不等式证明方法的探毕业论文究

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目录

一．不等式的概念：................................... - 1 - 二．不等式的证明方法................................. - 1 -

1.比较法：........................................ - 1 -

2.综合法：........................................ - 2 -

3.分析法:......................................... - 3 -

4.数学归纳法:..................................... - 4 -

5.反证法:......................................... - 5 -

6.换元法:......................................... - 6 -

7.放缩法:......................................... - 7 -

8.利用单调函数法：................................ - 9 -

9.利用微分中值定理：.............................. - 9 -

10、利用不等式定理：............................. - 10 -

11、利用泰勒公式：............................... - 10 -

12、利用函数的极值法：........................... - 11 -

13、中值定理法：................................. - 12 -

14.利用函数的凹凸性：............................ - 12 -

15.利用定积分理论：.............................. - 13 - 小结:............................................... - 14 - 参考文献：.......................................... - 15 -

一．不等式的概念：

用不等号把两个数学式子连结起来而得到的式子叫做不等式。 不等式必须在定义了大小关系的有序集合上研究．由于复数域没有定义大小，所以不等式中的数或字母表示的数都是实数。

（1）用符号＞或＜联结两个解析式所成的式子，称为不等式．

（2）不等号＞或＜叫做严格不等号，≥或≤叫做非严格不等号（相应的不等式分别叫做严格不等式和非严格不等式）．例如b a ≥表示“b a >或b a =有一个成立，”因此１≥０或１≤１都是真的．另外，日常还使用一种只肯定不等关系但不区分孰大孰小的不等号，即“≠”．

二．不等式的证明方法

1.比较法：

比较法是直接求出所证不等式两边的差或商，然后推演结论的方法．欲证B A >(或B A <)，可以直接将差式B A -与０比较大小；或者+∈R B A ,时，直接将商式B

A 与1比较大小．

在什么情况下用比较法较好呢？一般地，当移项后容易分解成因式或配成完全平方时，可考虑用比较法；或当不等式两边都是乘积结构（或可化成乘积结构，虽为商式结构，但分子、分母都可化为乘积结构）时，可考虑比较法；另外，能化成便于放大或缩小的商式，也

可考虑用比较法．

例１ 设b a ,为不等的实数，求证

)(46224224b a ab b b a a +>++

证明 因为

=++-+=+-++222222224224)2()(4)()(46ab b a ab b a b a ab b b a a

=-+222)2(ab b a

)(0)(4b a b a ≠>-

所以

)(46224224b a ab b b a a +>++

2.综合法： 综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，依据不等式的性质、函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式．常利用不等式的性质或借助于现成的不等式．因此，掌握的不等式越多，应用这种方法就越方便．

例2 试证：若0,,>∀c b a ，则有

abc b a c a c b c b a 6)()()(222222≥+++++

证明：

方法１ 因为0)(2≥-b a ，所以ab b a 2)(22≥+．又0>c ，所以

abc b a c 2)(22≥+

同理有 abc a c b abc c b a 2)(,2)(2222≥+≥+

由相同加法则，三式相加即得结论．

方法２ 欲证不等式等价于

6≥⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a c a a c b c c b 因为2,2,2≥+≥+≥+a b b a c a a c b c c b ，三式相加，即得结论．

说明 ： 将所要证不等式分成几个同向不等式，然后将各式相加或相乘，这是证明不等式的常用手法．

3.分析法:

分析法是“执因索果”，即从所要证明的结论出发，步步推求使不等式能成立的充分条件（或充分必要条件），直至归结到已知条件或已知成立的结论为止．

例3 已知1,≥∈n N n ，求证

⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++n n n n 21412111215131111 (1)

证明 欲证不等式(1)，只需证

⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++n n n n 214121)1(12151311 (2)

(2)式左边即

⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++121513122n n n n (3)

(2)式右边即

=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++n n n 214

121214121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n n n n 21412141212 (4)

比较(3)与(4)式，显然