基于复轮廓波变换的图像消噪
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第36卷第10期 光电工程V ol.36, No.10 2009年10月Opto-Electronic Engineering Oct, 2009 文章编号:1003-501X(2009)10-0111-05
基于复轮廓波变换的图像消噪
陈新武1, 2,龚俊斌2,刘玮2,田金文2
( 1. 信阳师范学院物理电子工程学院,河南信阳 464000;
2. 华中科技大学多谱信息处理技术国家重点实验室,武汉 430074 )
摘要:为了克服实轮廓波图像消噪后广泛存在的混叠现象,研究了基于双树复小波级联方向滤波器架构的复轮廓波变换图像消噪的若干性质,证明了对于高斯白噪声图像,该变换具有更好的分割能力和抑制能力,并在此基础上提出了一种基于该变换的图像消噪算法。
该算法采用蒙特卡罗方法来确定门限收敛因子,并采用这些因子修正3σ准则,对变换域系数模值采用硬阈值处理。
图像消噪实验结果表明:该消噪算法比基于实轮廓波变换的消噪算法,具有更高的峰值信噪比和更好的视觉效果。
关键词:图像消噪;复轮廓波变换;蒙特卡罗法;门限收敛因子;峰值信噪比
中图分类号:TN911.73; TP391 文献标志码:A doi:10.3969/j.issn.1003-501X.2009.10.022 Image Denoising Based on Complex Contourlet Transform
CHEN Xin-wu1, 2,GONG Jun-bin2,LIU Wei2,TIAN Jin-wen2
( 1. College of Physics and Electronics, Xinyang Normal University, Xinyang 464000, Henan Province, China;
2. State Key Laboratory for Multi-Spectral Information Processing Technology,
Huazhong University of Science & Technology, Wuhan 430074, China )
Abstract: In order to overcome the aliasing phenomenon commonly existing in real contourlet transform image denoising, some characters of complex contourlet transform whose structure is a cascading of dual tree complex wavelet and directional filter banks are discussed. It is proved that the transform performs well at division and restraining ability under white Gaussian noise condition. Then, an image denoising algorithm was proposed based on the transform.
Furthermore, Mento-Carlo method was used to find convergence factors for modifying the 3σ rule, and hard threshold method was carried on complex contourlet tranform domain coefficients. Experimental results show that the image denoising algorithm proposed in this paper is superior to that using real contourlet transform both at Peak Signal-to-noise Ratio (PSNR) values and visual quality.
Key words: image denoising; complex contourlet transform; Mento-Carlo method; threshold convergence factors; PSNR
0 引 言
如何有效地从含噪图像中尽可能准确地恢复出原始图像,一直是图像处理领域的重要课题之一。
小波能够稀疏的表示信号并能够有效地识别信号中的奇异点,因而在信号消噪领域受到广泛的关注和青睐[1-2]。
然而,采用一维小波张量积来表示图像信号则不能有效表示图像中的边界信息和纹理信息[3]。
