《管理运筹学》茹少峰课后答案
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�1 �
解�由题意知�A= � 1
1
1�
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2
4
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=�
p 1,
p
2,
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3
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��
b= � 6 �
c=�3�1�3�
�1� B 1 =� p 1 , p 2 ��� B 1 � ≠0� B 1 是基� x 1 � x 2 是基变量� x 3 是非基变量�令
� x1 �
��
� x2 �
x 3 =0�得 x 1 =-2� x 2 =4
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即�
x3
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=�
�
2
,
4
,
0
�
�
为基解�但不是基本可行解。
�2� B 2 =� p 1 , p 3 ��� B 2 � ≠0� B 2 是基� x 1 � x 3 是基变量� x 2 是非基变量。令
� x1 �
�2� �3�
x2
=0�得
x1
=2/3� x 3
� � �
=3/4�即 �
x2 x3
� � � �
工厂生产计划的线性规划模型。
表 2-8 产品使用的原材料、加工工序、资源限制、成本
产品 A 产品 B 产品 C 资源限制 工时或原材料成本
工序 1
2
1
Fra Baidu bibliotek
2
4600
15
工序 2
3
1
1
4000
10
工序 3
2
3
2
6000
10
原料 1
3
2
4
10000
20
原料 2
4
3
2
8000
40
其他成本
10
10
10
解 设工厂 5 月份为完成合同甲生产 x 1 件 A 产品�为完成合同乙生产 x 2 件 B 产品�为
�
x3
�
2000
�� x i
�
0,i
�
1,2
,3;
x
' j
�
0,
j
�
1,2 ,3
1�求下列线性规划问题的所有基解、基可行解、最优解
max z � 3 x 1 � x 2 � 3 x 3
� x1 � x 2 � x3 � 2 � st. � x 1 � 2 x 2 � 4 x 3 � 6
� �
x1, x 2 , x3 � 0
max
Z
� 100
y 10
� 100
y 11
� 115
y 12
�
90
x 10
�
95
x 11
�
98
x 12
� � � � � � �� st .� � � � � x 12 � � ��
90
x 10
�
95
x 11
�
98
x 12
� 80000
2000
�
x 10
� 10000
x 11
�
2000
�
x 10
�
� 5 x 11 � � 5 x 12
� 2 x 21 � 2 x 22
� x 31 � x 32
� 14 � 10
� 5 x 13 � 2 x 23 � x 33 � 20 � � 5 x 14 � 2 x 24 � x 34 � 8 st .� � x 11 � x 12 � x 13 � x 14 � 9
1�用图解法求解两个变量线性规划问题的最优解和最优值。
max z � 2 x 1 � 3 x 2
� x1 � 2 x 2 � 6 � st. � 5 x 1 � 3 x 2 � 15
� �
x1, x 2 � 0
x2
最优解��12/7�15/7� 最优值�69/7
x1
2�用图解法求解以下线性规划问题�并指出哪个问题有惟一解、无穷多最优解、无界 解或无可行解
� ��
=�
0
4 3
� �� �
为基解�同时为基本可行解�
zmax=(2/3)*3+0+4/3*3=6。
�3� B 3 � ( p 2 , p 3 ) �� B 3 � ≠0� B 3 是基� x 2 � x 3 是基变量� x 1 是非基变量�令
� ��
3
.
