材料力学第10章
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例题 10.1
如图所示细长圆截面连杆，长度l=800mm ，直径d=20mm，材料为Q235钢，其弹性模 量E=200GPa。试计算连杆的临界荷载。
14
例题 10.1
解: 该连杆为两端铰支细长压杆，由式（10.1）可知 其临界荷载为： 4 2 E πd4 π3 Ed 4 π3 200 109 Pa0.020m Fcr 2 24.2kN 2 2 l 64 64l 64 0.800m
受均匀压力的薄圆环， 当压力超过一定数值时，圆 环将不能保持圆对称的平衡 形式，而突然变为非圆对称 的平衡形式（图c）。
3
上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳 定失效，简称为失稳或屈曲。工程中的柱、桁架中的 压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都 可能发生失稳。 图a所示处于凹面的球 体，其平稳是稳定的，当球 受到微小干扰，偏离其平衡 位臵后，经过几次摆动，它 会重新回到原来的平衡位臵 。
由Q235钢的屈服应力σs=235MPa,因此，使连杆压 缩屈服的轴向压力为：
Fs
d 2 s
4
0.020m2 235 106 Pa
4
73.8kN Fcr
上式计算说明，细长压杆的承压能力是由稳定性 要求确定的。
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§10.3 不同约束条件下细长压杆的临界力 在不同的杆端约束下，由于压杆所受的约束程 度不同，杆的抗弯能力也不同，所以显然会有不 同的临界力公式表达式。 推导这些表达式的思路是：只有在临界力Fcr作 用下，压杆才有可能于微弯的形状下维持平衡。 找出压杆在微弯形状下由临界力 引起的任意截面 上弯矩表达式M(x)，通过对杆挠曲线的近似微分 方程的求解，并利用杆端的边界条件来确定挠曲 线方程中待定的常数，即可得到挠曲线的表达式 以及该压杆的临界力。
第十章
压杆稳定
1
§10.1 压杆稳定的概念 构件除可能发生强度、刚度失效的问题以外， 还可能发生稳定失效。 受轴向压力的细长杆，当压力 超过一定数值时，压杆的平衡形式 由原来的直线突然变弯，致使构件 丧失承载能力（图a）。
2
狭长截面梁在横向荷载 作用下，将发生平面弯曲， 但当荷载超过一定数值时， 梁的平衡形式将突然变为弯 曲和扭转（图b）。
7Βιβλιοθήκη Baidu
当压杆的横截面形状，尺寸相同时，杆长越长， 则越容易变弯；而当压杆长度相同，截面的弯曲刚 度越大则越不易变弯。 压杆受压力时会发生弯曲变形的原因在于： 1. 压杆在制造时其轴线不可避免地存在着初曲率； 2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心； 3. 材料性质并非绝对均匀。 在一定条件下，附加的弯曲变形就由次要变形变 为主要变形，从而导致压杆丧失承载能力。
8
§10.2 两端铰支细长压杆的临界力
细长的中心受压直杆在临界力作用下，处于 不稳定平衡的状态下，其材料仍处于理想的线弹 性范围内，这类问题称为线弹性稳定问题，这是 压杆稳定问题中最简单也是最基本的情况。
截面的弯曲刚度EI，杆件长度l和两端的约束 情况等都会影响压杆的临界力。确定临界力的方 法有静力法、能量法等。 下面以两端铰支的中心受压直杆为例，说明 确定临界力的基本方法。
n 2 2 EI Fcr l2
12
实际工程中有意义的是最小的临界力值，即 n=1时的Fcr值： 2
Fcr
EI
l
2
(10.1)
此式即计算压杆临界力的表达式，称为欧拉公 式。相应的Fcr也称为欧拉临界力。 将k= π/l代入式（b）得压杆的挠度方程为： x w A sin (c) l 在x= l/2处，有最大挠度ωmax=δ 。
4
图c所示处于凸面的球体，当 球受到微小干扰，它将偏离其平 衡位臵，而不再恢复原位，故该 球的平衡是不稳定的。 图b中处于水平面上的球体， 其平衡是临界平衡，当球受到微 小干扰，偏离其平衡位臵后，它 将既不回到它原来的平衡位臵也 不进一步离开，而是停留在新的 位臵上处于新的平衡状态。
5
对压杆，将其抽象为一种由均质材料制成的轴 线为直线且外力作用线与压杆轴线完全重合的理 想的“中心受压直杆”这种力学模型。
9
两端铰支中心受压的直 杆如图a所示。现设压杆处 于临界状态，并具有微弯 的平衡形式，如图b所示。 此时，任意截面(x)处的 沿y方向的位移为ω，而该 截面的弯矩为:
M ( x) Fcr w
在图示坐标系中，压力Fcr取 正值，挠度ω以沿y轴正值方 向为正。
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由于压杆在微弯情况下保持平衡，根据梁的挠 曲线近似微分方程可得：