也就是说,虽然小波在描述一维信号的情况下,能够表现出优良的性能,但是在二维情况下,由于物体边缘的光滑性与几何特征不能在变换域被张量小波稀疏的表示,因而小波消噪不能获得最优的效果[4]。
为了解决这个问题,许多学者展开了大量的研究工作。
其中,Do博士和他的导师Vetterli Martin提出的轮廓波变换[5](我们称之为第一代轮廓波变换),备受业界推崇。
该变换采用拉普拉斯金字塔[6](LP)级联方向滤波器[7](DFB),构收稿日期:2009-01-13;收到修改稿日期:2009-05-14
基金项目:国家自然科学基金资助项目(60572048/F010204)
作者简介:陈新武(1969-),男(汉族),河南修武人。
副教授,博士,研究方向为数字图像的多尺度几何分析。
E-mail: chenxinwu@。
光电工程 2009年10月 112 成一个双滤波器结构(PDFB)[5]。
拉普拉斯金字塔实现图像的多尺度分解,方向滤波器则通过合并同一尺度上方向相同或相近的系数实现方向信息的提取,从而使得对于自然图像的描述更加稀疏,能够更有效地识别图像中更多的纹理信息和几何特征,因此在消噪效果方面表现更佳[8]。
然而,由于消噪过程本身要丢弃一部分变换域系数,使得反变换与正变换之间微妙的完美重构特性遭到严重的破坏,导致恢复出的图像表现出较严重的人造纹理(Aritfacts),即混叠现象。
为了克服这种现象,Chen 等提出了一种复轮廓波变换[9],该变换采用二维双树复小波变换(2DDTDWT)[10] 级联临界下采样DFB [7],具有较高的移不变水平和较低的系数振荡特性。
Chen 等提出的复数轮廓变换的目的在于改善图像融合的质量,而没有深入探讨该变换的性质及其在图像处理其它领域的应用。
陈新武等将该变换应用拓展到纹理图像检索应用领域[11],Dai 等将该变换应用拓展到图像消噪领域。
但他们都没有给出该变换的消噪相关性质,而且,对于变换域系数的处理,dai 等采用的是实数值处理方法,不能有效利用该变换的复系数优点,因而不能充分利用该变换较高的移不变水平和抗振荡特性[12]。
本文旨在探讨这种变换的相关性质,并提出更有效地图像消噪算法。
1 复轮廓波变换
复数轮廓波变换包括两个组成部分:首先采用Kingsbury 提出的2DDTCWT 实现多尺度分解,并在尺
度j 2上细节子空间j W 包含一个双树结构,
得到6个方向子带,在位置),(21x x =x 上产生的系数可以用式(1) 进行描述:
2,1,,)}({Ζx m m x ∈d d p γ (1)
式中:p ∈{1, 2},表示小波系数的实数部分和虚数部分;d 1∈{1, 2, 3},d ∈{1, 2},与p 结合在一起,可以用12个子带来描述6个不同的方向信息;m=(m 1, m 2)表示位置偏移。
复数小波变换的输出可以构成一个准Hilbert 变换对,因而细节子空间W j 具有近似的移不变性质。
为了进一步提高复小波变换的方向分辨率,可以将DFB 级联在其细节子带上[9],将细节子空间进一步 分解,每一个子带可以被扩展至j l
2个子带空间,即: )(][)(1,,,1,,,2x n m x m Ζm d d p m l k l k l d d p k j j j
S g γμ∑∈−=
(2) 其中:)(,1,,,x m j
l d d p k μ表示尺度j 2上的方向子空间族j l k j W
,,]2,,2,1[j l k …∈;)(•j l k g 表示重构滤波器的冲激响应。
在这种情况下,每一个方向子空间j
l k j W ,包含一个复双树框架,该框架较DTCWT 的细节子空间j W 能够更灵
活地表现图像中的几何信息。
我们把这种基于双树复小波和方向滤波器架构的复轮廓波变换称为“复轮廓波变换(Complex Contourlet Transform ,CCT)”。
2 CCT 的基本性质
定理1:如果2DDTCWT 和DFB 均采用PR 滤波器,则CCT 能够完美重建,其冗余度为4。
证明:如果2DDTCWT 中的滤波器是完美重建的,则2DDTCWT 完美重建,对于DFB 也有同样的结论。
CCT 是由2DDTCWT 和DFB 级联而成的,因此也是完美重建的。
2DDTCWT 的冗余度42221===D R [9],DFB 的冗余度12=R ,故CCT 的冗余度121==R R R 。
定理2:如果CCT 中2DDTCWT 和DFB 都采用正交滤波器,则它是一个紧框架且其框架边界为1。
证明:如果2DDTCWT 采用正交滤波器,它将是一个紧框架且其框架边界为1[10],即:
∑=+=J j j J b a a 1
2222220|||||||||||| (3) 类似的,如果构成DFB 的滤波器均为正交滤波器,则:
∑−==
121
22,22||||||||j l j k j j c b (4) 将上面两式合并,则有:
第36卷第10期 陈新武 等:基于复轮廓波变换的图像消噪
113∑∑==−+=J j j k j J j l c a a 121
22,222