05
st .� 1000
x2 �
� 20000
x
' 1
�
x1
�
� 2 . 85 x 1 � 3 . 10
x
' 2
�
x2
�
5000
x
' 1
� � 2 . 90
x3
�
20000
�
2 . 85
x1
�
3 . 10
x
' 1
�
3 . 25
x
' 2
� 1000 �
�
x
' 1
�
x1
�
x
' 2
�
x2
�
x
' 3
� �
x1 , x 2 � 0
x2
x1
无可行解
3�某公司从中心制造地点向分别位于城区北、东、南、西方向的分配点运送材料。该 公司有 26 辆卡车�用于从制造地点向分配点运送材料。其中有 9 辆�每辆能装 5 吨的大型 卡车�12 辆每辆能装 2 吨的中型卡车和 5 辆每辆能装 1 吨的小型卡车。北、东、南、西四 个点分别需要材料 14 吨、10 吨、20 吨、8 吨。每辆卡车向各分配点送材料一次的费用如表 2-7 所示。建立运送材料总费用最小的线性规划模型。
表 2-11 第一季度杂粮价格表
进货价/元 出货价/元
1 月 2.85
3.10
2 月 3.05
3.25
3 月 2.90
2.95
如果买进的杂粮当月到货�但需到下月才能卖出�且规定―货到付款‖。公司希望本季度
末库存为 2000 担�建立该问题的线性规划模型使三个月总的获利最大。
解
设一月份买入 x 1
担�卖出
解得� x =2, y � 3,即� Zmin=25 x +22 y =25 � 2+22 � 3=116 因此�雇佣 A 工人 2 天�B 工人 3 天。
8�某外贸公司专门经营某种杂粮的批发业务。公司现有库容 5000 担的仓库。1 月 1 日� 公司拥有库存 1000 担杂粮�并有资金 20000 元。估计第一季度杂粮价格如表 2-11 所示。
解 设各送这 5 钟饲料 x 1 � x 2 � x 3 � x 4 � x 5 kg。
min Z � 0 . 2 x 1 � 0 . 7 x 2 � 0 . 4 x 3 � 0 . 3 x 4 � 0 . 8 x 5
� 3 x 1 � 2 x 2 � x 3 � 6 x 4 � 18 x 5 � 700
y 10
� 10000
x 12 � x 11 � 2000 � x 10 � y 10 � y 11 � 10000
y 10 � 2000 � x 10
y 11
�
x 11
�
2000
�x �y
10
10
y 12
�
x 12
�
x 11
� 2000
�x �y �y
10
10
11
�
x 11
�
2000
�
x 10
�
y 10
x
' 1
担�二月份买入
x
2
担�卖出
x
' 2
担�三月份买入 x 3 担�
卖出
x
' 3
担。
max
Z
�
3 . 10
x
' 1
�
2 . 85
x1
�
3 . 25
x
' 2
� 3 . 05 x 2
� 2 . 95
x
' 3
�
2 . 90
x3
� 2 . 85 x 1 � 20000
�
� 1000
�
x
' 1
�
x1
�
5000
min Z � 25 x � 22 y
�
x� y�5
� �
3 x � 2 y � 12
st .�
�
3 x � 6 y � 18
�� x ; y � 0 且 x , y 为整数
y 3x+2y=12
6
x+y=5
5
3x+6y=18
3
A
0
4
5
6
x
由图知 A 点为最优解�联立方程�
� 3 x � 2 y � 12 � �x � y � 5
� 2 x 1 � x 2 � x 3 � 2 x 4 � 4600
� �3 x1
�
x2
�
x3
�
2 x4
�
4000
� 2 x 1 � 3 x 2 � 3 x 3 � 2 x 4 � 6000 � � 3 x 1 � 2 ( x 2 � x 3 ) � 4 x 4 � 10000 � st .� 4 x 1 � 3 ( x 2 � x 3 ) � 2 x 4 � 8000
�0 �
�
x1
� 1000
,
� 0 � x 2 � 500 ,
� �0
�
x3
�
600
,
�� 0 � x 4 � 600 ,
5�某公司从事某种商品的经营�现欲制定本年度 10 至 12 月的进货及销售计划。
已知该种商品的初始库存量为 2000 件�公司仓库最多可存放 10000 件�公司拥有的经
营资金 80 万元�据预测�10 至 12 月的进货及销售价格如表 2-9 所示。若每个月仅在 1
min z � 6 x 1 � 4 x 2
� 2 x1 � x 2 � 1 � st. � 3 x 1 � 4 x 2 � 3
� �
x1 , x 2 � 0
x2
最优解��1/5,3/5�
最优值� 3.6
1
3/4
0
1/2
1
x1
max z � 4 x 1 � 8 x 2
� 2 x 1 � 2 x 2 � 10 � st. � � x 1 � x 2 � 8
�
y 11
�
y 12
� 3000
x i � 0 , i � 10 ,11 ,12
y i � 0 , i � 10 ,11 ,12
资金限制 库容限制 库容限制 库容限制 销量限制 销量限制 销量限制 年底存量限制
6�某饲养场饲养动物出售�设每头动物每天至少需 700g 蛋白质、30g 矿物质、100mg
� x 21 � x 22 � x 23 � x 24 � 12 � � x 31 � x 32 � x 33 � x 34 � 5
� �
x
ij
�
0 , i, j � 1,2 ,3,4
4�某工厂生产 A、B、C 三种产品�现根据合同及生产状况制定 5 月份的生产计划。
已知合同甲为�A 产品 1000 件�每件价格为 500 元�违约金为 100 元/每件�合同乙�B 产
号进货 1 次�且要求年底时商品存量达到 3000 件�在以上条件下�建立该问题的线性
规划模型�使公司获得最大利润��注�不考虑库存费用�
表 2-9 进货和销售价格
月份
10 11 12
进货价格/�元/件� 90 95 98
销售价格/�元/件� 100 100 115
解 x i , i � 10 ,11 ,12 �为每月购进的货物� y i , i � 10 ,11 ,12 为每月销售的货物。
品 500 件�每件价格为 400 元�违约金为 120 元/每件�合同丙为�B 产品 600 件�每件价
格为 420 元�违约金为 130 元/每件�C 产品 600 件�价格 400 元/每件�违约金为 90 元/每
件。有关各产品生产过程所需工时以及原材料的情况如表 2-8 所示。试以利润为目标建立该
完成合同丙生产 x 3 件 B 产品� x 4 件 C 产品。
max Z � 500 x 1 � (1000 � x 1 ) � 400 x 2 � ( 500 � x 2 ) � 120 � 420 x 3 � ( 600 � x 3 ) � 130 � 400 x 4 � ( 600 � x 4 ) � 90 � ( 2 � 15 � 3 � 10 � 2 � 10 � 3 � 20 � 4 � 40 � 10 ) x 1 � ( 15 � 10 � 3 � 10 � 20 � 2 � 3 � 40 � 10 ) � ( x 2 � x 3 ) � ( 2 � 15 � 10 � 2 � 20 � 4 � 20 � 2 � 40 � 10 ) x 4 � 290 x 1 � 295 x 2 � 325 x 3 � 260 x 4 � 292000
表 2-7 车辆运送一次的费用
北
东
南
西
大
80
63
92
75
中
50
60
55
42
小
20
15
38
22
解 设大、中、小型车分别用 i 表示�则 i � 1, 2 ,3 �东、南、西、北四个分点分别用 j 表
示�则 j � 1 , 2 ,3 , 4 �向 j 方向发出的 i 型车数量为 x ij 。
min Z � 80 x 11 � 63 x 12 � 92 x 13 � 75 x 14 � 50 x 21 � 60 x 22 � 55 x 23 � 42 x 24 � 20 x 31 � 15 x 32 � 38 x 33 � 22 x 34
� � x1
�
0 .5 x 2
�
0 .2 x 3
�
2 x4
�
0 .5 x 5
�
30
st . �
� 0 . 5 x 1 � x 2 � 0 . 2 x 3 � 2 x 4 � 0 . 8 x 5 � 100
�� x i , i � 1 , 2 ,3 , 4 ,5
7�某一企业家需要找人清理 5 间会议室、12 张桌子和 18 个货架。今有两个临时工 A
维生素。现有五种饲料可供选用�各种饲料每公斤营养成分含量单价如表 2-10 所示。
表 2-10 饲料所含的营养成分及价格
饲料
蛋白质/g
矿物质/g
维生素/g
价格/�元· kg
�1
�
1
3
1
0.5
0.2
2
2
0.5
1.0
0.7
3
1
0.2
0.2
0.4
4
6
2
2
0.3
5
18
0.5
0.8
0.8
求这个问题的规划模型�使既满足动物生长的需要�又使费用最小的选用饲料的方案。
和 B 可供该企业家雇佣。A 一天可清理 1 间会议室、3 张桌子与 3 个货架�而 B 一天可清
理 1 间会议室、2 张桌子与 6 个货架。A 的工资每天 25 元�B 每天 22 元。为了使成本最低�
应雇佣 A 和 B 各多少天��用线性规划图解法求解�
解�设雇佣 A 和 B 分别为 x , y 天