高中数学必修一函数概念定义域值域 教学方案

函数的概念
函数的定义：
设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A
其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.
对函数概念的理解需注意以下几点：
①函数首先是两个数集之间建立的对应，A 、B 都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。

②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的一一对应或多一对应
③认真理解()x f y =的含义：()x f y =是一个整体，()x f y =并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，它可以是解析式，也可以是图像，也可以是表格
④函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . 【例1】判断下列对应能否表示y 是x 的函数：
（1）x y =；（2）x y =；（3）2x y =；（4）x y =2；（5）122=+x y ；（6）122=-x y 。

【练1】判断下列图象能表示函数图象的是（ ）
(A)
区间的概念和记号
设a,b∈R ,且a<b.我们规定：
①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；
③满足不等式a≤x<b 或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b) ,(a，b].
这里的实数a和b叫做相应区间的端点.
在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：
定义名称符号数轴表示
{x|a≤x≤b
闭区间[a，b]
}
{x|a<x<b} 开区间(a，b)
{x|a≤x<b} 左闭右开区间[a，b]
{x|a<x≤b} 左开右闭区间(a，b)
这样实数集R也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为[a，+∞)，（a，+∞）,(- ∞,b],(- ∞,b). 注意：书写区间记号时：
①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；
②有两个区间端点，且左端点小于右端点；
③两个端点之间用“，”隔开.
④无穷大是一个符号，不是一个数
⑤以“-∞”或“+∞”为区间一端时，这一端必须是小括号。

【练】试用区间表示下列实数集：
（1）{x|5≤x<6}；（2）{x|x≥9} ；（3）{x|x≤-1}∩{x|-5 ≤x<2}；（4）{x|x<-9}∪{x|9<x<20}。

函数的三要素：定义域、对应关系和值域 函数的定义域：
函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围 函数y=f(x)的定义域的求法：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r 与圆面积S 的函数关系为S=πr 2
的定义域为{r ︱r>0}
⑥)(x f =x 0
的定义域是{x ∈R ︱x ≠0}
注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。

【例1】求下列函数的定义域： ① 21)(-=
x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x
x x f -++=211)(.
【练1】求下列函数的定义域：
（1）()42
2--=x x x f （2）()2f x x =+ （3） y （4）x
x x y -+=||)1(0
表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。

【例1】若函数a
ax ax y 1
2+
-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围
【练1】已知函数()f x =的定义域为R ，求实数k 的范围
复合函数
1.复合函数定义
定义：设函数
)(u f y =，)(x g u =，则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内函数)(x g u =复合
而成的复合函数。

其中x 被称为直接变量，u 被称为中间变量。

复合函数中直接变量x 的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量u 的取值范围，即是)(x g 的值域，是外函数)(u f y
=的定义域。

设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数，这样把两个函数,或者几个函数套在一起,就称为复合函数.
做复合函数的题目,一定要分清几个函数叠套的关系,知道什么是真正的自变量.
2.定义域问题
复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

题型一、已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。

［例1］已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x 2）的定义域.
题型二、已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。

［例2］f(2x+1) 定义域为[2,5]，求f(x)的定义域。

题型三、已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域
［例3］已知函数f （x ＋1）的定义域为[－2，3]，求f （2x 2－2）的定义域.
【配套练习】
1．若()x f 的定义域为2>x ，则()3+x f 的定义域为_____________
2 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()-2的定义域为__________
3.已知函数y ＝f （x ）的定义域为[0，1]，求f （x －1）的定义域.
4.已知函数y ＝f （x －1）的定义域为[0，1]，求f （x ）的定义域.
5.已知函数y ＝f （x －2）的定义域为[1，2]，求y ＝f （x ＋3）的定义域
函数的对应法则：
①对应关系f 是函数关系的本质特征，)(x f y =的意义是：y 就是x 在关系f 下的对应值，而f 是“对应”得以实现的方法和途径。

如)(x f =3x+4，f 表示3倍的自变量加上4，f （8）=3x8+4=28 ②)(x f 与)(a f 的区别
)(a f 表示)(x f 在x=a 时的函数值，是常量；而)(x f 是x 的函数，通常是变量.)(a f 是)(x f 的一个特殊值。

如一
次函数)(x f =3x+4，当x=8时，f （8）=3x8+4=28是一个常量。

【例1】已知函数)(x f =32
x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).
函数的值域：对于)(x f y =， x ∈A ，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数y=f(x)的值域。

题型2 函数的值域 1.一次函数
【例1】求()[)1,3,23-∈+-=x x x f 的值域 2.二次函数（配方法）
特征：2
()f x ax bx c =++对策：
① 先找二次函数的对称轴，
② A 、若对称轴在定义域内，y 的两个最值点分别出现在顶点处及距对称轴较远处 B 、若对称轴不在定义域内，则将定义域两端点代入函数，即得y 的两个最值点 【例1】求函数y=2
x -2x+5的值域。

