有关二项式定理的拓展

有关二项式定理的拓展

学了二项式定理，大家都知道()001112220n

n n n n n

n n n n a b C a b C a b C a b C a b

--+=++++ 这条公式，但我们不妨将眼光放大一点，不止二项，如果是三项、四项，甚至是n 项又如何？

先列几个式子看看吧：

()2

222

222a b c a b c ab ac bc ++=+++++

()3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

3333336a b c a b c a b ab a c ac b c bc abc ++=+++++++++ ()

4

4

4

4

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

44444466a b c a b c a b a c b c b a ac bc a b a c

++=++++++++++ 22222

6121212b c a b c a b c a b c

++++ 好了，到四次为止吧，暂且不看那些烦人的系数，看看各项吧.我们不难从中发现，各项的次数之和正好为展开前整个式子的次数，且各个未知数的次数是从0到最高次都有的.于是，我们不难猜出()5

a b c ++的各项，同理，展开检验后，我发现()2

a b c d +++也很类似，其各项分别为：2a ，2b ，2c ，2d ，a b ，ac ，a d ，bc ，b d ，cd .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

为了方便，以及考虑到各底数与各次数的对称性，我采用如下书写方法：

{}

{}

,,,,x y z x y z x z y y x z y z x z x y z y x

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =+++++

其中{},,a b c 称为底集，{},,x y z 称为幂集（幂集不具有互异性）.底集中元素个数必须等于幂集中元素个数，{}{}

,,,,x y z a b c 中展开后的各项称为同次项.

例如：(){}

{}

{}{}

{}

{}

{}

{}

4

4,0,03,1,02,2,01,2,1,,4,,6,,12,,a b c a b c a b c a b c a b c ++=+++

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 以上过程中你会发现各展开项中同次项的系数都相同，看到这些次数，我突然想起了牛顿推出二项式定理的方法，其实在这里也可进行效仿.

例如，对于()4

a b c d +++的展开项，{}

{}

2,1,1,0,,,a b c d 的系数可以看成211

421C C C ,因

为a ，b ，c ，d 地位相同，不妨看成是2

a bc 的系数，也就是分别从4个()a

b

c

d +++中

取出2个a ，1个b 与1个c 的取法的个数.

于是，我们可以得到三项式定理：

()

{}

{}

{}

{}

{}

{}

,0,01,1,02,2,00

01

1

22

12,,,,,,n

n n n n n n n n n n n a b c a b c C C a b c C C a b c C C ------++=+++

{}

{}

{}

{}

2,1,13,2,11

1

2

123

1213,,,,n n n n n n n n n n a b c C C C a b c C C C --------++

也就是说()n

a b c ++的展开式中，其项数即(),,x y z n x y z N ++=∈的解的种数，且

合并同次项后，各项满足通式：{}

{}

,,,,x y z x y z n n x n x y C C C a b c --- ()x y z n ++=

最后，推广到多项式定理：

()

123n

i x x x x ++++ 的展开式中，其项数即

123i a a a a n ++++=

()

123,,,i a a a a N ∈ 的解的种数，且合并同次项后，各项满足通式：

{}{}

()123312112121,,,,1

23123,,,,i i i a a a a a

a

a

a

n n a n a a n a a a i i C C C C x x x x a a a a n --------++++=