地图投影第二章地图投影方法变形分类

x f1 ( , )
y f 2 ( , )
就是将参考椭球面上的元素（大地坐标、角度和 边长）按一定的数学法则化算到平面上的过程。
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2.2 地图投影的变形
椭球面上的各点的大地坐标，按照一定的数学法 则，变换为平面上相应点的平面直角坐标，通常 称为地图投影。 ✓地理坐标为球面坐标，不方便进行距离、方位、 面积等参数的量算 ✓地球椭球体为不可展曲面 ✓地图为平面，符合视觉心理，并易于进行距离、 方位、面积等量算和各种空间分析
长度变形 面积变形 角度变形
长度变 形
角度变 形
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面积变形和 长度变形
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二、变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常 会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
X ' m 为经线长度比 Y ' n 为纬线长度比
P 表示面积比 Vp 表示面积变形
PddF F'πaπrr*2brab Vp p 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
P = a·b = m ·n (q= 90)（主方向和经向纬向一致）
P = m ·n ·sin q (q≠ 90)（阿波隆尼定理）
面积比是变量，随位--置的不同而变化。 28
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角度变形：
投影面上任意两方向线所夹之角与球面上 相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。
以ω表示角度最大变形。
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最大角度变形可用极值长度比a,b表示
sin a b
2 ab
实用上常Hale Waihona Puke Baidu下公式求得：
tan(45
)
b
2
a
长度变形是各种变形的基础！
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面积比和面积变形：
投影平面上微小面积（变形椭圆面积） dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积） dF之比。
长度（距离）、角度（形状）、面积等方 面完全不变。
地球仪上经纬线网格和地图上比较:
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球面经纬网经过投影之后，其几何特征 受到扭曲——地图投影变形：长度（距离）、 角度（形状）、面积。
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地图投影的变形
地图投影中不可避免地存在着变形，建立一个投影时不 仅要建立（x,y)与( ,)之间的关系，而且要研究投影变 形的分布与大小。地图投影的变形主要体现在：
X
Y
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X ' m Y ' n
X
Y
代入： X2 + Y2 = R2，令R=1，得
X '2 m2
Y '2 n2
1
微小圆→变形椭圆
该方程证明: 地球面上的微小
圆，投影后通常会变为椭圆，即
以O'为原点，以相交成q角的两共
轭直径的坐标轴的椭圆方程式。
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主方向（底索定律）：无论采用何种转换方法，球面
ａ≠ｂ≠ｒ ６
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三、投影变形的性质和大小 长度比和长度变形：
投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和球 面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规 定的比例缩小）之比。
m表示长度比， Vm表示长度变形
m ds' ds
Vm m 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化 而变化。
从本质上讲，地图投影就是按一定的条件确定大 地坐标和直角坐标之间的一一对应关系。
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沿经线直接展开?
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沿纬线直接展开?
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沿经线直接展开?
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沿经线直接展开?
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§2.2 地图投影的变形
一、投影变形的概念 1. 投影变形产生原因——地球的形状
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2. 投影变形的概念 地图投影不能保持平面与球面之间在
第2章 地图投影方法、变形和分类
2.1 地图投影的基本方法 2.2 地图投影的变形 2.3 球面极坐标及其换算 2.4 地图投影的分类
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2.1 地图投影的基本方法
投影面：将地球表面的点、线、面投影于其上的承 受面
地图投影的原理是在原面与投影面之间建立点、线、 面的一一对应关系
地图投影的方法： 几何透视法 数学分析法
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地图投影，简单的说就是将参考椭球面上的元素 （大地坐标、角度和边长）按一定的数学法则化 算到平面上的过程。
x y
ff12((LL,,BB))
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二、投影方式： 1.平行投影
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2.透视投影
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3. 广义投影
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三、地图投影实质：
建立平面上的点（用平面直角坐标或极坐标 表示）和地球表面上的点（用纬度和经度表 示）之间的函数关系，用数学式表达这种关 系，就是：
当制图区域的中心点是在两极以外的任一点以及制图 区域是沿经线或任一方向延伸的情况，为了减少投影 误差，常采用斜轴或横轴投影。
但是，斜轴或横轴投影的经纬线形状往往是较复杂的 曲线，如果直接根据地理坐标推求投影的直角坐标公 式将是很复杂的。
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上每一点至少有一对正交方向线，在投影平面上仍 然保持其正交关系”。在投影后仍保持正交的一对 线的方向成为主方向。取主方向为作为微分椭圆的 坐标轴
特殊方向
长轴方向（极大值）a 主方向
短轴方向（极小值）b 经线方向 m ；纬线方向 n --
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b 22
地球曲面转换成地图平面，不仅仅存在着比例尺变换，而且还存在着投影转换的问题
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地图投影，简单的说就是将参考椭球面上的元素 （大地坐标、角度和边长）按一定的数学法则化 算到平面上的过程。
x y
ff12((LL,,BB))
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地图投影的基本思想是，先将参考椭球面上的点 化算到投影面上（可展曲面），再将投影面沿母 线切开展为平面。
2.3 球面坐标及其换算
球面坐标的意义和换算公式 地理坐标换算球面极坐标
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球面坐标系的意义
正轴投影以地理坐标，为参数，投影经纬网形状比较 简单，计算方便。但在使用上受到地理位置的限制。例 如，正轴方位投影只适用于两极地区，正轴圆柱投影适 用于赤道附近地区，正轴圆锥投影适用于沿纬线延伸的 中纬度地区。
结论：微分圆长、短半轴的大小，等于该点
主方向的长度比。也就是说，如果一 点上主方向的长度比（极值长度比）已经确 定，则微分圆的大小和形状即可确定。
通过变形椭圆形状显示变形特征
r
r′
r′
ｂａ
ａ ｂ
ｂａ
ａｂ
实地上的一 a=b=r′< r a=b=r′> r 个 微分圆
１
２
ａ ｂ＝ｒ２
３
４
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ａ> ｒ，ｂ＝ｒ ５