【例2】()[)0,3,1422-∈-+=x x x x f 的值域
【例3】()(]5,2,1422
∈-+-=x x x x f 的值域。

【练1】函数{}()1,1,1,2f x x x =+∈-的值域是 （ ）
Ａ．0,2,3 Ｂ．30≤≤y Ｃ．}3,2,0{ Ｄ．]3,0[ 【练2】函数x y -=3的值域是
【练3】12)(2
++=x x x f ，]2,2[-∈x 的最大值是
【练4】函数2y =的值域是（ ）
A.[2,2]-
B. [1,2]
C.[0,2]
D.[
【练5】若函数2
34y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为25[4]4
-
-，，则m 的取值范围是（ ） A (]4,0 B 3[]2
，4 C 3[3]2
， D 3[2
+∞，）
【练6】若函数2
3
212+-=x x y 的定义域和值域都是[]b ,1,则实数b 的值为 ___________
【练7】已知函数()()ab a x b ax x f ---+=82
，当()2,3-∈x 时，()0>x f ，当()()+∞∞-∈,23, x 时，()0<x f （1）求()[]1,0∈x x f 在上的值域。

（2）当c 取何值时，02
≤++c bx ax 恒成立。

带参数的二次函数：函数中带有参数或定义域里有参数，均已讨论对称轴在区间的位置为方向 【例1】（1）求函数2
()1,[2,2]f x x ax x =+-∈-的值域；
【例2】对于二次函数2
43y x x =++，当2m x m ≤≤+时，求出函数的最小值。

【练1】已知函数3)(2
++=ax x x f ，当]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的最小值．
【练2】设函数[]2
()41,,1f x x x x t t =-+∈+，求()f x 的最小值()g t 的解析式．
3.反比例函数 【例1】⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈+-=
1,32432x x y 在求上的值域
【练1】⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈+=4,31123x x y 在求上的值域。

4.分离常数法 【练1】（1）1+=x x
y （2）213
x y x +=-
5.打勾函数法 【例1】（1）x
x y += （2）1232y x x =++
++
【练1】已知,2>x 求2
1
-+=x x y 的最小值为_________
【练2】求1
2(3)2
y x x x =+≥- 的值域。

【练3】当1x >-时，求231
()1
x x f x x -+=+的最小值是___________
6．一次根式函数换元法：()f x ax =
解题方法：换元法，取t =2t c
x b
-=，将原函数改写为二次函数求值域，记得写新定义域
【例1】求函数1-+=x x y 的值域。

【练1】求函数求函数12++=x x y 的值域
7．带绝对值或分段函数
【例】求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
【练1】求函数()|2||3|f x x x =-+-的值域；
【练2】求分段函数222(03)()6(20)
x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤≤⎪⎩的值域
函数的解析式
1、待定系数法
【例】（1）已知二次函数()f x 满足(1)1f =，(1)5f -=，图象过原点，求()f x ；
【练1】已知y 1= f(x)表示过（0，-2）点的一条直线，y 2= g(x)表示过（0，0）点的另一条直线，又f[g(x)]= g[f(x)]=3x-2,求这两条直线的交点坐标。

【练2】已知f （f （x ））＝2x －1，求一次函数f （x ）
【练3】设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(x f 的解析式。

【练4】 已知b 为常数，若34)(2
++=x x x f ，2
()1024f x b x x +=++，则b = ．
【练5】已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3。

（1）若方程()60f x a +=有两个相等的根，求()f x 的解析式； （2）若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围。

2、代入法
【练1】已知2
()31f x x =+，()21g x x =-，求[()]f g x 和[()]g f x .
3、配凑法
【例】已知2(1)2f x x x +=-，求()f x . 【例】已知2
211
()f x x x x
-=+
，求函数)(x f 的解析式。

【练1】已知1)f x +=+(1)f x +． 【练2】已知3311
()f x x x x
+=+，求()f x 。

4.换元法
【例】已知2(1)3f x x
+=，求)(x f 的解析式。

【练1】已知f （x ＋1）＝x 2＋3x ＋4，求f （x ） 【练2】已知21()1x
f x x
-=+，求()f x
5、构造方程法：若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 【例】已知()f x 满足12()()3f x f x x
+=，求()f x .
【练1】已知()f x 满足3()()21f x f x x --=-，求()f x 的解析式。

【练2】已知13)()(2-=+-x x f x f ，求)(x f 。

【配套练习】
1.已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2，求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]。

2.设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ．
3.已知f （2x ＋1）＝22
-+x x ，求f (x )的解析式.
4.已知f （x －1）＝x 2
－3x ＋4，求f （2x －3）的解析式。

