高中数学必修二《第四章圆与方程》课件

第46讲 │ 要点探究
方法 3：圆心还在 AB 的中垂线上，AB 的中点为(0，－4)， AB 的斜率为12，故 AB 的中垂线方程为 y＝－2x－4，与方程 x －2y－3＝0 联立，解得圆心的坐标为(－1，－2)，圆心到点 A 的距离为 10，即圆的半径为 10，所以所求的圆的方程为(x＋ 1)2＋(y＋2)2＝10.
第46讲 │ 圆的方程
第46讲 圆的方程
第46讲 │ 考纲要求 考纲要求
1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
第46讲 │ 知识梳理
知识梳理
1．圆的定义 平面上到定点的距离等于_定__长_____的点的集合称为圆，定 点称为圆的__圆_心_____、定长称为圆的半径． 2．确定圆的几何要素 确定圆的几何要素是“__圆_心_____与半径”． 3．圆的标准方程 当 圆 心 为 (a ， b) ， 半 径 为 r 时 ， 其 标 准 方 程 为 _(x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2_＝_r，2 特 别 地 ， 当 圆 心 在 原 点 时 ， 方 程 为 _x_2_＋__y_2_＝__r_2 __．
第46讲 │ 问题思考
► 问题 2 关于圆的方程 (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2，不论 t 为什么实数都表示一个圆 的方程；( ) (2)方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方程．( )
[答案] (1)错 (2)错
第46讲 │ 问题思考
[解析] (1)t＝0 时，方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2 就表示点(a， b)，此时不表示圆．
[答案]对
[解析] 当 A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0 时，方程 Ax2 ＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 即为
Ax2＋Ay2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得x－2DA2＋y－2EA2＝ D2＋E4A2－2 4AF，显然这是圆的方程；反之把圆的标准方程展开 与方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 可知，后者要表示圆 必须满足 A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.
第46讲 │ 知识梳理
4．圆的一般方程 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，当 D2＋E2－4F>0 时，表 示 此以 时－_方_D2_程_，_x_－2_＋_E2为y2＋圆D心x，＋Ey＋DF2＋＝2E0 2称－为4F圆的一般方为程半．径的圆， 5．点与圆的位置关系 可知平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C 之间存在着下列关系： (1)d>r⇔M 在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M 在_圆_外____； (2)d＝r⇔M 在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M 在 _圆_上____； (3)d<r⇔M 在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M 在_圆_内____．
第46讲 │ 要点探究
要点探究
► 探究点1 求圆的方程
例 1 (1)已知圆经过 A(2，－3)，B(－2，－5)，若圆心 在直线 x－2y－3＝0 上，则圆的标准方程是___________．
(2)△ABC 的三个顶点分别为 A(－1,5)，B(－2，－2)， C(5,5)，则其外接圆的一般方程是____________．
第46讲 │ 要点探究
[思路] (1)可以使用圆的一般方程，根据圆心在直线上得到 一个方程，根据两点在圆上得到两个方程，根据方程组求解系 数，也可以使用圆的标准方程得方程组，也可以根据圆心必在 线段 AB 的垂直平分线上得圆心所在的一条直线方程，这个方 程与已知直线方程联立求出圆心坐标，再求出圆的半径；(2)也 可以使用一般式方程、标准方程，以及通过圆心是三角形两边 的垂直平分线的交点的方法求解．
(2)由方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得x－D2 2＋y－E2 2＝D2＋E42－4F，由此可见只有在 D2＋E2－4F>0 时才能叫做圆 的一般方程；而当 D2＋E2－4F＝0 时，表示点－D2 ，－E2 ；当 D2＋E2－4F<0 时不表示任何图形．
第46讲 │ 问题思考
► 问题 3 方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的 充要条件是 A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
∴圆的方程为 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0，
第46讲 │ 要点探究
即(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 方法 2：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则－2－2－a2a＋2＋－3－－5－b2b＝2＝r2，r2， a－2b－3＝0
⇒ab＝ ＝－ －12， ， r2＝10.
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
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第46讲 │ 问题思考
问题思考
► 问题 1 圆的定义和确定圆的几何要素 (1)圆是到定点的距离等于定长的点的集合；( ) (2)确定圆的几何要素是圆的半径．( )
[答案] (1)错 (2)错
[解析] (1)圆是一个平面图形，必须是在平面上到定点的距离 等于定长的点的集合．
(2)确定圆的几何要素有两个，一个是圆心、一个是半径．
第46讲 │ 问题思考
► 问题 4 已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以 AB 为直径的 圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( )
[答案]对
[解析] 设圆上异于 A，B 的任意一点 M 的坐标为(x，y)， 根据圆的性质M→A⊥M→B，根据平面向量知识M→A·M→B＝0，把坐 标代入即是方程(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)·(y－y2)＝0.由点 A，B 的坐标要适合方程(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，故得以 AB 为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
[答案](1)(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 (2)x2＋y2－4x－2y－20＝0
第46讲 │ 要点探究
[解析] (1)方法 1：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
4＋－32＋2D＋E－3＋F＝0，
则 －22＋－52＋－2D＋－5E＋F＝0，
⇒
－D2 －2·－E2 －3＝0
D＝2， E＝4， F＝－5.