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例题 10.2
试推导长度为l，下端 固定、上端自由的等直 细长中心压杆临界力的 欧拉公式，并求压杆失 稳时的挠曲线方程。图 中xy平面为杆的弯曲刚 度最小的平面。
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例题 10.2
解: (1) 建立压杆挠曲线的近似微分方程
对于中心受压直杆，可以在其受到轴向压力的 同时，假想地在杆上施加一横向力，以便使杆发 生弯曲变形，然后，将横向力撤去。 如图a所示下端固定、上端自由 的中心受压直杆，当压力 小于某 一临界值 时，杆件的直线平衡形 式是稳定的。
6
使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平 衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临 界荷载，或简称为临界力，用Fcr表示。中心受压 直杆在临界力的作用下，其直轴线形状下的平衡 开始丧失稳定性，简称“失稳”。
d 2w M x Fcr w 2 dx EI EI
令
k2
Fcr EI
，得微分方程：
d 2w 2 k w0 2 dx
w A sin kx B cos kx
(a)
这是一个二阶常系数线性微分方程，其通解为：
式中，A,B,k是三个待定的常数，可由挠曲线的 边界条件来确定。
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利用杆端的边界条件，x=0, ω=0得B=0，可知 压杆的微弯挠曲线为正弦函数： w A sin kx (b) 利用边界条件，x=l, ω=0,得： A sin kl 0 这有两种可能：一是A=0，即压杆没有弯曲变形， 这与一开始的假设（压杆处于微弯平衡形式）不符； 二是kl=nπ，n=1,2,3,…由此得出相应于临界状态的 临界力表达式:
例题 10.1
如图所示细长圆截面连杆，长度l=800mm ，直径d=20mm，材料为Q235钢，其弹性模 量E=200GPa。试计算连杆的临界荷载。
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例题 10.1
解: 该连杆为两端铰支细长压杆，由式（10.1）可知 其临界荷载为： 4 2 E πd4 π3 Ed 4 π3 200 109 Pa0.020m Fcr 2 24.2kN 2 2 l 64 64l 64 0.800m
受均匀压力的薄圆环， 当压力超过一定数值时，圆 环将不能保持圆对称的平衡 形式，而突然变为非圆对称 的平衡形式（图c）。
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上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳 定失效，简称为失稳或屈曲。工程中的柱、桁架中的 压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都 可能发生失稳。 图a所示处于凹面的球 体，其平稳是稳定的，当球 受到微小干扰，偏离其平衡 位臵后，经过几次摆动，它 会重新回到原来的平衡位臵 。
由Q235钢的屈服应力σs=235MPa,因此，使连杆压 缩屈服的轴向压力为：
Fs
d 2 s
4
0.020m2 235 106 Pa
4
73.8kN Fcr
上式计算说明，细长压杆的承压能力是由稳定性 要求确定的。
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§10.3 不同约束条件下细长压杆的临界力 在不同的杆端约束下，由于压杆所受的约束程 度不同，杆的抗弯能力也不同，所以显然会有不 同的临界力公式表达式。 推导这些表达式的思路是：只有在临界力Fcr作 用下，压杆才有可能于微弯的形状下维持平衡。 找出压杆在微弯形状下由临界力 引起的任意截面 上弯矩表达式M(x)，通过对杆挠曲线的近似微分 方程的求解，并利用杆端的边界条件来确定挠曲 线方程中待定的常数，即可得到挠曲线的表达式 以及该压杆的临界力。
第十章
压杆稳定
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§10.1 压杆稳定的概念 构件除可能发生强度、刚度失效的问题以外， 还可能发生稳定失效。 受轴向压力的细长杆，当压力 超过一定数值时，压杆的平衡形式 由原来的直线突然变弯，致使构件 丧失承载能力（图a）。
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狭长截面梁在横向荷载 作用下，将发生平面弯曲， 但当荷载超过一定数值时， 梁的平衡形式将突然变为弯 曲和扭转（图b）。
7Βιβλιοθήκη Baidu
