比赛项目排序问题的贪婪算子遗传算法

尔顿回路中权最大的边的权值。
由此可得模型 ＩＩ： Ｆ＝ｍａｘ（ｅ’［ ｖｉ，ｖｉ＋１］ ） ２．３ 模型的求解 ２．３．１ 遗传算法引入
（ １） 总 体 思 想 ： 借 鉴 了 达 尔 文 的 物 竞 天 演 、优 胜 劣 汰 、适 者 生 存 的 自 然 选 择 和
作者简介：许盛强（ １９８５－ ） ，男， 福建人， 厦门大学本科生， 专业为信息 科 学计 算 学 数学； 屈 小波 （ １９８４－ ） ，男 ， 四 川人 ， 厦 门大 学 硕 士研 究 生， 研 究 方 向为 光 电通信； 谢国富（ １９８５－ ） ，男， 江西人， 厦门大学硕士研究生， 研究方向为软件开发与应用。
算法与语言
比赛项目排序问题的贪婪 算子遗传算法
许盛强 １，屈小波 ２，谢国富 ３
（ １．厦门大学 数学科学学院信息与计算数学系， 福建 厦门 ３６１００５； ２．厦门大学 信息科学与计算机学院电子工程系， 福建 厦门 ３６１００５； ３．厦门大学 软件学院， 福建 厦门 ３６１００５）
摘 要：将比赛项目的排序问题转化为图论问题中的货郎担问题（ ＴＳＰ） ，利用 ＴＳＰ 较为成熟的遗传算法进行
求出 ４ 个表格中各自的信息熵如表 ２ 所示
表 ２ 信息熵
重合度（ ｎ）
９
９
８
８
信息熵（ Ｈ（ Ｘ） ） ２．４％ ２．７％ ０．６５％ ０．４３％
（ 计算结果基于原始数据表） 由以上信息熵作为截止代数， 定义重 合度的置信度为：
１－ Ｈｎ （Ｘ）
其 中Ｈｎ （Ｘ）， 表 示 重 合 度 为 ｎ 的 信 息 熵的平均值， 所以
求解。这样防止了搜索过程陷入局部最优。针对遗传算法收敛速度慢的特点， 对遗传算法进行了改进， 引入贪婪
交叉算子来加快算法的收敛速度， 得到冲突总人次数为 ８ 的优良结果。在对算法进行合理性分析时， 从理论上论
证了算法的优劣。
关键词： 比赛项目； 排序问题； 图论； ＴＳＰ； 遗传算法； 贪婪算法
中 图 分 类 号 ：ＴＰ３１２
文 献 标 识 码 ：Ａ
文章编号：１６７２－ ７８００（ ２００７） ０２－ ０１１５－ ０３
１ 问题重述
在各种运动比赛中， 为了使比赛公 平 、公 正 、合 理 地 举 行 ， 一 个 基 本 要 求 是 ： 在比赛项目排序过程中， 尽可能使每个运 动员不连续参加两项比赛， 以便运动员恢 复体力， 发挥正常水平。
现 过，则 随 机 生 成 未 选 择 过 的 点 作 为 下 一
个目标点。
贪心交叉算子是为了充分利用染色
体的局部信息指导遗传进化搜索。对 ＴＳＰ
编 码 是 一 个 循 环 圈，因 此，从 任 意 一 个 点 选
择开始贪心交叉操作都是可行的，经过贪 心交叉的个体局部性能会有所改善，但个 体性能不一定能得到提高，如果个体性能 提 高 就 替 换 父 代 个 体，否 则，个 体 不 进 行 替 换。
串 １、２、３、．．．、６１， 表 示 从 项 目 １ 开 始 ， 依 次
进行项目 ２、３、．．．、６１， 最后遍历所有的点。
（ ３） 适 应 度 函 数 ： 我 们 构 造 基 于 序 的
