高等代数课程论文

摘要：线性方程组的求解在高等代数学的是一个很重要组成分，因此对于对线性方程组解的广泛应用于数学与其他科学领域，因此对于线性方程组有解的判别定理和线性方程组解的结构我们必须进行认真的研究，搞清楚他们之间的关系。

本文对线性方程组的解和判定进行了全面的分析与研究。

关键字：线性方程组；解结构；矩阵；解的判定
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线性方程组解的判定与结构 .............................. 错误!未定义书签。

引言 (1)
1 线性方程组解的判别定理 (1)
2 齐次线性方程组的解的结构 (2)
3 一般线性方程组的解的结构 (3)
致谢 (7)
参考文献： (7)
引言
线性方程组是线性代数的主要内容，包括线性方程组有解性的判定、消元法解线性方程组和线性方程组解的结构以及他们的基础解系。

它与矩阵、向量还有行列式、方程组、秩、克拉默法则的内容密切相关，与矩阵、向量组相关的许多重要结论都是线性方程组有关结论的应用和推广，对此本论文紧紧围绕线性方程组与解的结构进行展开，这也对我们以后学习线性方程组的解结构与解判别定理有很大帮助。

下面我就分几大板块来介绍关于线性方程解的判定与结构。

1 线性方程组解的判别定理
线性方程组是否有解，我们有没有其他办法来解决？当然有，那就是通过用系数矩阵和增广矩阵的秩来进行刻划，下面我们对此介绍几个相关的定理：
定理 1 线性方程组AX=b 有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，即 秩（A ）=秩（A ＇）。

证明 线性方程组（1）有解，就是说β可以经向量组12,,
n ααα线性表出，由此立即推出，向量组12,,n ααα与向量组12,,,n αααβ等价，因而有相同的秩。

这两个向量组分别是矩阵A 与A ＇的列向量组，因此矩阵A 与A ＇有相同的秩
定理2若线性方程组AX=b 有满足 秩（A ）=秩（A ＇）=r ，则当r=n 时，线性方程组有解且只有唯一解；当r<n 时，线性方程组有无穷多解。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0
,0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 以上两定理称为线性方程组解的判定定理
应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一直的。

推论（齐次线性方程组解的判定定理）
齐次线性方程组AX=0有非0解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩小于未知量的个数，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0
,0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 秩（A ）=r<n
2 齐次线性方程组的解的结构
在解决线性方程组有解的判别条件之后，我们来进一步讨论线性方程组解的结构，在线性方程组的解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题，在多个解的情况下，所谓解的结构就是所谓解与解之间的关系的问题。

下面我们将来证明，虽然有这是解有无穷多个，下面来讨论有解的情况。

设
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0
,0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1) 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质：
1） 两个解的和还是方程组的解.
设（k1,k2,…kn ）与
12,...,)n l l l （是方程组（1）的两个解，这就是说，把他们代入方程组，每个方程组成恒等式。

2） 一个解的倍数还是方程组的解.
设（k1,k2,…kn ）是方程组（1）的一个解，不难看出（ck1,ck2,…ckn ）还是方程组的解。

从几何上看，这两个性质是清楚的.在3=n 时，每个齐次方程表示一个过得点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.
对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？回答是肯定的。

