函数与方程思想

第十一专题 函数与方程思想

考情动态分析：

本专题的内容主要是函数思想、方程思想及其应用.函数的思想方法是用联系变化的观点，将给定的数学问题转化为函数关系，通过研究函数的性质，得出所需的结论.高考中有关函数思想的试题主要涉及四个方面：（1）具体的原始意义上的函数问题；（2）方程、不等式与函数的综合问题；（3）数列这一特殊的函数；④利用辅助函数解题.

方程的思想方法，就是设出未知数.根据题中各量间的关系，列出等式，沟通未知与已知的关系，从而使问题得以解决.高考中有关方程的试题单独命题较少，主要有以下几个方面：（1）方程、函数、不等式的综合题；（2）求曲线的方程；（3）数列中方程思想的应用.

对函数与方程思想的考查，集中体现在应用题、探索性问题，主要考查学生的阅读能力、应用能力、理解能力、表达能力及信息加工处理能力，命题集中体现在在知识交汇点处命制综合性问题.

第一课时 函数思想与方程思想

一、考点核心整合

函数思想就是要用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这数量关系表示出来，并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系的观点提出数学抽象，抽象其数学特征，建立函数关系.

方程的思想就是如果变量间的关系是通过解析式表示出来的，则可以把解析式看作一个方程，通过对方程的讨论使问题得到解决.

函数思想、方程思想体现了一种解决数学问题的理念——建“模”意识.所谓“模”就是一个问题的载体，是联系已知、未知的桥梁，建“模”后的第二个步骤是解析“模”，从而真正将实际问题化为数学问题，数学因此也成为探索大自然奥秘的工具.

二、典例精讲：

例1 已知函数)(x f 的定义域为}3,2,1{=A ，值域为}2,1{--=B ，则这样的函数共有

________个.

例2 设平面内两向量a 与b 互相垂直，且1||,2||==，又k 与t 是两个不同时为0的实数.

（Ⅰ）若t )3(2-+=与t k +-=垂直，求k 关于t 的函数关系式)(t f k =； （Ⅱ）试确定)(t f k =的单调区间. 例3 已知函数)(log )1(log 1

1

log )(222x p x x x x f -+-+-+=. （Ⅰ）求)(x f 的定义域；

（Ⅱ）求)(x f 的值域.

例4 二次函数r qx px x f ++=2

)(中实数、r 、q p 满足

012=++++m

r

m q m p ，其中0>m ，求证：（Ⅰ）0)1

(

<+m m

pf ； （Ⅱ）方程0)(=x f 在)1,0(内恒有解.

三、提高训练：

（一）选择题：

1．当

2

π

<

x

x

x

x

f

2

sin

sin

8

2

cos

1

)

(

2

+

+

=的最小值为（）

A、2

B、3

2C、4 D、3

4

）

00

（）

A、

5

1

<

a B、

5

1

>

a C、

5

1

>

a或1-

<

a D、1-

<

a

4．设)

,

(y

x

P是椭圆4

42

2=

+y

x上的一个动点，定点)0,1(

M，则2|

|PM的最大值是（）

A、

3

2

B、1

C、3

D、9

5．设函数)

(x

f是定义在R上的以3为周期的奇函数，若

1

3

2

)2(

,1

)1(

+

-

=

>

a

a

f

f，则（）

A、

3

2

<

a B、

3

2

<

a且1

≠

a C、

3

2

>

a或1-

<

a D、

3

2

1<

<

-a

（二）填空题：

6．函数k

x

f x

x⋅

+

+

=4

2

1

)

(在]1,

(-∞上的图象总在x轴上方，则实数k的取值范围是____________________.

7．方程0

sin

cos2=

+

-a

x在

2

,0(

π

上有解，那么实数a的取值范围是_____________. （三）解答题：

8．已知函数

⎩

⎨

⎧

≤

≤

-

-

+

-

-

≤

=n

x

n

n

f

n

x

n

x

x

f1

),1

(

)]

1

(

[

,0

)

(.

(Ⅰ)求)

)(

(*

∈N

n

n

f；

（Ⅱ）)0

)(

(≥

a

a

S表示由x轴、)

(x

f

y=与a

x=所围成的图形的面积，求

)

)(

1

(

)

(*

∈

-

-N

n

n

S

n

S.

9．对a的哪些值，函数

x

a

x

y

+

+

=

1

的值域包含]1,0[？

10．设函数)

(x

f的定义域为D，若存在D

x∈

，使得

)

(x

x

f

y=

=，则称以)

,

(

y

x

为坐标的点为函数图象上的不动点.

（Ⅰ）若函数

b

x

a

x

x

f

+

+

=

3

)

(的图象上有两个关于原点对称的不动点，求、b

a满足的条件；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若8

=

a，记函数)

(x

f图象上的两个不动点分别为P

、A

A,/

为函数)

(x

f的图象上的另一点，且其纵坐标3

>

p

y，求点P到直线/

AA距离的最小值