电路理论-耦合电感和理想变压器

④代入1②：
I 1
10
2
20
I2
1
10
④
•
1 I3
+
1
•
+ 1 I2 •
- - I •
•
I1 2 I2
•
U1
•
2U
1
• •
• 1
2
•
I3
6 20
•
•
6 I2 I3 20⑤
•
2 I3
•
I2
10③
10 2 30 8
I2 6
2 A 1 11 11
12
1 10 40 7
，I3 6
3 A 1 11 11
M
di dt
L1
L2
2M
di
dt
Leq
di dt
反接时，串联电感值为
Leq L1 L2 2M
电感贮能
WL
1 2
Leq iL 2
0
即Leq一定为正值
L1 L2 2M
M L1 L2 2
M不能为任意值
例7-3: 已知
V, 试求电路的总电流 和两
线圈的端电压 和 。 解：电路的等效电阻和 等效阻抗为，
等效电路：
u1 n2RL
•
Us
I 1 •
j M I 2
•
I2
R2
jL2
•
I
2
•
RL
j M I1
故输入阻抗：
一次等效电路为：
自阻抗
反映• 阻抗Zref
jM I1
Z22
二次等效电路为：
+
+
–
–
例7-7 已知：L1=3.6H L2=0.06H M=0.465H R1=20
R2=0.08 RL=42 uS 115 2Cos314tV 求： i1。
7.2.3 耦合电感的受控源等效电路
i1
•
u1 L1
i2
••
L2 u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
L2
di2 dt
M
di1 dt
互感电压
(互感电压用受控电压源代替）
互感电压
M的影响通过电压源考虑进去了
同名端无意义了，L1、L2成为纯电感
+ i1
i2
+
∴在等效电路图中M与同名端都不标了
互感线圈的同名端 当两个电流分别从两个线
圈的对应端口同时流入或流 出，若所产生的磁通相互加 强时，则这两个对应端口称 为两互感线圈的同名端。
i1
+
u1
•
L1
-
i2 +
L2 u2 •-
u1t
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2 t
L2
di2 dt
M
di1 dt
自感电压为正： 同端口上的u,i取关联方向
12
解法二：用节点法
•
•
•
A点：3U A UB 2U1 0
•
B点： U B 10
•
•
B+ • I1
100
-
•
3U A
•
2U1
10 ①
1 I3
+
•
2 -I2
1
•
U1
•
•
•
1 I2
+
-•
2U1
• 1
I2
•
A
•
•
约束方程 由①、②得
U1 2 I2 10
•
•
•
I2
2U1U A 1
•
•
2U A 5U1 10 ②
第7章 耦合电感和理想变压器
耦合电感和理想变压器与受控源一样都属于耦合元件，
都由一条以上支路组成。
耦合电感
记忆元件
贮能元件
理想变压器 非记忆元件 不贮能 不耗能
7.1 耦合电感的伏安关系
i1
••
u1 L1
i2
•
L2 u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
L2
di2 dt
M
di1 dt
耦合电感是动态元件，用L1，L2，M三个参数表示。
反映阻抗
Z ref
2M 2
Z22
3142 0.4652 46.124.1
464 24.1 422
j189
一次等效电路为 Z11
Zref
• 20 j1130 422 Zi Z11 Zref 442 j942
Us
•
I1
j189
104064.9
•
•
I1
Us
Zi
1150 104064.9
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求
∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数
实际值
k M M
M max
L1L2
最大值
0 k 1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另 一个线圈交链达到使M无法再增
紧耦合，加强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
a R1 M
R2
a R1 jM R2
us
•
i1 L1
•
L2 i2 RL
•
Us
•
•
I1
jL1
•
jL2
•
I
2
RL
b
b
解 作相量模型，利用反映阻抗的概念
Z11 R1 j L1 20 j3143.6 20 j1130.4
Z22 R2 RL j L2 42.08 j18.84 46.124.1
等效T型
u1
例： 已知K=0.9，求Zi 。 解: M K L1L2 0.9 110 2.84H Zi 1H
.
i
L2+M 2
-M
u2
.
