倍角公式 ppt课件

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sinα2＝2sinα4cosα4，cosα3＝cos2α6－sin2α6.
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4．由于 sin2x＝2sinx·cosx，
从而 1±sinx＝sin2x±cos2x2，可用于无理式的化简及运算．
第三章 三角恒等变换
5．要熟悉公式的逆用．如
sin3α·cos3α
＝
1 2
sin6α.4sinα4·cosα4＝22sinα4·cosα4＝2sinα2，S
＝ 2cos2α－1
1＝－2sin2α .
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• T2α：tan2α＝
.
第三章 三角恒等变换
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第三章 三角恒等变换
重点：倍角公式的推导及应用．
难点：倍角公式及其等价变式的灵活应用．
1．在公式 S2α，C2α 中，α 是任意角，但公式 T2α 中，只
有当 α≠kπ＋2π及 α≠4π＋k2π(k∈Z)时才成立．
又 sin2x＋cos2x＝1，从而 25sin2x－5sinx－12＝0，
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解得 sinx＝45或 sinx＝－35.
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又∵x∈2π，34π，∴sinx＝45.
(2)∵x∈π2，34π，∴cosx＝－ 1－sin2x＝－ 1－452＝－35.
第三章 三角恒等变换
sin2x＝2sinxcosx＝－2245，cos2x＝2cos2x－1＝－275.
Hale Waihona Puke Baidu
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所以 cos2α＝13.
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由 2α∈(π，2π)得 sin2α＝－232，
所以
sin4α＝－4 9
2 .
第三章 三角恒等变换
• [点评] 对于给值求值问题，即由给出的
某些角的三角函数值求另外一些角的三角
函数值，关键在于“变角”，使“目标角”
变换成“已知角”．若角所在的象限没有 人
确定，则应分情况讨论．应注意公式的正
＝22ssiinnθθccoossθθ＋＋22csoins22θθ＝csoinsθθccoossθθ＋＋ssiinnθθ
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＝tanθ＝右边．
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解法二：左边＝ssiinn22θθ＋ ＋ccooss22θθ＋ ＋ssiinn22θθ＋ ＋scions22θθ－－csoins22θθ
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＝ssiinn22θθ＋＋22csoins22θθ
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∴sinx－4π＝ 1－cos2x－π4＝7102.
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sinx＝sinx－4π＋4π＝sinx－4πcosπ4＋cosx－π4sinπ4
＝7102× 22＋102× 22＝45.
第三章 三角恒等变换
解法二：由题设得 22cosx＋ 22sinx＝102，
∴cosx＋sinx＝15，
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第三章 三角恒等变换
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• 3．2 倍角公式和半角公式
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第三章 三角恒等变换
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• 3.2.1 倍 角 公 式
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第三章 三角恒等变换
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第三章 三角恒等变换
• 二倍角的正弦、余弦、正切公式：
• S2α：sin2α＝ 2sinαcosα .
• C2α：cos2α＝ cos2α－sin2α
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2．要理解倍角公式与两角和(差)公式的内在关系，他 学
们的内在联系如下：
第三章 三角恒等变换
3．倍角公式不仅用于 2α 作为 α 的 2 倍的情况，还可以
运用诸如将 4α 作为 2α 的 2 倍，将 α 作为α2的 2 倍，将α2作为
α4的 2 倍，将 3α 作为32α的 2 倍，将α3作为α6的 2 倍等等，如
＝22csoinsθθssiinnθθ＋＋ccoossθθ＝tanθ＝右边．
第三章 三角恒等变换
解法三：左边＝11＋ ＋ssiinn22θθ－ ＋ccooss22θθ
＝ssiinn22θθ＋ ＋ccooss22θθ＋ ＋22ssiinnθθ··ccoossθθ－ ＋ccooss22θθ－ －ssiinn22θθ
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C2α 公式的不同形式的逆用，在三角函数的化简、求值、 证明中应用广泛．
第三章 三角恒等变换
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第三章 三角恒等变换
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第三章 三角恒等变换
[解析] 解法一：因为 sin4π＋α·sinπ4－α
＝sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，
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所以 sinπ2＋2α＝13，即 cos2α＝13.
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＝ssiinnθθ＋ ＋ccoossθθ22－ ＋ccoossθθ＋ ＋ssiinnθθccoossθθ－ －ssiinnθθ
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1－2tatann4204°0°＝tan80°，cos22α－sin22α＝cos4α.
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第三章 三角恒等变换
• 6．要注意二倍角余弦公式的原形、变形及
应用．cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1 人
－2sin2α，应根据不同的函数名称，选取不
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同的形式．另外公式的双向应用分别起到
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缩角升幂、扩角降幂的作用．
第三章 三角恒等变换
①1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2(升幂公式)．
②cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α(降幂公式)．
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③1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α 经常用于消除
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式子中的“1”．
∴sin2x＋3π＝sin2xcosπ3＋cos2xsin3π
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＝－24＋507
3 .
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第三章 三角恒等变换
• [分析] 巧妙利用“1”的变形，或变形运
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用公式C(2α)求解．
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第三章 三角恒等变换
[解析] 解法一：左边＝ssiinn22θθ＋＋11－＋ccooss22θθ
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因为 α∈2π，π，则 2α∈(π，2π)，
所以 sin2α＝－ 1－cos22α＝－23 2，
于是
sin4α＝2sin2αcos2α＝－4 9
2 .
第三章 三角恒等变换
解法二：由条件得 22(cosα＋sinα)·22(cosα－sinα)＝16，
即12(cos2α－sin2α)＝16，
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用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，
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还要掌握拆角、拼角等技巧．
第三章 三角恒等变换
已知 cosx－π4＝102，x∈2π，34π.
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(1)求 sinx 的值；
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(2)求 sin2x＋π3的值．
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第三章 三角恒等变换
[解析] (1)解法一：∵x∈π2，34π，
∴x－4π∈π4，π2， 人