当压杆的横截面形状，尺寸相同时，杆长越长， 则越容易变弯；而当压杆长度相同，截面的弯曲刚 度越大则越不易变弯。 压杆受压力时会发生弯曲变形的原因在于： 1. 压杆在制造时其轴线不可避免地存在着初曲率； 2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心； 3. 材料性质并非绝对均匀。 在一定条件下，附加的弯曲变形就由次要变形变 为主要变形，从而导致压杆丧失承载能力。
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§10.2 两端铰支细长压杆的临界力
细长的中心受压直杆在临界力作用下，处于 不稳定平衡的状态下，其材料仍处于理想的线弹 性范围内，这类问题称为线弹性稳定问题，这是 压杆稳定问题中最简单也是最基本的情况。
截面的弯曲刚度EI，杆件长度l和两端的约束 情况等都会影响压杆的临界力。确定临界力的方 法有静力法、能量法等。 下面以两端铰支的中心受压直杆为例，说明 确定临界力的基本方法。
n 2 2 EI Fcr l2
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实际工程中有意义的是最小的临界力值，即 n=1时的Fcr值： 2
Fcr
EI
l
2
(10.1)
此式即计算压杆临界力的表达式，称为欧拉公 式。相应的Fcr也称为欧拉临界力。 将k= π/l代入式（b）得压杆的挠度方程为： x w A sin (c) l 在x= l/2处，有最大挠度ωmax=δ 。
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图c所示处于凸面的球体，当 球受到微小干扰，它将偏离其平 衡位臵，而不再恢复原位，故该 球的平衡是不稳定的。 图b中处于水平面上的球体， 其平衡是临界平衡，当球受到微 小干扰，偏离其平衡位臵后，它 将既不回到它原来的平衡位臵也 不进一步离开，而是停留在新的 位臵上处于新的平衡状态。
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对压杆，将其抽象为一种由均质材料制成的轴 线为直线且外力作用线与压杆轴线完全重合的理 想的“中心受压直杆”这种力学模型。
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两端铰支中心受压的直 杆如图a所示。现设压杆处 于临界状态，并具有微弯 的平衡形式，如图b所示。 此时，任意截面(x)处的 沿y方向的位移为ω，而该 截面的弯矩为:
M ( x) Fcr w
在图示坐标系中，压力Fcr取 正值，挠度ω以沿y轴正值方 向为正。
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由于压杆在微弯情况下保持平衡，根据梁的挠 曲线近似微分方程可得：
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例题 10.2
试推导长度为l，下端 固定、上端自由的等直 细长中心压杆临界力的 欧拉公式，并求压杆失 稳时的挠曲线方程。图 中xy平面为杆的弯曲刚 度最小的平面。
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例题 10.2
解: (1) 建立压杆挠曲线的近似微分方程
对于中心受压直杆，可以在其受到轴向压力的 同时，假想地在杆上施加一横向力，以便使杆发 生弯曲变形，然后，将横向力撤去。 如图a所示下端固定、上端自由 的中心受压直杆，当压力 小于某 一临界值 时，杆件的直线平衡形 式是稳定的。
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使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平 衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临 界荷载，或简称为临界力，用Fcr表示。中心受压 直杆在临界力的作用下，其直轴线形状下的平衡 开始丧失稳定性，简称“失稳”。
d 2w M x Fcr w 2 dx EI EI
令
k2
Fcr EI
，得微分方程：
d 2w 2 k w0 2 dx
w A sin kx B cos kx
(a)
这是一个二阶常系数线性微分方程，其通解为：
式中，A,B,k是三个待定的常数，可由挠曲线的 边界条件来确定。
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利用杆端的边界条件，x=0, ω=0得B=0，可知 压杆的微弯挠曲线为正弦函数： w A sin kx (b) 利用边界条件，x=l, ω=0,得： A sin kl 0 这有两种可能：一是A=0，即压杆没有弯曲变形， 这与一开始的假设（压杆处于微弯平衡形式）不符； 二是kl=nπ，n=1,2,3,…由此得出相应于临界状态的 临界力表达式: