函数模型的应用举例
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当 x≥550 时，P＝51.
60，0<x≤100
所以 P＝f(x)＝ 62－5x0，100<x<550，x∈N＋
.
51，x≥550
(3)设销售商的一次订购量为 x 个时，工厂获得的 利润为 L 元，
则 L＝(P－40)x＝
所以月产量为 23 吨时，可获最大利润 12.9 万元．
【名师点评】 在函数建模中，二次函数模 型占有重要的地位，因为根据实际问题建立 函数解析式后，可利用配方法、判别式法、 换元法、函数的单调性等方法来求函数的最 值，从而解决实际问题中的最值问题．
变式训练
1．某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入) 为 0.5 万元，但每生产 100 台时，又需可变成本(即 另增加投入)0.25 万元，市场对此商品的年需求量 为 500 台，销售收入(单位：万元)函数为：R(x)＝ 5x－12x2(0≤x≤5)，其中 x 是产品生产的数据(单 位：百台)． (1)把利润表示为产量的函数；
解：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时， 一次订购量为 x0 个， 则 x0＝100＋600－.0251＝550. 因此，当一次订购量为 550 个时，每个零件的实际 出厂价格恰好为 51 元． (2)当 0<x≤100 时，P＝60. 当 100<x<550 时，P＝60－0.02(x－100)＝62－5x0.
典题例证Байду номын сангаас法归纳
题型探究
题型一 二次函数模型的应用 例1 据市场分析，烟台某海鲜加工公司，
当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本 y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当 月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月 产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元， 且为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函 数关系； (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月 产量为多少时，可获最大利润？
题型二 分段函数模型的应用
例2 (本题满分 12 分)根据市场调查，某种新产 品投放市场的 30 天内，每件销售价格 P(元)与时 间 t(天)的关系如图 1 所示，日销量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系如表所示．
t(天) 5 15 20 30 Q(件) 35 25 20 10
(1)根据图1，写出该产品每件销售价格P与时间t的函 数关系式； (2)在所给的直角坐标系(图2)中，根据表中提供的数 据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销量Q与时 间t的一个函数关系式； (3)在这30天内，哪一天的日销售金额最大？(日销售 金额＝每件产品销售价格×日销量)
f(x)＝4.75x－12x2－0.5， 12－0.25x x>5.
0≤x≤5，
(2)当 0≤x≤5 时，f(x)＝－12(x－4.75)2＋10.78125； 当 x＝4.75∈[0,5]时，f(x)max＝10.78125； 当 x>5 时，函数 f(x)为减函数， 则 f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)． 所以当年产量为 475 台时，利润最大．
检验点(15,25)，(20,20)适合该式，
因此日销售量Q与时间t的一个关系式为 Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋).8分 (3)设日销售金额为y(元)，则 名师微博 这可是关键点，要分类求解．
y＝t＋30－t＋40
0<t≤20，t∈N＋
50－t＋40 20<t≤30，t∈N＋
＝－t2＋10t＋1200
变式训练
2．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40 元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商 订购，决定当一次订购量超过100个时，每多 订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降 低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元． (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出 厂单价恰好降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价 为P元，写出函数P＝f(x)的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得 的利润是多少元？如果订购1000个，利润又 是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际 出厂单价－成本)
【解】 (1)y＝a(x－15)2＋17.5， 将 x＝10，y＝20 代入上式， 得 20＝25a＋17.5. 解得 a＝110.
所以 y＝110(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为 Q(x)，
则 Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－110x2－3x＋40
＝－110(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)． 因为 x＝23∈[10,25]，
0<t≤20，t∈N＋
－50t＋2000 20<t≤30，t∈N＋
当 0<t≤20 时，ymax＝1225， 此时 t＝5. 当 20<t≤30 时，y<1000，
所以第 5 天日销售金额最大.12 分
【名师点评】 如果题目给出自变量不同时对应的 函数关系不同，我们就要利用分段函数形式写出表 达式．求分段函数的最大值要分段求最大值，其中 最大者为所求．
【解】 (1)根据图象，每件销售价格 P 与时间 t 的函数关系为： P＝t＋300<t≤20，t∈N＋ .2 分
5020<t≤30， t∈ N＋
(2)描出实数对(t，Q)对应点如图所示
从 图象发现 ：点 (5,35) ，(15,25)， (20,20)， (30,10) 可能在同一直线上． 设它们所在直线 l 的解析式为 Q＝kt＋b(k，b 为常 数)， 将点(5,35)，(30,10)代入方程得3150＝ ＝53k0＋ k＋bb ， 解得 k＝－1，b＝40， ∴Q＝－t＋40，
(2)年产量为多少时，企业所获得的利润最大？
解：(1)当 0≤x≤5 时，产品能全部售出， 则成本为 0.25x＋0.5，收入为 5x－12x2. 利润 f(x)＝5x－12x2－0.25x－0.5 ＝－12x2＋4.75x－0.5；
当 x>5 时，只能销售 500 台，
则成本为 0.25x＋0.5，销售收入为 5×5－12×52＝ 225， 利润 f(x)＝225－0.25x－0.5＝－0.25x＋12， 综上所述，利润函数
60，0<x≤100
所以 P＝f(x)＝ 62－5x0，100<x<550，x∈N＋
.
