2013高中数学 2-1 第1课时正弦定理同步导学案 北师大版必修5

第二章解三角形

本章概述

●课程目标

1.双基目标

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量学、力学、运动学以及几何计算等有关的实际问题.

2.情感目标

（1）通过对任意三角形边角关系的研究，培养学生的归纳、猜想、论证能力及分析问题和解决问题的能力.

（2）通过解决一些实际问题，培养同学们的数学应用意识，激发同学们学习数学的兴趣，感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活.

（3）正弦定理、余弦定理的探索和验证、使用计算器进行近似计算等.一方面，同学们借助技术手段，从事一些富有探索性和创造性的数学活动，可以培养同学们的探索精神和创新精神；另一方面，借助计算器可以解决计算量大的问题，也可以根据实际需要进行近似计算，有利于激发同学们学习数学的兴趣.

●重点难点

重点：运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系，运用这两个定理解决一些测量以及与几何计算有关的实际问题.

难点：正、余弦定理的推导以及运用正、余弦定理解决实际问题.

●方法探究

1.注重知识形成的过程，通过从特殊到一般，再从一般到特殊的过程，引导我们从猜想、验证到证明等环节自主研究，从而养成良好的学习习惯.

2.注重数学与日常生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力.

3.学习本章应注意的问题

（1）重视数学思想方法的运用.解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时，要注意函数与方程思想的运用.

（2）加强新旧知识的联系.本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有密切联系.同时要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力.

（3）提高数学建模能力.利用解三角形解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系，根据题意作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.

§1 正弦定理与余弦定理

第1课时正弦定理

知能目标解读

1.通过对特殊三角形边长和角度关系的研究，发现正弦定理，并初步学会这种由特殊到一般的思想方法来发现数学中的规律.

2.掌握用向量法证明正弦定理的方法，并能用正弦定理解决一些简单的三角形相关的度量问题.

3.学会用三角函数及计算器求解一些有关解斜三角形的近似计算问题.

重点难点点拨

重点：正弦定理的证明及利用正弦定理解题.

难点：已知三角形的两边和其中一边的对角，判定三角形解的情况. 学习方法指导 一、正弦定理

1.正弦定理指出了任意三角形的三边与对应角的正弦之间的关系式.结合正弦函数在区间上的单调性知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中的边与角的一种数量关系.

2.正弦定理的证明

正弦定理的证明，教材上通过构造向量投影相等的方法进行了证明.除此之外，还可以运用向量法和三角函数定义法给予证明.

方法一：建立直角坐标系，借助三角函数的定义进行证明. 在如图所示的直角坐标系中，点B,C 的坐标分别是

B （ccos A ,csin A ）,

C (b ,0).于是S △ABC =

21bc sin A .同理S △ABC 还可以表示成21ab sin C 和2

1

ac sin B . 从而可得A a sin =B b sin =C

c

sin .

方法二：如图所示：当△ABC 为锐角三角形时，设边AB 上的高为CD ，根据三角函数的定义，有

CD =b sin A ,CD =asin B ,

所以b sin A =a sin B ,即

A a sin ＝B

b

sin ; 同理可得

B b sin =C

c

sin . 所以

A a sin ＝

B b sin ＝C

c sin . 如下图所示，当△ABC 为钝角三角形时，设A 为钝角，AB 边上的高为CD ，

则CD =a sin B ,CD =b sin(180°－A ) =b sin A . 所以a sin B =b sin A ,

即A a

sin ＝B

b sin ; 同理B b sin ＝C

c sin .

所以A a sin ＝B b sin ＝C

c

sin .

当△ABC 为直角三角形时，上式也成立.

方法三:如下图所示：过A 作单位向量j 垂直于AC .由AC +CB =AB ，

两边同乘以单位向量j ,得j ·（+）=ｊ·. 则j ·+j ·=j ·AB .

∴１j |||cos90°+|ｊ|||cos(90°-C )=| j |||cos(90°-A ). ∴a sin C =c sin A . ∴

A a sin =C

c sin . 同理，过C 作j 垂直于，得

C c sin =B

b

sin , ∴

A a sin =

B b sin =C

c

sin . 二、利用正弦定理解三角形的类型

（1）已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解.

（2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解，在△ABC 中，已知a,b 和∠A 时，解的情况如下：.

①a=b sin A ２a ≥b a>b

三、三角形常用面积公式 （1）S =

2

1

ah a （h a 表示边a 上的高）； （2）S =

21ab sin C =21bc sin A =2

1

ac sin B ； (3)S =

2

1

r (a+b+c )(r 为三角形内切圆半径). 四、应用正弦定理的解题规律

1.正弦定理揭示了任意三角形边角之间关系的客观规律，是解三角形的重要工具.同时在三角形中与三角函数、平面向量有密切的联系.

2.利用正弦定理可以解决两类解三角形问题：一类是已知两角和任一边，求其他两边和一角；另一类是已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角.

3.解题时，要注意“三角形内角和为180°”、“在一个三角形中，大边对大角”等平面几何性质的运用.

4.要注意正弦定理的变式在解题中的应用，在解题时体会分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的应用. 知能自主梳理

正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的 相等，即 = = .

［答案］ 正弦的比

A a sin

B b sin C

c

sin