10H
M
3F
网孔方程
•
•
•
j I1 j3.84 I 2 U1
去耦 等效
•
j3.84 I1
50 2 1 • j 3 I2
0
jj2.84M
j120.84M
•
Zi
所以等效电感：
i
+ u –
i = i1 +i2
M
i1
i2
L1
L2
等效电感
L L1L2 M 2 L1 L2 2M
电感必须为正值
L1L2 M 2 0
M 2 L1L2
M L1L2
几何平均值（小）
已知:
M L1 L2 2
算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
VAR用微分式表示
静态元件
动态元件
不同点： 无记忆元件
记忆元件
不储存能量
储能元件
理想变压器也可以用受控源表示
i1
i2
u1 nu2
+
•
u1 N1
-
+
•
N2 u2 -
1 i1 n i2
n :1
i2 ni1
i1
+
u1
-
1 n i2
i2
+
+1 -n
u1
u2
-
例7-8
••
电路如图，求 I2 ，I3
解 由理想变压器的伏安关系
（1） 同名端为共端的T型去耦等效
i1 M
i2
i1 La
. Lc i
L1 - M
L2 - M2
••
u1
L1
L2
u2 等效T型 u1 i1
Lb M i2 u2
.
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
L2
di2 dt
u1
La
di1 dt
Lb
d (i1 dt
i2 )
(La
Lb )
di1 dt
jwM
R1 jwL1
jwL2 R2
+
–+
–
+–
7.2.2 耦合电感的并联
（1） 同侧并联
解得u, i 的关系：
i
M
+
i1
i2
u
L1
L2
–
又 i = i1 +i2
所以等效电感：
Leq
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
0
而不是
L L1L2 L1 L2
（2） 异侧并联
解得u, i 的关系：
-
•-
u1
L1
di1 dt
M di2 dt
u2
L2
di2 dt
M di1 dt
u1
L1
di1 dt
M di2 dt
u2
L2
di2 dt
M di1 dt
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
L2
di2 dt
M
di1 dt
u1
L1
di1 dt
u2
M
di1 dt
7.2 耦合电感的去耦等效
7.2.1 耦合电感的串联
j4
10000
.
( j16 j4) ( j4 j4)
j4
•
1 U 2
j1
j5
•
U2
1 j12
j1 j1
10000
.
1 j1
j1 10000 j11 12
6.14 132.50 V
10000
.
j12
•
j1 1 U 2
.
7.3 空心变。压器。的分析
变压器
铁心变压器 。。 。。K 1 紧耦合
•
•
(1 j10) I1 j90 I 2 100
•
•
(400 j1000) I 2 j90 I1 0
解得：
•
I1 2.03 38.5A
400
•
I 2 0.17 16.7A
时域表示：
i1 2.03 2 cos(10t 38.5)A i2 0.17 2 cos(10t 16.7)A
7.2.4 耦合电感的T型等效电路
•
•
I1
I2
+
+
u1
M
di互2+L感1 电压+L2M互感dui12电压
- dt -
- d-t
•
U1
jL1
+
•
jM I2
--
jL2
+
•
U2
•
jM I1
--
•
•
•
U 1 jL1 I1 jM I 2
•
•
•
U 2 jL2 I 2 jM I1
相量模型
例7-4 已知uS 10 2 cos10t V, 求i1和i2 。
Z22
解：
R1 j M
R2
•
•
• I1 •
•
I2
Us
j L1
j L2
RL
不考虑Zref
为 产生的感应电压。
，不包括RL
从负载端看进去的等效阻抗 RL
Z0
7.4 理想变压器的分析
理想变压器的三个理想化条件:
（1）无损耗 （2）全耦合
线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材 料的磁导率无限大。
（3）参数无限大
•
•
U nU
2
1
+• 100-
•
I1
•
1 I3 1
+ 1: 2
••
U
-
1
•
+
••
U- 2
•
•
1 I2 •
1
•
I2
1 n
•
I1
•
I1
•
n I2
解法一： 用回路法分析
理想变压器用受控源表示
•
•
I1 2 I2
①
•
•
•
2 I I 2U
2
3
1
②
•
+ • I1
•
•
2
I3
I2
10 ①
100
