2013天津大学工程硕士工程数学复习题纲
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第四章
掌握重点:方阵范数及谱值的元素 1),||A||F =()
1/2
2ij
a ∑∑即矩阵中每个元素取模或者绝对值,然后相加,之后再开根号;
2),||A||1=1
1max n
ij i j n
a -≤≤∑ 即矩阵中每列的元素取模,然后找最大的
3),||A||∞=
即矩阵中每行的元素取模,然后找最大的
4),||A||2=
()H
A A
5),ρ(A)=max{|λi |} 即如果求该式结果,需要计算特征值
1,矩阵A=11021120i i -⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
则||A||F =||A||1=5 ||A||∞=3 ||A||1来说,分别计算各列元素模的和,找最大的:01
i =2,122
=5(max),
110
i -
们别说复数的取模不会啊 !!
||A||∞来说,分别计算各行元素模的和,找对最大的:11i -=3;
021i -
120
=3 (max)
||A||F 所有元素都取模平方,
=
2,矩阵A=1212⎡⎤⎢
⎥-⎣⎦
则ρ(A)=1
2+,||A||2解析:E A λ-=121
4λλ--⎡⎤⎢
⎥+⎣⎦=λ2
+2λ-4=0;分解因式得λ
又因为取得数值要取模,所以答案中为正。
第五章
掌握重点:p102,例5.1 1,A(t)=201t t ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦则求导10()02dA t t dt ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
P105 例5.2,
2,f(x)=21332
1233sinx x x x e x x ⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦
求'
()f x 解:思路:按照分别对x 1,x 2,x 3求导,在求导过程中,要把其他元素看成常数处理,生成一个矩阵形式.
'()f x =2
2
3
2
2
123
233032sinx cosx x x x e e x x x ⎡⎤
+⎢⎥⎣
⎦
3,设f(x)=212121x x x x x x e ⎛⎫
⎪
+ ⎪ ⎪⎝⎭ 求'()f x
解:'()f x =222
1111x x x x e
x e ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
4,关于求,,cosA,cosAt A
At
e e ,方法1,利用J 标准型;2,采用最小多项式
例5.9 A=010001254⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
求At
e
解:det(E A λ-)=10
12
5
4λ
λ
λ----=2(4)25λλλ--+=
∴m(λ)=(2)(1)λλ--或2
(2)(1)λλ--
将(2)(1)λλ--进行检验得(只有使m(A)=0的特征根才是最小多项式)
322222
452
(441)2
((2)1)2(2)2(2)[(2)1](2)(1)λλλλλλλλλλλλλλλλ-+-=-++-=-+-=-+-=--+=--
2()(2)()0m A A E A E λλλ=--≠∴最小多项式m()=(-2)(-1)
(注:最小多项式应该为0化多项式) 所以该多项式的次数deg(m(λ))=3;
设2012()()()()()At f At e a t E a t A a t A T At ==++=则任意2次多项式T(t λ)=a 0(t)+a 1(t)λ+a 2(t)2λ使得()()t T t f t e λλλ==且()T t λ与t e λ在矩阵A 上有相同的ρ谱值
2012
012
''1
2124(2)(2)(1)(1)2(1)(1)t
t
t t a t a t a t T t f t e a t a t a t T t f t e a t a t T t f t e te λλ=⎧++===⎪⎪++===⎨⎪+====⎪⎩
解的202122
2(32)2(1)t t
t t t t a t te e a t t e e a t t e e ⎧=-+⎪
=+-⎨⎪=-++⎩
所以2012()()()()At
e
T At a t E a t A a t A ==++
代入各解得---略(课本P126)
例 A=200123401⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
求①A 的最小多项式②Ax e
解det(E A λ-)=2
100
1
2
34
1
λλλ-------=2(2)(1)λλ--
∴ m(λ)=(2)(1)λλ--或2
(2)(1)λλ--
m(A)=(A-2E)(A-E)≠0
∴m(λ)=2
(2)(1)λλ--
任意2次多项式T(t λ)=a 0(t)+a 1(t)λ+a 2(t)2λ使得()()t T t f t e λλλ=
=且()T t λ与t e λ在矩
阵A 上有相同的ρ谱值