51，x≥550
(3)设销售商的一次订购量为 x 个时，工厂获得的 利润为 L 元，
则 L＝(P－40)x＝
所以月产量为 23 吨时，可获最大利润 12.9 万元．
【名师点评】 在函数建模中，二次函数模 型占有重要的地位，因为根据实际问题建立 函数解析式后，可利用配方法、判别式法、 换元法、函数的单调性等方法来求函数的最 值，从而解决实际问题中的最值问题．
变式训练
1．某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入) 为 0.5 万元，但每生产 100 台时，又需可变成本(即 另增加投入)0.25 万元，市场对此商品的年需求量 为 500 台，销售收入(单位：万元)函数为：R(x)＝ 5x－12x2(0≤x≤5)，其中 x 是产品生产的数据(单 位：百台)． (1)把利润表示为产量的函数；
解：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时， 一次订购量为 x0 个， 则 x0＝100＋600－.0251＝550. 因此，当一次订购量为 550 个时，每个零件的实际 出厂价格恰好为 51 元． (2)当 0<x≤100 时，P＝60. 当 100<x<550 时，P＝60－0.02(x－100)＝62－5x0.
典题例证Байду номын сангаас法归纳
题型探究
题型一 二次函数模型的应用 例1 据市场分析，烟台某海鲜加工公司，
当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本 y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当 月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月 产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元， 且为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函 数关系； (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月 产量为多少时，可获最大利润？
题型二 分段函数模型的应用
例2 (本题满分 12 分)根据市场调查，某种新产 品投放市场的 30 天内，每件销售价格 P(元)与时 间 t(天)的关系如图 1 所示，日销量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系如表所示．
t(天) 5 15 20 30 Q(件) 35 25 20 10
(1)根据图1，写出该产品每件销售价格P与时间t的函 数关系式； (2)在所给的直角坐标系(图2)中，根据表中提供的数 据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销量Q与时 间t的一个函数关系式； (3)在这30天内，哪一天的日销售金额最大？(日销售 金额＝每件产品销售价格×日销量)
f(x)＝4.75x－12x2－0.5， 12－0.25x x>5.
0≤x≤5，
(2)当 0≤x≤5 时，f(x)＝－12(x－4.75)2＋10.78125； 当 x＝4.75∈[0,5]时，f(x)max＝10.78125； 当 x>5 时，函数 f(x)为减函数， 则 f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)． 所以当年产量为 475 台时，利润最大．
检验点(15,25)，(20,20)适合该式，
因此日销售量Q与时间t的一个关系式为 Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋).8分 (3)设日销售金额为y(元)，则 名师微博 这可是关键点，要分类求解．
y＝t＋30－t＋40
0<t≤20，t∈N＋
50－t＋40 20<t≤30，t∈N＋
＝－t2＋10t＋1200
变式训练
2．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40 元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商 订购，决定当一次订购量超过100个时，每多 订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降 低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元． (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出 厂单价恰好降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价 为P元，写出函数P＝f(x)的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得 的利润是多少元？如果订购1000个，利润又 是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际 出厂单价－成本)
【解】 (1)y＝a(x－15)2＋17.5， 将 x＝10，y＝20 代入上式， 得 20＝25a＋17.5. 解得 a＝110.
所以 y＝110(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为 Q(x)，
则 Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－110x2－3x＋40
＝－110(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)． 因为 x＝23∈[10,25]，
0<t≤20，t∈N＋
－50t＋2000 20<t≤30，t∈N＋
当 0<t≤20 时，ymax＝1225， 此时 t＝5. 当 20<t≤30 时，y<1000，
所以第 5 天日销售金额最大.12 分
【名师点评】 如果题目给出自变量不同时对应的 函数关系不同，我们就要利用分段函数形式写出表 达式．求分段函数的最大值要分段求最大值，其中 最大者为所求．
【解】 (1)根据图象，每件销售价格 P 与时间 t 的函数关系为： P＝t＋300<t≤20，t∈N＋ .2 分
5020<t≤30， t∈ N＋
(2)描出实数对(t，Q)对应点如图所示
从 图象发现 ：点 (5,35) ，(15,25)， (20,20)， (30,10) 可能在同一直线上． 设它们所在直线 l 的解析式为 Q＝kt＋b(k，b 为常 数)， 将点(5,35)，(30,10)代入方程得3150＝ ＝53k0＋ k＋bb ， 解得 k＝－1，b＝40， ∴Q＝－t＋40，
(2)年产量为多少时，企业所获得的利润最大？
解：(1)当 0≤x≤5 时，产品能全部售出， 则成本为 0.25x＋0.5，收入为 5x－12x2. 利润 f(x)＝5x－12x2－0.25x－0.5 ＝－12x2＋4.75x－0.5；
当 x>5 时，只能销售 500 台，
则成本为 0.25x＋0.5，销售收入为 5×5－12×52＝ 225， 利润 f(x)＝225－0.25x－0.5＝－0.25x＋12， 综上所述，利润函数