静力学 第九章优秀课件

§10-2 质点的运动微分方程
1、矢量形式的质点运动微分方程：
牛顿第二定律
ma
Fi
或m
d2r dt 2
Fi
2、直角坐标轴上的投影形式：
m
d2x dt 2
Fx ,
m
d2 y dt 2
Fy ,
m
d2z dt 2
Fz
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
3、自然坐标的投影形式
ma md dvt md dt22 sF
C
F
an
a
m a m g sin m d v m g s in
dt m l d m g sin
dt
v0
W
m l d d m g sin d dt
m l d m g sin
d
m l d m g sin d
0
max
mld mgsind
0
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石
的能量，铁球应在 0 时才掉下来。求滚筒每分钟的转数
n。
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
解：研究铁球
m v2 R
FN
mg cos
其中
v nR
30
当 0 , F时N ， 0解得
n 9.549
g R
cos
0
当 n 9.54时9 ，g球不脱离筒壁。 R
v0
W
ma mgsin
man
mv2
Fmgcos
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
C
man
mv2 l
Fmgcos
F
an
a
v2 F m(
gcos
l
3、结果分析：
v0
W
Fmax出现在刹车的瞬间：
Fmax
m(v02 l
g
max出现什么位置？ 由下面的方程确定
ma mgsin
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
例（习题9-3） 半径为R 的偏心轮绕轴O以匀角速度ω 转动，推 动导板沿铅直轨道运动，如图所示。导板顶部放有一 质量为m的 物块A，设偏心距OC = e，开始时OC 沿水平线。求：（1）物块 对导板的最大压力；（2）使物块不离开导板的ω 最大值。
y
a
mg
A
h
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
解：以小球为研究对象
在法向： m v2 F sin
R
其中 R l sin
在切向： 在 b 向：
m0 0
F cos mg 0
F mg 1.96N
cos
v
Fl sin2
m
2.1m s
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
例9-4 粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平轴匀速转动，
aB
3、列滑块A、B的运动微分方程：
FBA
mg
B
m aAm gF A Bsin (1)
maBFBAcos
(2)
由于杆重不计，有FAB = FBA
NB 问题：AB是二力杆吗
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
可用基点法求A、B两点加速度关系：
aA
a B a A a B A a A a B t A a B n A a A a B t A
第三定律 (作用与反作用定律) ：物体间的作用力与反作用力 总是成对出现，大小相等,方向相反, 沿着同一直线,且同时分 别作用在这两个物体上。
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。其适用 范围：物体尺寸要远远大于粒子；物体速度要远远小于光速。
必须指出的是：质点受力与坐标系无关，但质点的加速度与 坐标系的选择有关，牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用 的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性参考系。
例(习题9-18)质量皆为m 的A、B 两物块以无重杆光滑铰接，置
于光滑的水平面及铅垂面上，如图所示。当θ = 60°时自由释放，
求此瞬时杆AB所受的力。
解: 1、以滑块A、B为研究对象，画受
NA
aA
mg A
FAB
力图：
2、AB作平面运动，初瞬时滑块A、
B的速度为零，杆AB 角速度为零。 A 的加速度向下，B的加速度向右如图
d（mv） m dv ma F 即ma F
dt
dt
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
2°质量m 随时间变化时动力
学的第二定律要比牛顿第二定 律应用范围大：
d（mv） dm v m dv F
dt dt
dt
上式可以用来处理变质量问题：
例如航天发射时火箭的燃料不断 消耗的，因此系统的质量是变化 的。
man
mv2
(ds)2 m dt
Fn
0 Fb
4 、质点动力学的两类基本问题 第一类问题：已知运动求力. 第二类问题：已知力求运动.
混合问题：第一类与第二类问题的混合.
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
例9-3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg 的小球系于长 l=0.3 m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成 60 角。如小 球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度 v 与绳的张力。
速v0运动，因为某种原因急刹车时，小车下的吊物由于惯性向
上摆动，吊绳长5m,求（1）刹车时绳子的最大张力；（2）最
大摆角。
解:1、研究对象：重物。
C
F
an
a
2、运动分析：刹车后，小车不 动，重物由于惯性向上摆动，运动 轨迹为圆弧。加速度为切向与法向 两部分。画受力图、加速度图：
3、列重物的运动微分方程：
静力学 第九章
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
§10-1 动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律):不受力作用的质点，将保持静止或作匀 速直线运动。
1°确实不受力任何力的作用；
2°作用在质点上力系的合力为零。
第二定律（力与加速度之间关系定律） d（mv） F dt
1°质量m 不随时间变化时动力学的第二定律就是牛顿第二 定律：
F Nm gm e2sint
1°物块对导板的最大压力为
FNm axmgme2
最大压力 出现在什 么位置
2°若物块刚好离开导板，则应有
什么位置 时物块可Fra bibliotekFN min
能离开板
要物块不离开导板 mgme2 0
2 g 或者 g
e
e
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
例（习题9-7） 小车连同吊起的重物一起在桥式吊车梁上已匀
FN
解:1、研究物块A，建立
图示直角坐标系 Oxy， 画受力图。
2、运动分析： 导板 与物块均沿y 轴线作直线 运动.
其运动规律为 yA = h + R + esinωt
x
d2y a dt2
e2sint
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
a mg A
FN
3、由质点运动微分方程有：
m a m e2s int F N m g