201|||||||||||| (5) 也就是说,CCT 具有保范性,它是一个紧框架且其框架边界为1。
定理3:对于n ∈Γ,假设),0(~2σN x ,框架运算符CCT 使得投影][n P x 满足:16/}|][{|22σ=n P E x 。
证明: )},~][(),~][{(|}][{|*∑∑∈∈〉〈〉〈=Γ
l n l Γp n p l p E n P E φφφφx x x
由于 ),0(~2σN x ,][]}[][{2*l p l x p x E −=δσ
因此 A C A n P E n Γp n p 222222
2|||||
,~|}|][{|σφσφφσ=≤〉〈=∑∈x 又从定理1知道,冗余度R=4, C 2=1,所以 16
4}|][{|2
222σσ==n P E x (6) 运用几乎完全相同的证明方法,可以得到对于第一代轮廓波变换而言,有: 169)3/4(}|][{|2
22
2σσ==′n P E x (7) 因此,CCT 能够在变换域上减弱白噪声的能量,它更容易区分噪声和信号,对图像消噪很有利。
定理4:在采用线性滤波器的情况下,CCT 是线性移不变非正交变换。
证明:CCT 包括两个部分:2DDTCWT 和DFB 。
即使采用正交滤波器,2DDTCWT 也不正交,而此时DFB 正交,它们的组合必不正交,因此CCT 为非正交变换。
记2DDTCWT 的尺度函数为:)22(2)(1
1,,j
j d j d d p m x x m −=−γγ,一个小的像素位移量m ′使得: )2()2
22(2)2)(2(2)(1,,111,,m x m m x m m x x m m m m ′−=′−−=′+−=′+−−′+j d d p j j j d j j j
d j d d p γγγγ (8) 因此,CCT 子带可以通过将式(8)直接代入式(2)得到: )2()2(][)(][)(,1,,,1,,1,,,1,,,22n x n x m x n m x m m Ζm Ζj j j j j j j
l k j l d d p k l k j d d p m l k d d p m l k l k l d d p m k S S g S g −=−=−=
∑∑∈∈μγγμ (9) 即,子空间j
l k j W ,是由同一个函数及其平移而生成的:
2,,,)2()(Ζx W S f W f j
j
j
l
k j l j k j l k j ∈∈−⇔∈,x x (10) 所以它能够满足移不变特性。
另外,CCT 的基本组成部分只有两种基本结构:即采样和卷积,这两种运算都是线性运算。
整个CCT 可以建模为一个单输入多输出系统。
如果CCT 中所有的滤波器都是线性滤波器,则2DDTCWT 的DFB 都是线性的,因而CCT 是线性的,即CCT 是线性变换。
所以,CCT 是线性移不变非正交变换。
推论1:从定理4可知,一幅高斯白噪声),0(~2σN x 图像,在采用线性滤波器的情况下,经过CCT 分解之后,每个子带的信号都是高斯的,具有零均值和不同的方差,即对于s 尺度,w 方向,有:w s PX ,}{ ),0(~22,σw s k N 。
由推论1可知,只要求得2,w s k ,即可对σ 进行修正,得到合适的门限值,以便对CCT 变换域系数进行 阈值化处理,进而进行CCT 逆变换得到去噪后的图像。
3 基于复轮廓变换的消噪算法
此种消噪方法可以按照以下5个步骤来实现。
Step 1:将含噪图像进行复轮廓波变换,得到各方向子带;
Step 2:对于标准高斯白噪声图像,采用与Step 1相同的参数,进行10次复轮廓波变换,采用式(11),得到每个复系数位置上的噪声估计系数:
光电工程 2009年10月
114 ∑=+−=101
2i 2i i i )|),,,2,1,,2,(||),,,2,1,,1,((|11),,2,1,,(n n j i d d d s f n j i d d d s f n j i d d d s th (11) 其中:)(•f 表示变换域系数;s 表示尺度编号;p 表示实部或者虚部,在该变换结构中,p=1表示实部, p=2表示虚部;}2,1{∈d ,}3,2,1{1∈d ,}2,,1{2j l d ∈是三个方向索引,l 表示DFB 的级数,j i ,表示子
带上系数的位置;n i 表示迭代的次数。
Step 3:确定每个系数位置上的门限。
此处σ 认为已知,按照式(12)确定各个复数系数位置上的门限:
σn j i d d d s th j i d d d s thr ×=),,2,1,,(),,2,1,,( (12)
在最细节尺度上(1=s ),取4=n ;在其它尺度上,取3=n 。
Step 4:对于各子带系数进行硬阈值处理:首先用式(13)将相关子带组织为复数形式,然后用式(14)对复数模值进行硬阈值处理,之后用式(15)和式(16)分离出实部和虚部。