为此，我们引入下面的定义。

定理3 齐次线性方程组(1)的一组解t ηηη,,,21 称为(1)的一个基础解系，如果
1）(1)的任一个解都能表成t ηηη,,,21 的线性组合；
2）t ηηη,,,21 线性无关.
应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.
定理4在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于r n -，这里r 表示系数矩阵的秩(以下将看到，r n -也就是自由未知量的个数). 定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法.
由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系. 3 一般线性方程组的解的结构
如果把一般线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++s
n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, (9)
的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1). 齐次线性方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：
1）线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解.
2）线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.
定理5 如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，那么线性方程组(9)的任一个解γ都可以表成
ηγγ+=0
其中η是导出组(1)的一个解.因此，对于线性方程组(9)的任一个特解0γ，当η取遍它的导出组的全部解时，(10)就给出(9)的全部解.
定理5说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果0γ是线性方程组(9)的一个特解，r n -ηηη,,,21 是其导出组的一个基础解系，那么(9)的任一个解γ都可以表成
r n r n k k k --++++=ηηηγγ 22110
推论 在线性方程组(9)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解. 线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看线性方程组
⎩⎨⎧=++=++.
,23232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a (11) (11)中每一个方程表示一个平面，线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=232221131211a a a a a a A 与⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=22322211131211b a a a b a a a A , 它们的秩可能是1或者2.有三个可能的情形：
1） 秩A =秩A =1.这就是的两行成比例，因而这两个平面平行.又因为A 的两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解.
2） 秩A =1，秩A =2.这就是说，这两个平面平行而不重合. 方程组无解.
3） 秩A =2.这时A 的秩一定也是2.在几何上就是这两个平面不平行，因而一定相交. 方程组有解.
下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵A 的秩为2，这时一般解中有一个自由未知量，譬如说是3x ，一般解的形式为
⎩⎨⎧+=+=.
,32223111x c d x x c d x (12) 从几何上看，两个不平行的平面相交在一条直线.把(12)改写一下就是直线的点向式方程
32
22111x c d x c d x =-=-. 如果引入参数t ，令t x =3，(12)就成为
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=.,,3
222111t x t c d x t c d x (13)
这就是直线的参数方程.
(11)的导出方程组是
⎩⎨⎧=++=++.0,03232221
21313212111x a x a x a x a x a x a (14) 从几何上看，这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行，也就是有相同的方向，所以这条直线的参数方程就是
⎪⎩⎪⎨⎧===.,,3
2211t x t c x t c x (15)
(13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系.
例1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=--+--=-+-+-=+-+-0
922143054970432025354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．
解 对这个方程组的系数矩阵作行的初等变换化为阶梯形矩阵
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----------00000000005/25/35/7105/115/15/4011922143549714131212531． 于是，这个齐次线性方程组的一般解为
⎪⎩
⎪⎨⎧--=-+-=543254315253575115154x x x x x x x x ， 其中543,,x x x 为自由未知量．让自由未知量分别取(5，0，0)，(0，5，0)，(0，0，5)，则得这个线性方程组的一个基础解系为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=005741η， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=050312η， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=5002113η
例2 在数域F 上求下列线性方程组的一般解：
⎪⎩⎪⎨⎧-=-+++-=+----=--++--=-+-+21
931644
32145234
235432
1543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ． 解 先对这个线性方程组的增广矩阵A ~作行的初等变换，将它化为阶梯形： ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-------=→0000003334110014401022227001~~B A ． 因此，这个线性方程组的一般解为 ⎪⎩⎪⎨⎧++=-+=++=3
334114422227543542541x x x x x x x x x ．
再由上面的一般解，求得这个方程组的一个特解0γ及它的导出组的一个基础解系：
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=003120γ； ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=01414271η， ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10334222η． 因此，这个线性方程组的解集},|{2122110F k k k k L ∈++=ηηγ．
例3 解方程组
12341241
2341234235243232829521
x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-=-⎪⎨--++=⎪⎪+--=-⎩
解 把方程组中的第1行的方程适当倍数加到其他3个方程，得
12343434342356313631312626x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--=-⎪⎨+=⎪⎪--=-⎩
继续施行初等变换得
12343423511326x x x x x x +++=⎧⎪⎨+=⎪⎩
再施行一次初等变换，得
124341322211326x x x x x ⎧+-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
最后，得
124343122213162x x x x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
其中24,x x 是自由未知量。

致谢
这学期的高等代数课程论文，在王老师的指导下总算是完成啦，王老师对我们的论文指导，可以说是关怀备至，先是把重庆三峡学院的课程论文设计放到群里面，让我们去看里面的格式是如何写，还有很多的注释呢，这是为了啦我们少放错误，老师还在论文写作方面给我们放了一些例子在里面，这是为啦我们能够方面照着格式写，以避免去查阅大量的资料。

老师在论文的写作方面还要求，不要抄袭，这是要我们诚信做人，真可谓是字字千钧，在这里要对王老师的帮助表示感谢！
参考文献：
1． 王萼芳﹑石生明，高等代数[M]，北京：高等教育出版社，第三版，2009.6.
2． 王萼芳﹑高等代数教程下[M]，北京：清华大学出版社，1999.12.
3． 张禾瑞﹑郝鈵新，高等代数[Ｍ]，北京：高等教育出版社，第四版，2004.2.
4． 马菊侠﹑吴云天,线性代数:题型归类﹑方法点拨﹑考研辅导[M],北京：国防工业出版社,第二版,2009.8.
5．马訾伟﹑杜炜﹑闫晓红，高等代数：全程导学及习题全解[M]，北京：中国时代经济出版社，第五版，2009.9.。