第二型曲线积分

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二．第二型曲线积分的计算
第二型曲线积分也可化为定积分来计算. 第二型曲线积分也可化为定积分来计算 设平面曲线
x = ( t ), L: t ∈ [α , β ], y = ψ ( t ),
其中 ( t ),ψ ( t ) 在 [α , β ]上具有一阶连续导函数 且 上具有一阶连续导函数, 点 A 与 B 的坐标分别为 ( (α ), ψ (α )) 与 ( ( β ), ψ ( β )). 又设 P ( x , y ) 与 Q ( x , y ) 为 L 上的连续函数 则沿 L 上的连续函数,
∫
L
P ( x , y )dx = ∫ P ( ( t ), ψ ( t )) ′( t )dt ,
α β
β
∫ Q( x , y )dx = ∫α Q( (t ), ψ (t ))ψ ′(t )dt ,
L
由此便可得公式(6). 由此便可得公式 对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分 的计算 对于沿封闭曲线 的第二型曲线积分(2)的计算 可 的第二型曲线积分 的计算,
1
A(1,1)
1 2
D(2,1)
3
O
x
图 20 3
ACB 抛物线: y = 2( x 1)2 + 1 ; (ii)
(
)
(iii) ADBA (三角形周界). 三角形周界)
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解 (i)直线 L 的参数方程为 直线
x = 1 + t, t ∈ [0, 1]. y = 1 + 2t , 故由公式(6)可得 故由公式 可得
AB
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为书写简洁起见, 式常简写成 为书写简洁起见 (1)式常简写成
∫
L
Pdx + Qdy 或
∫
AB
Pdx + Qdy .
为封闭的有向曲线, 若L为封闭的有向曲线 则记为 为封闭的有向曲线
∫
L
Pdx + Qdy .
(2)
若记 F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y )), ds = (dx , dy ), 则(1) 式可写成向量形式
k
k
k
L
Pi dx + Qi dy );
2. 若有向曲线 L 由有向曲线 L1 , L2 , , Lk + Qdy ,( i = 1, , k ) 都存在 则 都存在,
∫
P dx + Qdy 也存在 且 也存在, L
k i =1 Li
∫
L
P dx + Qdy = ∑ ∫ P dx + Qdy .
2
1
3 xd x = . 2
沿直线 DB : x = 2, y = y (1 ≤ y ≤ 3) 的线积分为
DB
xydx + ( y x )dy = ∫ ( y x )dy = ∫ ( y 2)dy = 0.
DB 1
3
沿直线 BA 的线积分可由 及公式 得到 的线积分可由(i)及公式 得到: 及公式(5)得到
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从 A 到 B 的第二型曲线积分
∫ P ( x , y )dx + Q( x , y )dy β = ∫ [ P ( ( t ), ψ ( t )) ′( t ) + Q ( ( t ), ψ ( t ))ψ ′( t )]dt . α
L
(6)
读者可仿照§ 中定理 中定理20.1的方法分别证明 读者可仿照§1中定理 的方法分别证明
若 1． ∫ Pi dx + Qi dy ( i = 1,2, , k ) 存在，则 ．
L
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也存在, ∫ (∑ c P )dx + (∑ c Q )dy 也存在 且
L i =1 i i i =1 i i
k
k
∫ (∑ c P )dx + (∑ c Q )dy = ∑ c ( ∫
L i =1 i i i =1 i i i =1 i
(4)
或简写成
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∫
当把
L
Pdx + Qdy + Rdz .
F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y ), R( x , y )) 与
ds = (dx , dy , dz )
看作三维向量时, (4)式也可表示成 式的向量形式 式也可表示成(3)式的向量形式 看作三维向量时 式也可表示成 式的向量形式. 的方向有关. 对同一曲线, 第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关 对同一曲线 当方向由 A 到 B 改为由 B 到 A 时, 每一小曲线段的 也随之改变符号, 方向改变 方向改变, 从而所得的 xi , yi也随之改变符号 故 改变
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有
∫
AB
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy .
BA
(5)
而第一型曲线积分的被积表达式只是函数 f ( x , y )与 弧长的乘积, 它与曲线L的方向无关 的方向无关. 弧长的乘积 它与曲线 的方向无关 这是两种类型 曲线积分的一个重要区别. 曲线积分的一个重要区别 类似与第一型曲线积分, 类似与第一型曲线积分 第二型曲线积分也有如下 一些主要性质: 一些主要性质
ACB
xydx + ( y x )dy
= ∫ { x[2( x 1)2 + 1] + [2( x 1)2 + 1 x ]4( x 1)}dx
10 = ∫ (10 x 32 x + 35 x 12)dx = . 1 3 (iii)这里 是一条封闭曲线 故可从 A开始 应用上段 这里L是一条封闭曲线 开始, 这里 是一条封闭曲线, 开始
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上任意选取一点作为起点, 在 L 上任意选取一点作为起点 沿L所指定的方向前 所指定的方向前 最后回到这一点. 进, 最后回到这一点 例1 计算
y
3
2
C
B(2, 3)
∫
L
xydx + ( y x )dy ,
其中 L 分别沿图 20-3中的路线 中的路线: 中的路线 (i) 直线段 AB;
2 3 2
的性质2, 的性质 分别求沿 AD, DB , BA 上的线积分然后相 加即可得到所求之曲线积分. 加即可得到所求之曲线积分 由于沿直线 AD : x = x , y = 1(1 ≤ x ≤ 2)的线积分为
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∫
∫
AD
xydx + ( y x )dy = ∫
AD
xydx = ∫
F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y )).