适 应 度 函 数 。它 的 特 点 是 个 体 被 选 择 的 概
率 与 目 标 函 数 的 具 体 值 无 关 。将 种 群 中 的
假 设 共 有 ６１ 个 比 赛 项 目 ， １０５０ 人 参 加比赛， 要求使连续参加两项比赛的运动 员 人 次 尽 可 能 的 少 。建 立 此 问 题 的 数 学 模 型， 给出 算法 及结 果； 表 中 “＃”号 位 置 表 示 运 动 员 参 加 此 项 比 赛 。 例 表 只 列 出 了 １４ 个比赛项目， １５ 人参加比赛 （ 原始数 据表 格 见 ２００５ 年 “中 国 电 气 工 程 协 会 杯 ”Ｂ 赛 题） ， 见表 １。
（ ７） 适 应 度 评 估 检 测 ： 主 要 针 对 适 应 度 函 数 进 行 检 测 ， 限 制 遗 传 代 数 ＧＥＮ ＮＵＭＢＥＲ≤ＧＥＮ ＳＴＯＰ ＮＵＭＢＥＲ，即遗传 代数大 于 ＧＥＮ ＳＴＯＰ ＮＵＭＢＥＲ 时 ， 遗 传 结束。 ２．３．２ 标准遗传算法流程
（ １） 编码。 （ ２） 初始群体的生成。 （ ３） 适应度评估检测。 （ ４） ＷＨＩＬＥ ＜ 未 满 足 迭 代 终 止 条 件 ＞ ＤＯ。①选择； ②交叉； ③变异； ④适应度评 估检测。 （ ５） ＥＮＤ ＤＯ。 通过 Ｃ＋＋编程得到 ｍｉｎＴ＝８。 重合度最小为 ８， 按照所得项目排序 方式， 将有 ８ 人次出现冲突。
所有个体按其目标函数值的大小进行降
序排列， 设参数 α∈（０，１）， 定 义基于 序的 适
应度函数为：
ｅｖａｌ（ｋｉ）＝α（１－ α）ｉ－１，ｉ＝１，２，…， Ｐｓｉｚｅ 式 中 ｋｉ 为 种 群 排 序 后 的 第 ｉ 个 体 ， ｐｓｉａｅ 为 种 群 个 体 总 数 ， α取 为 ０．１ 到 ０．３ 有 利于保持群体的多样性。
由图论的知识， 知即为寻找一条不重 复经 历点 且遍 历 ６１ 个 点 的 路 径 ， 使 所 经
历的边的权之和最小， 即搜索整数子集 ｘ＝ （１，２，… ， ｎ）的 一 个 排 列 π（ｘ＝ｖ１， ｖ２， … ， ｖ６１）使
ｎ－ １
! Ｔｅ＝ ｅ［ｖｉ ，ｖｉ＋１ ］达到最小值， 即求得 ｉ＝１ ｎ－ １ ! ｍｉｎＴｅ＝ ｅ［ｖｉ ，ｖｉ＋１ ］ ｉ＝１ 借鉴 ＴＳＰ 成 熟的 理论 和算 法， 我 们 进
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４
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把 ６１ 个项目分 别看 成无 向图 中 Ｇ 的 ６１ 个 点 （ Ｖｅｒｔｉｘ） ，其 中 每 两 个 项 目 之 间 都 可能连续排列， 所以， 无向图中任意两点 之间有连线。假设第 ｉ 项目与第 ｊ 项目连 续 排 列 在 一 起 ， 无 向 图 Ｇ 中 点 ｖｉ 与 点 ｖｊ 有一条边 ｅ［ｖｉ，ｖｊ］使它 们相连 。由于 每个 项 目都可能和其它项目连续排列在一起， 这 样得到一个 ６１×６１ 的权矩阵 Ｗｉｊ。 ２．２ 模型建立
