现代谱估计(复习大纲)

（1.30）
这表明它在各频率上是完全平坦的。换句话说，白噪声的所有频率分 量均具有相同的功率。 二、 相关函数的估计 1、 自相关函数的各态历经性 一般说来，严格各态历经过程允许我们用时间平均来代替系综平 均（集合平均或统计平均） 。 用时间平均作为广义平稳随机过程均值的估计。
M 1 x(n) E{x(n)} x M 2M 1 n M
-6-
若序列为单频信号，则 Pxx ( f ) 为 函数，这样，数据加窗后的谱 估计值的均值与窗谱函数的平方形状相同， 因此选用低旁瓣的数据窗 可使得杂散响应减少。 但旁瓣的降低必然使主瓣加宽， 而且降低了分 辨率。 数据加窗后， 周期图谱估计值的方差大于或近似等于谱估计值的 平方，且不随数据长度的增大而减小到 0。 从以上的分析可知，数据加窗用于周期图谱估计可以降低谱估计 值的旁瓣， 但要降低谱估计的分瓣率。 而用数据加窗的办法不能减小 估计方差。 2、 平均周期图 为了改进周期图的统计特性，可以近似地用对一组周期图进行平均 的方法完成期望运算。 假定在区间 0 n L 1 上有 k 组独立记录数据， 并 且都是同一随机过程的现实。平均周期图估计器定义为
k
rxx (k ) z k rxy (k ) z k
1 2 1 2

（1.11） （1.12）
k
若令 2f , f 为归一化频率，频率区间 f 为基本周期。则式 （1.6）的自功率谱密度和式（1.8）互功率谱密度又可分别表示为
Pxx ( f )
应的功率谱表达
Pyy ( ) H ( ) Pxx ( )
2
(1.26a) (1.26b)
或
Pyy ( f ) H ( f ) Pxx ( f )
2
上述关系对以后讨论谱估计问题是很有用的。
ryy (0) 1 2
P( )d


1/ 2
1 / 2
Pyy ( f )df 为输出过程 { y(n)} 的平均功率。
（1.50）
对于白噪声情况，即使有限记录数据，周期图也是无偏的。
ˆ ( f )] 2 P ( f ) ，方差 对于白高斯过程， E[ P PER x xx
ˆ ( f )} P 2 ( f )[1 ( var{P xx PER
sin 2Nf 2 ) ] N sin 2f
（1.52）
lim
（1.34） （1.36）
M 1 x * (n) x(n k ) E[ x * (n) x(n k )] rxx (k ) M 2M 1 n M
lim
2、 相关函数的估计 我们实际所能得到的随机序列的样本数总是有限的，由有限个样 本通过某种运算求出的序列的均值和自相关函数统计特征值叫做它 们的估计值。下面讨论随机序列有限个样本的相关函数的估计问题。 设 {x(n), n 0,1,, N 1} 为实随机序列 {x(n)} 的一批样本，共有 N 个 值。有时简称之为长度为 N 的随机序列 x(n) 。 方法一：根据假定的自相关函数的各态历经性（或遍历性） ，可用 下式估计它的自相关函数，即
M 1 Pxx ( f ) lim E{ x(n) exp ( j 2fn) } M 2M 1 n M 2
（1.45）
上式定义的 PSD 与维纳一辛钦定理
Pxx ( f பைடு நூலகம்
k
r

xx
(k ) exp( j 2fk )
（1.46）
是等效的。 由（1.45）式和由（1.46）式维纳一辛钦定理给出的 PSD 的等效 定义将作为经典谱估计方法的基础。
rxx (k )
k

