扩展有限元简介
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• 数值方法,如有限元、边界元、无网格法等,一直是处理 不连续问题的主要途径
1.1 有限元裂纹扩展模拟
• 裂纹扩展有限元模拟研究涉及三个问题:理论基础、扩展控 制参量及模拟方法。 • 理论基础直接影响有限元方程构成和具体实施的难易程度。
1.2Ⅰ、Ⅱ型复合裂纹扩展模拟
• 根据能量平衡理论,裂纹扩展的条件是裂纹体在裂纹扩展过程 中能释放出足够的弹性能,以供表面能增加的需要。定义裂纹 扩展单位长度(厚度为单位厚) 所释放出来的能量为裂纹扩展能 量释放率, 记为G。由于能量释放率G能描述在任何应力状况下 裂纹扩展时的基本量参数,所以在探讨断裂力学中应用广泛。 虚裂纹扩展法是一种能量方法, 是通过虚裂纹扩展这一技术求出 裂纹的能量释放率G, 该方法也叫能量释放率法。 • 在使用ANSYS软件建模时,通常将2D模型的裂纹尖端作为裂纹 的边缘,一般2D模型模拟裂纹扩展因试件长度和宽度方向的尺 寸远远大于厚度方向的尺寸,且边界条件满足平面应力问题的 条件,故可简化为平面应力问题求解。ANSYS软件采用KSCON命 令通过自动产生奇异单元来划分网格,并用KCALC命令来计算并 读取其应力强度因子值。
������, ������ = 0
(5)
水平集对裂纹的描述
• 定义裂纹面������(������) ⊂ ������2 可以被水平集曲面������(������, ������) ⊂ ������2 × ������ → ������确切地表达,其中 S ������ = ������ ∈ ������2 : ������ ������, ������ = 0 • 移动界面由������ ������, ������ 的演化方程确定������ ������, 0 给定 ������������ + ������ ������������ = 0 • F(x,t)为界面上点x在界面外法线方向的速度;水平集函数f 为符号距离函数 ������ ������, ������ = ± min ������ − ������������
= ������ ������ ������, ������ ������ ������, ������
(3)
• 方程3实质是材料界面演化变形的Lagrange描述,可采用格子类 方法来求解,但在实际计算时常遇到精度低,甚至数值不稳定 的困难,特别是当界面产生奇异和拓扑变化的时候,其数值处理 更加困难。为了克服这些问题,这里将采用隐式形式描述材料界 面,将方程3从Lagrange描述等价地转化为Euler描述,并导出标准 的水平集方程。
2.2 水平集法(LSM)
• 水平集法是一种跟踪界面移动的数值技术,这种方法将界 面的变化表示成比界面高一维的水平集曲线。 • 1988年Osher和Sethian提出水平集方法,并构造了水平集 方程的高精度稳定数值解法。这种方法吧所跟踪界面表示 为高维函数水平集,能方便地推广到任意维数空间,易于 编程。这一方法的理论基础是Crandall和Lions建立的 Hamilton-Jacobi方程的粘性解理论。 • 例如,������2 中移动界面������ ������ ⊂ ������2 可以表示成 ��源自文库��� ������ = ������ ∈ ������2 : ������ ������, ������ = 0 其中������ ������, ������ 称为水平集函数。
有限元建模加边界 条件 有限元计算 ������ ������ 、 ������ ������
Y N
������ ≥ 90°
N
������ ������ ≥ ������������������������
Y
������ ������ = ������������������������ 应力强度因子≥ ������������������
������������
• 由于������ ������, ������, ������ 的水平集������ ������, ������, ������ 就是曲线������ ������, ������ ,因此根 据水平集定义,即(4),有������ ������ ������, ������ , ������ =0,微分该式可 得
������������ ������,������ ������������
= ������ ������ ������, ������ ������ ������, ������ + ������ ������ ������, ������ ������ ������, ������
(1)
参考文献:拓扑优化的水平集方法及其在刚性结构柔性机构和材料设计中的应用_ 梅玉林_2003
材料界面运动的水平集描述
考虑一闭曲线������ ������, ������ 所表示的材料界面,它依 时间变形形成了曲线族������ ������, ������ : ������1 × [0, ������) → ������2 ,其中为������曲线参数,t为时间参数,不同的t 描述了曲线族中不同的闭曲线。 ������ ������, 0 是初始曲线,������ ������, ������ 是初始曲线经过演 化变形后t时刻的曲线。假设用������表示t时刻曲 线的演化变形速度向量场,它在曲线������ ������, ������ 给定点的法向速度分量和切向速度分量分别 为������ ������ 和������ ������ ,则材料界面的演化变形应满足下面 的偏微分方程
2.3 单位分解(PUM)法的基本概念
• 1996年Melenk和Babuska及Duarte和Oden先后提出了单位 分解法。其基本思想是任意函数������(������)都可以用域内一组局 部函数������������ (������)������(������)表示,即
=