③
-
•
•
•
U
0.1106 64.9 110.664.9mA
•
如需计算 I2 ，可直接用二次等效电路求：
•
•
jM U S
•
I2
•
I2
jM US
Z11
1
Z22
(M )2
Z11
Z11
0.351.1 A
(M )2 Z22 Z11
用代维南定理求
•
I2
•
•
( I1
Us Z11 Zref
•
,
•
I2
j M I1 )
顺接 (异名端相接)
i(t)
•
u(t ) L1 L• 2
ut
L1
di dt
M
di dt
L2
di dt
M
di dt
L1
L
2
2M
di dt
Leq
di dt
顺接时串联电感值为 Leq L1 L22M
反接（同名端相接）
i(t)
••
u(t ) L1 L2
u t
L1
di dt
M
di dt
L2
di dt
。 。 空心变压器
K较小 松耦合
变压器是根据电磁感应原理制成的，所以可以用耦合电感构成
其他的模型。
1. 空心变压器电路
•
I1
R1
jωM
•
I2
R2
•
Us
一次绕组
jL•1
•
jL2
Z RL jXL
二次绕组
2.分析方法
•
I1
R1Fra Baidu bibliotek
jωM
•
I2
R2
•
Us
jL•1
•
jL2
RL
回路方程：
•
I1
R1
• jL1
U1
•
I1
j
5.7 2 1 50 2 1
••
U1 I1
j 31•.84M
I2
j 1
3
例7-5 已知耦合电感系数K=1/2,
求耦合电压
•
U
2的大小和相位。
解 K M jM 1
L1L2
jL1 jL2 2
j M
10000
•
•
j16 j4 •
. 1 U 2
. j5
jM
jL1 jL2
2
j16 j4 2
i1
i2
解
•
•
•
•
•
1
+
•
U 1 jL1 I1 jM I 2 j10 I1 j90 I 2
uS 1H
-
100H •
400
•
•
•
•
•
U 2 jL2 I 2 jM I1 j1000 I 2 j90 I1
+
100
-
•
I1
1
j10
•
I2
j1000
•-
j90 I2
+
• j90 I1
+
相量模型
两回路列KVL方程：
两端口电流方向对同名端相反，取正
1 i1 n i2
不论在端口接上什么样的元件，这两个关系都成立。
2. 理想变压器与耦合电感的相同点和不同点
理想变压器
耦合电感
i1
+
•
u1 N1
-
i2
•
+
N2 u2
-
i1 M i2
+
•
u1 L1
+
•
L2 u2
-
-
n :1 相同点：
耦合元件 VA不R用消代耗数能式量表示
10 2
• 10 5 4
UA
3
2
6 V 11
2 5
3 10
•
U1
2
10 11
4 6V 11
•
I2
•
•
2U1U A
2
50 11
64 11
28 11
A
•
I3
•
•
UB U A
10
70 11
37 11
A
3.理想变压器的阻抗变换 二次对一次
一次对二次
1、变换电压 u1 nu2
2、变换电折流合阻i抗1
互感电压为正： 同端口上的u,i取关联方向 （若两项都不满足 i1,i2都从同名端流入或流出 也取正）
例: 各耦合电感的伏安关系
i1
i2
(a)
+
u1
•
L1
+ L2 u2
-
•-
i1
i2
(b)
+
u1
•
L1
+ L2 u2
-
•-
i1
i2
(c)
+
u1
•
L1
+
•
L2
u2
-
-
i1 i2=0
(d)
+
u1
•
L1
+ L2 u2
1 n i2
证 ① Ri n2RL
u1
的折合值 ① R 的折合值
3、变换阻抗
n2
② n2 RL
i1
i • i2
•
•
RL u2
已知：i ni1
n:1 •
i1
1i n
1 n
(i2
u2 RL
)
1 n
i2
u2 nRL
1 n i2
u1 n2 RL
i'
u1 n2 RL
• ••
根据此式画出 i1 i'
N为匝数比
i1
+
•
u1 N1
-
i2
•
+
N2 u2
-
理想变压器是一种特殊的无损耗 全耦合变压器
n :1
1.理想变压器的符号及VAR
i1
+
•
u1 N1
-
i2
•
+
N2 u2
-
n :1
初级线圈的匝数
它的参数是变比n n N1
N2
n<1 升压变压器
次级线圈的匝数
n>1 降压变压器
VAR中的正负号原则：
两端口电压极性对同名端一致，取正 u1 nu2
Lb
di2 dt
u2
Lc
di2 dt
Lb
d i1 i2
dt
Lb
di1 dt
(Lb
Lc )
di2 dt
比较系数
L1 La Lb
M Lb L2 Lb Lc
解出
La L1 M Lb M
Lc L2 M
（2） 异名端为共端的T型去耦等效
i1 M
i2
i1
L1+M
•
u1
L1
L2
•
u2