),,2,1,,2,(1),,2,1,,1,(),,2,1,,(j i d d d s y j i d d d s y j i d d d s y −+= (13)
⎩
⎨⎧>=else 0),,2,1,,(|),,2,1,,(|if ),,2,1,,(),,2,1,,(,,j i d d d s thr j i d d d s y j i d d d s y j i d d d s yth (14) )),,2,1,,(Re(),,2,1,,1,(j i d d d s yth j i d d d s yth = (15)
)),,2,1,,(Im(),,2,1,,2,(j i d d d s yth j i d d d s yth = (16)
Step 5:进行反变换,将处理过的系数反变换到空域。
4 实验结果
实验对象如图1所示。
表1给出了在不同的噪声强度下(从10到100)得到的消噪结果。
表中I n 表示噪
声强度,
MCT 表示基于第一代轮廓波变换和蒙特卡罗阈值法的消噪结果,MCCT1表示采用CCT 实数数据结构的消噪结果,MCCT2表示采用CCT 复数数据结构的消噪结果。
在实数轮廓波变换中,方向滤波器选用“pkva”,拉普拉斯金字塔滤波器选用“9-7”双正交小波,分解
结构参数选择为[0, 0, 4, 4, 5];
在CCT 变换中,DFB 滤波器取为“pkva”,方向数结构为[3 2 2 1],2DDTCWT 的滤波器取“farras”,分解尺度数选取为4。
比较表1中的数据可以看出:相对于基本轮
廓波变换,复数轮廓波变换消噪具有更高的峰值
信噪比,平均高出1.6~2 dB ,
在噪声很强的时候,复轮廓波变换具有大的优势。
相对于实数数据结
构的CCT 消噪算法,本文所提出的复系数CCT
算法也具有一定的优势,而且,随着噪声强度的
增大,优势更加明显(当噪声强度达到100时,可
达1 dB 以上)。
(a) Lena
(b) Barbara (c) Peppers 图1 实验对象 Fig.1 Experimental subjects
表1 不同噪声强度下三种轮廓波消噪结果比较(PSNR /dB)
Table 1 Comparison of three kinds of contourlet image denoising results under different noise level (PSNR /dB) Lena Barbara Peppers
I n MCT MCCT1 MCCT2 MCT MCCT1 MCCT2 MCT MCCT1 MCCT2
10 31.64 33.14 33.21 29.23 31.23 31.22 31.02 32.41 32.42
20 28.57 30.08 30.16 26.00 27.67 27.69 28.22 29.81 29.90
30 26.80 28.03 28.38 24.28 25.67 25.74 26.49 28.08 28.21
40 25.61 26.79 27.20 23.09 24.34 24.44 25.22 26.71 26.99
50 24.6 26.06 26.32 22.34 23.36 23.53 24.27 25.77 25.96
60 23.69 25.24 25.61 21.61 22.35 22.89 23.38 24.86 25.23
70 23.00 24.54 25.05 20.92 21.77 22.39 22.7 24.28 24.70
80 22.28 23.47 24.54 20.50 21.29 21.99 22.15 23.62 24.23
90 21.84 23.19 24.22 20.03 21.09 21.76 21.48 23.06 23.93
100 21.14 22.38 23.89 19.56 20.55 21.48 21.04 22.56 23.57
第36卷第10期 陈新武 等:基于复轮廓波变换的图像消噪 115
图2给出了采用实轮廓波变换和复轮廓波变换对于Peppers 在噪声强度为30的情况下的消噪效果。
为了突出消噪效果,此处只给出了消噪后图像的一小部分,从图中可以看出,相对于MCT 和MCCT 方法而言,MCCT2消噪之后的图像不仅光滑而且具有最少的人造纹理,并具有清晰的图像边缘。
也就是说,它不仅使得纹理信息更多地得以保存,而且保持了更清晰地光滑区域不受人造纹理的降质。
5 总 结
本文分析了复轮廓波变换与消噪相关的若干性质,论证了该变换可以有效地运用于图像消噪领域。
针对复轮廓波变换的特性,提出了一种有效地消噪方法。
对于含有高斯白噪声的自然图像进行降噪实验的结果表明,消噪效果明显好于第一代轮廓波变换和基于实数数据结构的复轮廓波消噪算法。
参考文献:
[1] Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing [M]. Orlando :Academic Press ,1999.