软件导刊·２００７·２ 月号 １１５
算法与语言
自然遗传的机理， 本质是求解问题的高效
并行全局搜索方法。
（ ２） 个 体 编 码 ： 采 用 以 遍 历 比 赛 项 目
的次序排列编码的方法， 每一 个体 Ｐｉ 的 码 串 形如 Ｃ１Ｃ２ …Ｃｎ，其 中 Ｃｉ 表 示 遍 历 项 目 的 序号， 程序中个体定义为一维数组。如码
ｋ＝１，２，３
的数学期望（即概 率加 权的 统计 平均 值）为 信源的平均信息量， 一般称为信源的信息
熵，简称熵，记为 Ｈ（Ｘ）。
" Ｈ（Ｘ）＝－ ｐ（ｘｉ ）ｌｏｇ２ ｐ（ｘｉ ） ｋ＝１，２，３
在遗传算法的搜索过程中， 每一代的 种群可以看作一个单符号离散无记忆信 源．通 过 统 计 计 算 出 每 个 个 体 在 群 体 中 所 占 的 百 份 数，根 据 信 息 熵 公 式 可 以 计 算 出 当前代种群的信息熵．信息熵一旦确定则 相应的信源随之确定．当信源的信息熵为 零 时，表 明 随 机 变 量 已 经 失 去 了 随 机 性 变 成 了 确 定 量．换 句 话 说，信 源 虽 然 有 很 多 消 息，只 有 一 个 消 息 必 然 出 现．此 时 种 群 中 的 个体具有唯一性，遗传算法不可能再搜索 到 其 他 解．对 于 任 意 初 始 的 无 限 种 群，按 适 应值选择算子重复进行，最终可以实现最 大的 ｉ 个体有较高的概率． 即只在选择算 子 的 作 用 下，遗 传 算 法 最 终 收 敛 到 初 始 种 群中的最优个体．不管初始种群给出什么 样的分布，在变异算子的重复作用下，其极 限分布都是均匀的，即变异把整个个体空 间 作 为 搜 索 空 间．当 种 群 的 信 息 熵 很 小 时， 遗传算法已经不具备进化能力，在这个阶 段并不期望算法找到更优解．由于变异算 子的存在， 使种群的信息熵为 ０ 具有随机 性，当 种 群 的 信 息 熵 小 于 某 一 极 小 值 时，同 样可以判断遗传算法的截止代数。
交配位之间继承双亲在这两个交配位之
间的基因：
如父 Ａ １ ２ ３ ｜ ４ ５ ６ ７ ｜ ８ ９ １０
父 Ｂ ４ ７ ８ ｜ ３ ２ ５ ９ ｜ １ ６ １０
子 Ａ ８ ３ ２ ｜ ４ ５ ６ ７ ｜ ９ １ １０
子 Ｂ １ ４ ６ ｜ ３ ２ ５ ９ ｜ ７ ８ １０
通过这种方式编程发现， 该算法收敛
３ 算法的合理性分析
为评价算法的合理性， 我们引入信息
学中的熵， 熵的定义如下：
已知单符号离散无记忆信源的数学
模型
$ %& ’ Ｘ
ｘ １
ｘ２
…
ｘｉ
…
ｘｎ
＝
Ｐ（Ｘ） ｐ（ｘ１） ｐ（ｘ２） … ｐ（ｘｉ） … ｐ（ｘｎ）
其 中， ０≤ｐ（ｘｉ）≤１（ｉ＝０，１，２，… ， ｎ）， 且 ｋ＝
"ｐ（ｘｉ ）＝１， 信源各个离散消息的自信息量
（ ４） 选择机制： 采用比例选择算子。该
算子是一种回放式随机采样的方法， 以旋
转赌轮 ｐｓｉａｅ 为基础 ， 每次旋转都可选择一
个体进入子代种群。父代个体 ｋｉ 被选择的
概率 ｐｓｉ 为 ：
ｐｓｉ＝
ｅｖａｌ（ｋｉ ）
ｐｓｉｚｅ
"ｅｖａｌ（ｋｉ ）