rxx (k )e jk d
P
xx

(1.6) (1.7)
1 2
( )e jk d
这一关系式常称为维纳——欣钦定理。 由自相关函数和功率谱密度的定义，不难得出它们的一些基本性 质，主要有： 1、当 {x(n)} 为复序列时，rxx (k ) rxx * (k ) ；若 {x(n)} 为实序列，则相 关函数为偶函数，即 rxx (k ) rxx (k ) 。 2、相关函数的极大值出现在 k 0 处，即 rxx (k ) rxx (0) 。 3、 若 x(n) 含有周期性分量， 则 rxx (k ) 也含有同一周期的周期性分量， 否则，当 k 时， rxx (k ) 0 。 4、 当 x(n) 为实序列时，Pxx ( ) 为非负实对称函数， 即 Pxx ( ) Pxx ( ) 和 Pxx ( ) 0 。 5、平稳随机序列 {x(n)} 的自相关函数 rxx (0) 是实的且为正，而且对 任一 a(n) 序列和任一 M ，自相关函数（ACF）满足：
1 2
（1.53）
可以看出， 方差与数据长度 N 无关， 即方差不随 N 的增大而减小至零。 由此可得出一个重要的看法： 周期图估计器是不可靠的， 因为标准离 差（方差的平方根）和均值一样大，因而周期图不是一致估计而其均 值近似地等于要估计的量值。 上述的重要结论表明，我们不能寄希望于直接用周期图方法获得 良好的谱估计，必须采用适当的修正措施减小估计方差，才能使之成 为一种实用的方法。 五、周期图法改进措施 1、 数据窗 周期图法只用了 N 个样本， 这可以看作是用一长度为 N 的矩形窗 函数与原来无限长的序列相乘的结果，我们知道，时域中两函数相乘 对应于频域中它们的傅立叶变换的卷积。由此可以想到，当用周期图 方法作谱估计时， 它的谱分辨率约与 N 成反比， 且和信号本身的特征， 例如信噪比等无关。此外，如果序列是由多个正弦波信号组成的，而 各分量强度不等， 则弱信号分量可能淹没在强信号谱的旁瓣中而无法 发现。这种所谓信号能量（向旁瓣）泄漏现象如果不设法消除，也将 妨碍周期图谱估计法的应用。 周期图改进的方法之一是将长度为 N 的序列 x(n) 乘以同一长度的 数据窗 w(n) 。 数据加窗后的周期图谱估计值的数学期望值等于谱的真实值与窗 谱函数的平方的卷积。 显然它不等于功率谱的真实值， 因而是有偏估 计。
当 N 时，
ˆxx (k )} 0 ， var{r
-3-
ˆxx (k ) 是相关函数 rxx (k ) 的无偏估计且是渐近一致的， 因此 r 即当 k 为有限 ˆxx (k ) 是 rxx (k ) 的一致估计。 值时， r
方法二： 有限长度序列 {x(n), n 0,1,, N 1} 的相关函数 rxx (k ) 的另一 种估计方法可表示为
ryy (k ) h(k ) h* (k ) rxx (k )
(1.16)
1 （1.17） ) Pxx ( z ) z* 1 1 若 h(n) 为实系统，则 H * ( ) H ( ) 。令 z exp( j ) exp( j 2f ) ，得到相 z* z Pyy ( z ) H ( z ) H * (
ˆxx (k )} 0 ， 当 N 时， var{r
ˆxx (k ) 也是 rxx (k ) 的一致估计。 即（1.42）式的 r
（1.42）式所定义的相关函数取傅立叶变换求功率谱估计时，在 计算上有某些方便之处，以后的讨论中，如不作特别申明，将采用这 种有偏估计表示式求相关函数的估计式。 三、功率谱密度的另一个定义 可以证明，功率谱密度（PSD）的一个近似等效的定义是
N
ˆ ( f )] P ( f ) lim E[ P PER xx
这是由于 WB ( f ) 收敛到狄拉克 函数。
2 2 (k ), Pxx ( f ) x 对于高斯白噪声的特殊情况， rxx (k ) x ，结果为
ˆ ( f )] 2 P ( f ) E[ P PER x xx
k
rxx (k )e j 2fk rxy (k )e j 2fk