[2] Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets [M]. Philadelphia, PA :SIAM ,1992.
[3] Le Pennec E ,Mallat S. Sparse geometric image representations with bandelets [J]. IEEE Transactions on Image Processing
(S0041-624X),2005,14(4):423-438.
[4] Candes E J ,Donoho D L. Continuous curvelet transform :II. discretization and frames [J]. Applied and Computational
Harmonic Analysis (S1063-5203),2005,19(2):198-222.
[5] Do M N ,Vetterli M. The contourlet transform: an efficient directional multiresolution image representation [J]. IEEE
Transactions on Image Processing (S0041-624X),2005,14(12):2091-2106.
[6] Burt P J ,Adelson E H. The Laplacian pyramid as a compact image code [J]. IEEE Transactions on Communications
(S0090-6778),1983,31(4):532-540.
[7] Bamberger R H ,Smith M J T. A filter bank for the directional decomposition of images: theory and design [J]. IEEE
Transactions on Signal Processing (S1053-587X),1992,40(4):882-893.
[8] 陈新武,田金文,沈绪榜. 基于子带收敛因子阈值法的轮廓波消噪方法[J]. 光电工程,2008,35(6):63-67.
CHEN Xin-wu ,TIAN Jin-wen ,SHEN Xu-bang. Contourlet transform denoising method based on subbands convergence factor threshold [J]. O pto-Electronic Engineering ,2008,35(6):63-67.
[9] Chen D ,Li Q. The use of complex contourlet transform on fusion scheme [C]// Proceedings of World Academy of Science,
Engineering and Technology ,Prague, Czech Republic ,August 26-28, 2005:342-347.
[10] Selesnick I W ,Baraniuk R G ,Kingsbury N C. The dual-tree complex wavelet transform [J]. IEEE Signal Processing
Magazine (S0740-7647),2005,22(6):123-151.
[11] 陈新武,刘玮,田金文. 复数轮廓波变换纹理图像检索系统[J]. 光电工程,2009,36(2):110-115.
CHEN Xin-wu ,LIU Wei ,TIAN Jin-wen. Texture image retrieval system based on complex contourlet transform [J]. Opto-Electronic Engineering ,2008,36(2):110-115.
[12] DAI Shao-wei ,SUN Yan-kui ,TIAN Xiao-lin ,et al . Image denoising based on complex contourlet transform [C]// Proceedings
of International Conference on Wavelet Analysis and Pattern Recognition ,Beijing, China ,Nov 2-4, 2007,4:1742-1747. 图2 三种不同轮廓波消噪算法效果
Fig.2 Results of three different kinds of contourlet transform denoising algorithms
(a) Original image ;(b) Noisy image ;(c) Denoising result using MCT ;(d) Denoising result using MCCT1;(e) Denoising result using MCCT2
(a) (b) (c) (d) (e)。