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又设小曲线段 M i 1 M i 在 x 轴和 y 轴上的投影分别为
xi = xi xi 1 与 yi = yi yi 1 , 其中 ( xi , yi ) 与
( xi 1 , yi 1 ) 分别为点 M i 与 M i 1 的坐标 记 的坐标.
F ( x , y ) 所作的功,见图 所作的功,
O
图 20 2
( x, y )
M1 M2
y
B( M n )
L
Q
M n1
P
F
x
A( M 0 )
20-2.
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为此在曲线 AB 内插入 n 1 个分点 M 1 , M 2 , M n 1 ,
它们与 A = M 0 , B = M n 一起把有向曲线 AB 分成 n
M i 1 M i ( i = 1, 2, , n),
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其中 M 0 = A, M n = B . 记个小曲线段 M i 1 M i 的弧长 为 si , 分割 T 的细度 || T ||= max si . 又设 T 的分点
1≤ i ≤ n
M i 的坐标为 ( xi , yi ), 并记 xi = xi xi 1 , yi = yi yi 1 ,( i = 1, 2, , n).
25 ∫BA xydx + ( y x )dy = ∫AB xydx + ( y x )dy = 6 .
3 8 25 所以 ∫ L xydx + ( y x )dy = + 0 + = . 2 3 6
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例2 计算 ∫L xdy + ydx , 这里 L 为: (i) 沿抛物线 y = 2 x 2 , 从 O 到 B 的一段 图20-4); 的一段(图 (ii) 沿直线 OB : y = 2 x; (iii) 沿封闭曲线 OABO . 解 (i)
在每个小曲线段 M i 1 M i 上任取一点 (ξ i , η i ), 若极限
||T ||→0
lim ∑ P (ξ i , η i )xi + lim ∑ Q (ξ i , ηi )yi
i =1 ||T ||→0 i =1
n
n
的取法无关, 存在且与分割 T 与点 (ξ i , η i ) 的取法无关 则称此极 上的第二型 限为函数 P ( x , y ), Q ( x , y )沿有向曲线 L 上的第二型
F ( x , y ) 沿曲线 AB 所作的功近似地等于
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W = ∑Wi ≈ ∑ P (ξ i , η i )xi + ∑ Q (ξ i , η i )yi .
i =1 i =1 i =1
n
n
n
当细度 || T ||→ 0 时, 上式右边和式的极限就应该是 所求的功. 所求的功 这种类型的和式极限就是下面所要讨论 的第二型曲线积分. 的第二型曲线积分 定义1 定义 设函数 P ( x , y ) 与 Q ( x , y ) 定义在平面有向可 求长度曲线 L : AB上. 对 L 的任一分割T , 它把 L 分 成n个小曲线段 个小曲线段
个有向小曲线段 M i 1 M i ( i = 1,2, , n). 若记小曲线 段 M i 1 M i 的弧长为 si , 则分割 T 的细度为
|| T ||= max si .
1≤ i ≤ n
设力 F ( x , y ) 在 x 轴和 y 轴方向的投影分别为
P ( x , y ) 与 Q ( x , y ), 那么
∫
F ds 或 L
∫
AB
F ds .
(3)
于是, 于是 力 F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y )) 沿有向曲线
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L : AB 对质点所作的功为
W = ∫ P ( x , y )dx + Q( x , y )dy .
L
为空间有向可求长曲线, 若L为空间有向可求长曲线 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), 为空间有向可求长曲线
∫
AB
xydx + ( y x )dy
= ∫ [(1 + t )(1 + 2t ) + 2t ]dt
0
1
25 = ∫ (1 + 5t + 2t )dt = . 0 6 2 (ii)曲线 ACB 为抛物线 y = 2( x 1) + 1, 1 ≤ x ≤ 2, 曲线
1 2
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所以
∫
2 1
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曲线积分, 曲线积分 记为
∫
或
L
P ( x , y )dx + Q( x , y )dy P ( x , y )dx + Q( x , y )dy
∫
AB
(1)
上述积分(1)也可写作 上述积分(1)也可写作
∫
或
L
P ( x , y )dx + ∫ Q( x , y )dy
L
∫
AB
P ( x , y )dx + ∫ Q( x , y )dy
LM i 1 M i = ( xi , yi ),
于是力 F ( x , y ) 在小曲线段 M i 1 M i 上所作的功
Wi ≈ F (ξ i , η i ) LM i 1 M i = P (ξ i , η i )xi + Q(ξ i , η i )yi ,
其中 (ξ i , η i ) 为小曲线段 M i 1 M i 上任一点 因而力 上任一点.
§2 第二型曲线积分
第二型曲线积分与第一型曲线积分不同的 是在有方向的曲线上定义的积分, 这是由于 第二型曲线积分的物理背景是求变力沿曲线 作的功,而这类问题显然与曲线的方向有关.
一、第二型曲线积分的定义 二、第二型曲线积分的计算 三、两类曲线积分的联系
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一． 第二型曲线积分的定义
在物理中还遇到过另一 种类型的曲线积分问题. 种类型的曲线积分问题 例如一质点受力 F ( x , y ) 的作用沿平面曲线 L 从 点 A 移动到点 B, 求力
y
2 1
B (1, 2 )
R( x , y , z ) 为定义在 上的函数 则可按上述办法类 为定义在L上的函数 上的函数,
似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分 似地定义沿空间有向曲线 上的第二型曲线积分, 上的第二型曲线积分 并记为
∫
L
P ( x , y , z )dx + Q ( x , y , z )dy + R( x , y , z )dz ,