5.已知x x x f 2)12(2
-=+，求)122(+f 和)322(+f ．
6.已知f （x ＋1x ）＝x 2
＋1x
2 ，求f （x ）的解析式
7.已知函数)(x f 满足)(,2)()(22x f x x x f x f 则+=-+.的解析式
8.已知函数f （x ）是一次函数，且满足关系式3f （x ＋1）－2f （x －1）＝2x ＋17，求f (x )的解析式.
相同函数的判定：
只有当对应法则、定义域、值域，这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数
下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？ 【例1】⑴()2
x y =；⑵3
3x y =
；⑶2x y =
【练1】下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A ．2(),()f x g x ==
B ．0
()1,()f x g x x ==
C ．2
(),()f x g x ==
D ．21
()1,()1
x f x x g x x -=+=-
【练2】下列各组函数中，表示同一函数的是
（ ）
（A ）2|,|x y x y =
= （B ）4,222-=+⨯-=x y x x y
（C ）33
,1x
x y y ==
（D ）2)(|,|x y x y ==
作业
1. 求下列函数的值域： （1）
（2）
； （3） y =x +x 21-
2.判断题：
（1）函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应 （ ） （2）函数的定义域和值域一定是无限集合； （ ） （3）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定； （ ）
（4）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素； （ ） （5）对于不同的x , y 的值也不同； （ ） （6）f (a)表示当x = a 时，函数f (x)的值，是一个常量。

（ ）
2.给出如下3个等式：)()()(y f x f y x f +=+，)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f xy f =，则函数①=)(x f 2x ②
=)(x f x 3 ③=
)(x f 1
x
④()0f x = 都满足上述3个等式的是D A =)(x f 2x B =)(x f x 3 C =)(x f 1
x
D ()0f x =
6.若函数ｙ＝ｆ(ｘ)的定义域是{10|≤≤x x }，则函数Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ＋a )＋ｆ(２ｘ＋a )（０＜a ＜１） 的定义域是（ A ） A ．{212|a x a x -≤
≤-
} B ．{a x a x -≤≤-12|} Ｃ．{a x a x -≤≤-1|} Ｄ．{2
1|a
x a x -≤≤-} 3.函数3x 2x )x (f 2
+-=在]m ,0[的最大值为3，最小值为2，则实数m 的取值范围是
10.函数2
()4f x x x =-+在[],()m n n m >的值域是[]5,4-，则n m +的最大值为 7 .
4.12,x x 是关于x 的一元二次方程2
2(1)10x m x m --++=的两个实根，又22
12y x x =+，求()y f m =的
解析式及此函数的定义域
5.对于任意实数x ，函数2
()(5)65f x a x x a =--++恒为正值，求a 的取值范围
6.已知函数2
()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值
7.设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域
8.已知函数3)(2++=ax x x f ，当]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的最小值．
9.若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域；
10．若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域；
11．已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．
12．已知 ,1)(2+=x x f 求)1(-x f 的解析式
13．已知 1)1()1(2
++=-x x f ，求)(x f 的解析式 14．已知x
x x f 1
)1(+=- ，求)(x f 的解析式
15．已知2
2
1
)1(x x x
x f +=-，求)1(+x f 的解析式
16 .已知,a b 为常数，若22
()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则求b a -5的值
17、若二次函数的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 。

18．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，摇匀后再倒出一升，再用水填满，这样继续进行，如果倒k 次(k ≥1)后共倒出纯酒精x 升，倒第k+1次后共倒出纯酒精f(x)升，则函数f(x)的表达式为 。

19.二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f . （1）求)(x f 的解析式；
（2）在区间[]1,1-上，)(x f y =的图象恒在直线m x y +=2上方，试确定实数m 的取值范围.
20.设函数()1+=
x x g ，函数()(]a x x x h ,3,3
1
-∈+=
，其中a 为常数且0>a ，令函数())()(x h x g x f •=。

（1）求函数()x f 的表达式，并求其定义域；（2）当4
1
=a 时，求函数()x f 的值域；
（3）是否存在自然数a ，使得函数()x f 的值域恰为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡21,31？若存在，试写出所有满足条件的自然数a 所构成的
集
合；若不存在，试说明理由。

解：（1）3
1
)(++=
x x x f ，其定义域为],0[a ； ………2分 （2）令1+=x t ，则]2
3,1[∈t 且2
)1(-=t x
∴423)1()(2
2+-=+-==t t t
t t x f y ………5分 ∴t t y 421
+
-=
∵t
t 4
2+-在]2,1[上递减，在),2[+∞上递增，
∴4
22+-t t t
在]23,1[上递增，即此时)(x f 的值域为]136,31[ ………8分
（3）令1+=
x t ，则]1,1[a t +∈且2)1(-=t x ∴t
t y 421+
-=
∵t t 4
2+-在]2,1[上递减，在),2[+∞上递增， ∴y=4
22+-t t t
在]2,1[上递增，]1,2[a +上递减， ………10分
2=t 时4
22
+-t t t
的最大值为21， ………11分 ∴1≥a ，又21≤<t 时4
2312+-<t t t
∴由()x f 的值域恰为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡21,31，由31422=+-t t t ，解得：1=t 或4=t ………12分
即()x f 的值域恰为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡21,31时，941≤⇒≤+a a ………13分
所求a 的的集合为}9,,2,1{ 。

………14分。