ｉ＝１
（ ５） 种群交叉。①常规交叉方式。随机
选择两个不相同的交配位， 后代在这两个
重合度为 ９ 的置信度为：
１－ Ｈ９（Ｘ）＝１－
２．４
％＋２．７％ ２
＝９７．４５％
重合度为 ８ 的置信度为：
１－ Ｈ８（Ｘ）＝１－
０．６５
％＋０．４３％ ＝９９．４６％ ２
重合度为 ８ 的置信度比重合度为 ９
时大， 基于此， 将重合度为 ８ 作为最优解。
由 于 置 信 度 大 于 ９９％， 所 以 ， 采 用 遗 传 算
２ 建立模型及求解
２．１ 问题分析 此题可转化为图论问题中求最小哈
密 尔 顿 通 路 ， 这 与 货 郎 担 问 题 （ ＴＳＰ） 有 很 大相似之处， 我们将进行如下分解：
表 １ 某小型运动会的比赛报名
项目 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４
运动员
１
＃＃
＃
＃
２
＃
＃＃
３
行转 化： 先 按照 ＴＳＰ 问题 的求 解一 个圈的 总权最小， 然后在这个总权最小的圈中截 断这个圈中边的权最大的边， 定义目标函 数为：
ｎ－ １
! ｆ（ｅ［ ｖｉ，ｖｉ＋１］ ）＝ｍｉｎ ｅ［ ｖｉ ，ｖｉ＋１ ］ － ｍａｘ（ｅ’ ｉ＝１
［ ｖｋ，ｖｋ＋１］ ） 其 中 ｍａｘ（ｅ’［ ｖｋ，ｖｋ＋１］ ）代 表 在 最 优 哈 密
（ ６） 种 群 变 异 ： 变 异 操 作 的 主 要 目 的 是改善算法的局部搜索能力， 并维持体的 多样性， 防止出现早熟现象。①方法一： 取 两个不同的随机数， 对这两个数确定的基 因区间进行随机排序； ②方法二： 在染色 体的 ２－ ｏｐｔ 邻域中随机取出一个染色体， ２ － ｏｐｔ 邻域搜 索优 化算 法 是 求 解 ＴＳＰ 问 题 的常用启发式算法， 能有效消除边交叉现 象。对 Ｈａｍｉｌｔｏｎ 回路中的顶点按经过的顺 序 以 自 然 数 编 号，任 意 两 点 ｖｉ、ｖｊ 间 边 的 权 重记 为 ｗｉｊ。对 于 ２－ ｏｐｔ，如 果 ｗｉ，ｊ＋ｗｉ＋１，ｊ＋１＜ｗｉ，ｉ＋ １＋ｗｊ，ｊ＋１， 则 以 边 ｅ ［ ｖｉ，ｖｊ］ 、ｅ ［ ｖｉ＋１，ｖｊ＋１］ 代 替 边 ｅ ［ ｖｉ，ｖｉ＋１］ 、ｅ［ ｖｊ，ｖｊ＋１］ 。
速度较慢， 短时间能难以得到比较优的
解， 这成为贪婪交叉方式考虑的出发点。
②贪婪交叉方式（ Ｇｒｅｅｄｙ Ｃｒｏｓｓｏｖｅｒ） 。
贪心交叉算子选择父代的第一个点，然后
在双方父代中对比剩下的点， 选择距离较
近 的 点，继 续 搜 索 路 径，如 果 该 点 已 在 经 历
过，则 选 择 另 一 父 代 的 点，如 果 两 个 点 都 出
１１６ 软件导刊·２００７·２ 月号
算法与语言
法求解 结果 是“最 好解 ”， 这 也 说 明 用 遗 传 算法是合理的。
４ 模型评价与改进
在交叉算子中引入贪婪算法， 既避免 了贪婪算法导致局部最优而全局不是最 优， 又加快了遗传算法的收敛速度， 快速 求 到 较 优 解 。由 于 遗 传 算 法 是 基 于 计 算 机 运算的随机性， 所以， 可能有时得到较优 解时间会稍长。