广义相对论

; ;
g
kˆ
;
g kˆ;
g
(
kˆ,
kˆ
)
kˆ
g ,kˆ
xk ：循环坐标（平移不变性）
3
t和是席瓦西尔度规的循环坐标
ds2
1
2GM r
dt
2
1
2GM r
1
dr 2
r2
d 2 sin2 d 2
例：自由质点在席瓦西尔场中的运动
p0
g0
p
第六章 粒子在球对称场中的运动
一般星体 均有球对 称性
Solar system
检测牛顿理论与广义相对论的差别
1
6.1 时空对称性与守恒量
质点的逆变四维动量：p m dx
d
协变动量：p g p
m是标量性的静质量
命题：如果 所生成的映射是等度规映射，则质点
在这度规场中运动时 p 是一个守恒量。
等效势：
GM L2 V r 2r2
牛顿势 径向动力学方程:
离心势
1 2
dr dt
2
E
V
r
E V r
L 0, E 0 r有最大值和最小值，束缚态 E 0 r可延伸至无穷远，散射态
L 0 由于没有离心势，中心排斥力消失了。
11
广义相对论运动方程
d d
L r2
dt
d
1
E 2GM
r
引入等效势
u1
GM L
2
通解：
u1
GM L
2
1
e
cos
d 2u2
d 2
u2
6
GM L
dt
d
E
r 2
d d
L
由归一化条件： guu 1
1
2GM r
dt
d
2
1
2GM r
1
dr
d
2
r2
d d
2
1
5
1
2GM r
dt
d
E
r 2
d d
L
1
2GM r
dt
d
2
1
2GM r
1
dr
d
2
r2
d d
2
1
整理后：
d d
L r2
2
d 0 d
dt
d
1
E 2GM
r
dr
d
2
E2
1
2GM r
1
L2 r2
6
E 和 L 的物理意义
在赤道面上静止的观测者的四维速度是：
u u0,0,0,0
1 g00
, 0, 0, 0
1
, 0, 0, 0
1 2GM r
四轴系类空基矢取为
iˆ
1 giˆiˆ
iˆ
对i不求和
该观测者测得的质点的能量是 pˆ 的0分量，
U
2 max
散射态
E2
U
2 max
吸收态
2 3L4
U2 max
1
无散射态,只有束缚态和吸收态
L2 3
等效势的峰与谷都消失
13
相对论的结果与牛顿结果的重要不同
1. 场中运动质点被引力源吸收的可能增加了
按牛顿理论，运动质点的角动量必须充分小， 即运动方向几乎是准确地指向引力源，它才能落到 引力源上去。
dr
d
2
E2
1
2GM r
1
L2 r2
U
2
1
2GM r
1
L2 r2
径向方程： dr
2
E2
U
2
d
展开
U2
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1
2GM r
L2 r2
2GML2 r3
为了方便，将GM作为r的单位
U 2 1 2 L~2 2L~2 其中 L~ L
r r2 r3
GM
12
L 4 E2 1
束缚态
1
E2
d 2U 2 dr 2
4 r3
6L2 r4
24L2 r5
0
2r2 3L2r 12L2 0
联立求解可得：r 6GM
15
6.4 行星的轨道
牛顿理论：
1 2
dr dt
2
E
GM r
L2 2r 2
d L
dt r 2
两边对求导
1
dr
d
2
2
d
dt
1 d
2 d
1 2 r
E L2
GM rL2
（零级解代入）
太阳系中水星的轨道半径最小 u GM 107
r
d 2u
d 2
u
GM L
2
3
GM L
4
6
GM L
4
e
cos
e 1 17
d 2u
d 2
u
GM L
2
3
GM L
4
6
GM L
4
e cos
e 1
小量，改变椭圆长轴长度，（略去）
令解为：u u1 u2
d 2u1
d 2
L: 单位质量质点的等效角动量 9
6.3 运动的分类
质点在有心力场中运动时，牛顿动力学方程
d L
dt r2
1 2
dr dt
2
E
GM r
L2 2r 2
L和E，单位质量的角动量和能量，运动可分为两大类：
束缚态： E<0， 按椭圆形轨道运动
散射态： E0，双曲线或者抛物线
特例 吸收态：L=0不是束缚态也不是散射态， 10
证明：要证
d
d
p
0
d d
p
d
p
dx
dx
d
p
u
;
m
u;u ; uu
0
测地线方程
u; u
du
d
u u
0
2
一种常见形式的凯林矢量： 若 g 与xk 无关，
则
kˆ
为凯林矢量（k取定值）
这一凯林矢量所生成的无穷小映射是：
x
x x
k k
若 g 与xk 无关，则必为等度规映射
p0ˆ
p 0ˆ
p
00 0ˆ
p0ˆ
pu
p0u0
mE 1 mE
1 2GM 1 2GM
r
r
7
上式表明：实测的质点能量 P0ˆ 并不守恒，它与 质点所在地的 g00 成反比。
在无穷远处 g00 1 ，于是可以说 E 是无穷远 处测得的单位质量质点的能量。
或者说 E 所反映的是单位质量质点的能量与 g00 的乘积。
按相对论，即使L很大，只要E充分大，质点 就会绕力心回旋多次后坠落。这一点对讨论致密 天体对空间粒子的吸引问题是一个重要的观念。
14
２．圆轨道最小半径 按牛顿理论，可以实现半径任意小的圆轨道。 按相对论，最小的圆轨道半径是6GM.
dU 2 dr
2 r2
2L2 r3
6L2 r4
0
r2 L2r 3L2 0
1 2r 2
d 1 d2
d
r
d
2
1 r
GM L2
d
d
1 r
1 r
d
d
1 r
16
d2
d 2
1 r
1 r
GM L2
把变量和参量无量纲化
定义：u GM
r
d 2u
d 2
u
GM L
2
方程的解：u GM 21 ecos
L
相对论性的动力学方程：
d 2u
d 2
u
GM L
2
3u2
8
质点的横向 方向的动量是 pˆ 的第3分量。
p3ˆ
p3ˆ
p
33 3ˆ
p3ˆ
p33ˆ3
g33 p3
1 g33
3 3
d g33 m d
rm
L r2
mL r
g33
rp 3ˆ :质点的等效角动量
d L d r2
r 2 sin 2
2
r
因为 r 不是质点与力心的真实距离而只是等效距离
g00 p0
m1
2GM r
dt
d
const
p
但
p0
dx0 m
m
dt
不是守恒量
d d
p3
g3
p
g33 p3
mr2 sin2
d d
const
4
6.2 席瓦西尔场中的运动方程
质点在席瓦西尔场运动，由于对称性，总
可选择席瓦西坐标使
2
d 0 d
赤道面
p0, p3
是守恒量：
1
2GM r