������������ ������������ ������ ������ ������������
+ ������ ������ ������, ������ ������ ������, ������ + ������ ������ ������, ������ ������ ������, ������
• 一般情况下注重材料界面的几何形状,而不关心界面的具体数 学描述或参数化形式,在此对曲线������ ������, ������ 进行重新参数化,设 ������ = ������ ������, ������ ,p为新的曲线参数,则上式在新的参数下可表示为
������������ ������,������ ������������
扩展有限元方法简介
1. 前言
• 固体力学中存在两类典型的不连续问题,一类是因材料特 性突变引起的弱不连续问题,这类问题以双材料问题和夹 杂问题为代表,其复杂性由物理界面处的应变不连续性引 起;另一类是因物体内部几何突变引起的强不连续问题, 这类问题以裂纹问题为代表,其复杂性由几何界面处的位 移不连续性和端部的奇异性引起。
������������ ������������
(2)
• 特别的当参数方程满足 + ������ ������ ������, ������ = 0时,材料界面的演化 ������ ������ ������������ 变形方程简化为
������������ ������,������ ������������
• 将曲线������ ������, ������ 表示为一个三维标量函数 ������ ������, ������, ������ : ������2 × [0, ������) → ������的零水平集
������ ������, ������, ������ : = (������, ������) ∈ ������2 : ������ ������, ������, ������ = 0 (4) • 函数������ ������, ������, ������ 有很多种取法,其中一个简单方法是将 ������ ������, ������, ������ 构造为曲线的符号距离函数,即������ ������, ������, ������ 的值是 (x,y)到的闭曲线的最短距离,并规定点在闭曲线内部为正, ������������ 外部为负。这样闭曲线的外单位法矢为������ = −
2.1 扩展有限元
• 1999年,以美国西北大学Belytschko教授为代表的研究组 首先提出扩展有限元思想 ,2000年,他们正式使用扩展有 限元法(XFEM)这一术语。XFEM 是迄今为止求解不连续力 学问题最有效的数值方法,它在标准有限元框架内研究问 题,保留了CFEM 的所有优点,但并不需要对结构内存在 的几何或物理界面进行网格剖分。XFEM 与CFEM 的最根本 区别在于所使用的网格与结构内部的几何或物理界面无关, 从而克服了在诸如裂纹尖端等高应力和变形集中区进行高 密度网格剖分所带来的困难,当模拟裂纹扩展时也无需对 网格进行重新剖分。
N
������ = ������ + 1
Y
结束
参考文献:基于ANSYS有限元软件裂纹扩展模拟_刘莎_2006
参考文献:基于ANSYS有限元软件裂纹扩展模拟_刘莎_2006
ANSYS有限元算例VM143
• 算例采用Solid45建模、Solid95模拟裂尖单元
2. 扩展有限元
参考文献:扩展有限元法(XFEM)及其应用_李贤录_2005
������������ ������, ������
������������ ������������
• 将(3)、������带入(5)可得水平集方程 = ������ ������ ������������
(6)
������������ ������������
������������ + ������������
LSM对裂纹的描述
• 延长的裂纹由零水平集函数������ ������, ������ 表达,裂尖则由两个零 水平集函数������ ������, ������ 和������������ ������, ������ 的交点确定,i表示第i个裂纹 尖端。对于完全包含于结构内部的裂纹,i=1,2分别对应两 个裂尖。初始裂尖水平集定义为 ������������ ������, ������ = (������ − ������������������������ ) ∙ ������ • 式中������是垂直于通过裂尖������������������������ 的裂纹切向单位向量。显然������������ 的零水平集在裂尖正交于������ 。从图中可以看出,初始裂纹 由������ ������, ������ =0与������1 ≤ 0,������2 ≤ 0的交集构成,当水平集更新 时,此条件依然成立。
������������ ∈������(������)
考察裂纹面上方时 ������ ������, ������ = min
������������ ∈������(������)
������ − ������������
裂纹面������(������)
������ − ������������
考察裂纹面下方时 ������ ������, ������ = − min
������������ ∈������(������)
LSM对裂纹的描述
• 对于裂纹只要计算相对裂纹的水平集函数即可得到其确切 的位置。但裂纹尖端往往位于计算区域内,而水平集函数 需要在整个区域内建立。为了克服这个困难,将初始裂纹 沿裂尖切向延伸到区域边界如下图所示
参考文献:基于ANSYS有限元软件裂纹扩展模拟_刘莎_2006 复合型裂纹在16MnDR制压力容器壳体中的研究_孙晓菊_2013
建模加边界条件 得到应变能初始值 ������0
裂纹扩展后 ������������������������ = 0 ������ = 90°
������������ ������ = ������������