的直线上顺次四点，则

AC ·BD ＝AB ·CD ＋AD ·BC ．

4．任意四边形的 Ptolemy 定理：对于任意四边形 ABCD ，有

AC ·BD ≤AB ·CD ＋AD ·BC ．

等号当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时成立。

● (Ceva 定理)设 X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边 BC 、CA 、AB 上的一点，则 AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是1=∙∙YA

CY XC BX ZB AZ

（Ceva 定理的角元形式）：设 X 、Y 、Z 分别为△ABC 的

边

BC 、CA 、AB 上的一点，则 AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是1sin sin sin sin sin sin =∠∠∠∠∠∠YBA

XAC ZCB CBY BAX ACZ

● (张角定理)如图，从一点出发三条射线与一条直线相

交，截得三条线段的长分别为 a 、b 、t (t 在a 、b 之间)，

则

a

b t βαβαsin sin )sin(+=+

定理 6 (分角定理) 如图，

β

αsin sin b a q p =

● (蝴蝶定理)AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦 CD 、EF 经过点 M ，CF 、

DE 交 AB 于 P 、Q ，求证：MP ＝QM

● (Simson line) P 是ΔABC 的外接圆⊙O 上的任意一点，PX ⊥BC ，PY ⊥CA ， PZ ⊥AB ，垂足为 X 、Y 、Z ，求证： X 、Y 、Z 三点共线

● （Euler line ）三角形的外心、重心、垂心三点共线，且外心与

重心的距离等于重心与垂心距离的一半

● 广义 Ptolemy 定理

定理：对于一般的四边形 ABCD ，有 AB ·CD ＋AD ·BC ≥AC ·BD ．当且仅当 ABCD 是圆内接四边形时等号成立．

证明：取点 E ，使∠ABE ＝∠DBC ，∠BAE ＝∠BDC ，(旋

转方向相同)．

则△ABE ∽△DBC ，

∴证明：取点 E ，使∠ABE ＝∠DBC ，∠BAE ＝∠BDC ，(旋

转方向相同)．

则△ABE ∽△DBC ， ∴BC

BE BD AB DC AE BD AB ==， ∴ AB ·CD ＝AE ·BD ； ① 由

BC

BE BD AB =，∠ABD ＝∠EBC ，△ABD ∽△EBC ， ∴BC BD EC AD =,AD ·BC ＝EC ·BD ． ② ①＋②：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AE ·BD ＋EC ·BD ＝(AE ＋EC)BD ≥AC ·BD ．

等号当且仅当 E 在线段AC 上时成立，此时四边形

ABCD 为圆内接四边形．

●三角形的费马点

定理(Fermat point)分别以ΔABC 的三边AB，BC，CA

为边向形外作正三角形ABD，BCE，CAH，则此三个三角形的外接圆

交于一点．此点即为三角形的Fermat point．

分析证三圆共点，可先取二圆的交点，再证第三圆过此点．

证明：如图，设⊙ABD 与⊙ACH 交于(异于点A 的)点F，则由A、

F、B、D 共圆得 ∠AFB＝120°，同理 ∠AFC＝120°，于是∠BFC

＝120°，故得B、E、C、F 四点共圆．即证．

由此得以下推论：

1、A、F、E 三点共线；

因 ∠BFE＝∠BCE＝60° ，故∠AFB＋∠BFE＝180°，于是A、F、

E 三点共线．同理，C、F、D 三点共线；B、F、H 三点共线．

2、AE、BH、CD 三线共点．

3、AE＝BH＝CD＝FA＋FB＋FC．

由于，F 在正三角形BCE 的外接圆的弧BC 上，故由

Ptolemy 定理，有FE＝FB＋FC．于是AE＝AF＋FB＋FC．同理可证BH＝CD＝FA＋FB＋FC．也可用下法证明：在FE 上取点N，使FN＝FB，连BN，由⊿FBN 为正三角形，可证得⊿BNE≌⊿BFC．于是得，NE＝FC．故AE＝FA＋FN＋NE＝FA＋FB＋FC.

●(Steiner 问题)在三个角都小于120°的ΔABC 所在平面上求一点P，使PA＋PB＋PC

取得最小值．

证明：设P 为平面上任意一点，作等边三角形PBM（如图）连ME，

则由BP＝BM，BC＝BE，∠PBC＝∠MBE＝60°－∠MBC．

得△BPC≌△BME，

于是ME＝PC，

故得折线APME＝PA＋PB＋PC≥AE＝FA＋FB＋FC．

即三角形的Fermat point 就是所求的点．

说明:本题也可用Ptolemy 的推广来证明:由PB·CE＋PC·BE≥PE·BC，

可得，PB

＋PC≥PE．

于是PA＋PB＋PC≥PA＋PE≥AE．

结论：到三个角都小于120°的三角形三顶点距离之和最小的点——费马点．