（1.13） （1.14）
Pxy ( f )
k
Pxx ( f ) 是实的，且非负。
当一平稳随机序列 {x(n)} 通过一个脉冲响应为 h(n) 的线性非时变 系统时，其输出序列 { y(n)} 也是一平稳随机序列。它的自相关函数为
-4-
四、 周期图 周期图谱估计器定义为：
ˆ (f) 1 P PER N
2
x(n) exp( j 2fn)
n 0
N 1
（1.48）
可以证明，周期图等于估计出的自相关序列的傅里叶变换，或
ˆ (f) P PER
xx k ( N 1)
rˆ
N 1
(k ) exp( j 2fk )
第一章
一、 相关函数和功率谱
经典谱估计
若 mx (n) mx 常数， rxx (n1 , n2 ) rxx (n1 n2 ) 即 rxx (k ) E[ x(n k ) x * (n)] ，则称 {x(n)} 为广义平稳序列。 若 {x(n)} 和 { y(n)} 均为广义平稳序列，且 rxy (n1 , n2 ) rxy (n1 n2 ) 即
ˆxx (k ) 是有偏自相关函数的估计值，定义为 其中 r
ˆxx (k ) r 1 N
N 1 k n 0
x ( n) x ( n k )
周期图的期望值是
ˆ ( f )] ℱ {w (k )r (k )} 1 / 2 W ( f ) P ( )d E[ P B xx xx PER B
ˆxx (k ) r 1 N
1 N
N k 1 n 0
x ( n k ) x ( n)
n 0
（1.42）
Nk N rxx (k )
N k 1
ˆxx (k )] E[r

E[ x(n k ) x(n)]
（1.43）
可见，它是相关函数 rxx (k ) 的有偏估计。但是，当 N ，估计值是渐 近无偏的。
1 / 2
（1.49）
式中 WB ( f ) 是巴特利特（Bartlett）窗（三角形窗）的傅里叶变换。
ˆ ( f )] 是真实 PSD 和巴特利特 由式（1.49）可知周期图的均值 E[ P PER
窗傅里叶变换的卷积，在平均意义上得到真实功率谱密度（PSD）的 平滑形式。因此对有限记录数据，周期图一般有偏的，但是当 N 时，它是无偏的。
经常遇到的一种过程是离散白噪声，它的自相关函数（ACF）定 义为：
-2-
2 rxx (k ) x (k )
（1.29）
其中 (k ) 是离散冲激函数。这就是说，各样本之间彼此是不相关 的。
Pxx ( f )
1/ 2 1/ 2 2 rxx (k ) e j 2f df x
rxy (k ) E[ x(n k ) y * (n)] ，则称 {x(n)} 和 { y(n)} 为广义联合平稳序列。
广 义 平 稳 随 机 序 列 {x(n)} 的 相 关 函 数 rxx (k ) 和 它 的 功 率 谱 密 度 Pxx ( ) 之间是傅立叶变换对的关系，即
Pxx ( )
-5-
对任何非白过程，只要记录数据足够长，
ˆ ( f )] P 2 ( f )[1 ( var[ P PER xx sin 2Nf 2 ) ] N sin 2f
对于不靠近 0 或 的频率，且 N 时，上式近似地退化为：
ˆ ( f )] P 2 ( f ) var[ P PER xx
ˆxx (k ) r 1 Nk
N k 1 n 0
x ( n k ) x ( n)
N k 1 n 0
（1.38）
ˆxx (k )] E[r
1 Nk
E[ x(n k ) x(n)]
N k 1 n 0
1 Nk
r
xx
(k ) rxx (k )
（1.39）
E{ a * (n) x(n) } a *(m)a(n)rxx (m n) 0
n 0 m 0 n 0 M 1 2 M 1 M 1
（1.10）
-1-
这个函数称为半正定的。 自相关函数（ACF）和互相关函数（CCF）的 z 变换定义为：
Pxx ( z ) Pxy ( z )