归纳二重积分的计算方法
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， ，
于是有
类似地，若 平面上的圆 常数与 的边界多交于两点，则 必可表示成
， ，
所以
.
（ii）若原点为 的内点， 的边界的极坐标方程为 ，则 可表示成 ， .
所以
.
(iii)若原点 在 的边界上,则 为 , ,
于是
例1 计算 ,其中 为圆域: .
解利用极坐标变换,由公式得
.
与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：
2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算
型区域:
型区域:
定理:若 在 区域 上连续,其中 , 在 上连续,则
即二重积分可化为先对 ,后对 的累次积分.
同理在上述条件下,若区域为 型,有
例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积 .
解：设圆柱底面半径为 ,两个圆柱方程为
与 .
只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积.第一卦限部分的立体式以 为曲顶,以四分之一圆域 :
２.７１积分区域关于坐标轴对称
性质１ 若 在区域 内可积，且区域 关于 轴（或 轴）对称，则二重积分满足下列性质：
其中 为区域 被 轴（或 轴）所分割的两个对称子域之一．
例 计算 ，其中 是由 所围成的闭区域．
解析 由于积分区域 关于 轴＼ 轴均对称性，只需考虑被积函数 关于 或 的奇偶性．易见， 关于 或 既非奇函数，也非偶函数．若记 ， ，则 且 为 的奇函数， 为 的奇函数．由此由性质１，有 ，
ຫໍສະໝຸດ Baidu， ，
所以
2.3 用极坐标计算二重积分
定理:设 在有界闭域 上可积,且在极坐标变换 ： ， 下， 平面上有界闭区域 与 平面上区域 对应，则成立
．
其中 ．
当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为 时，采用该极坐标变换．
二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：
（i）若原点 ，且 平面上射线 常数与 边界至多交与两点，则 必可表示成
1.预备知识
1.1二重积分的定义
设 是定义在可求面积的有界区域 上的函数. 是一个确定的数,若对任给的正数 ,总存在某个正数 ,使对于 的任意分割 ,当它的细度 时,属于 的所有积分和都有
,
则称 在 上可积,数 称为函数 在 上的二重积分,记作
,
其中 称为二重积分的被积函数, 称为积分变量, 称为积分区域.
归纳二重积分的计算方法
摘要：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.
关键词：函数极限；计算方法；洛必达法则;四则运算
前言
二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.
， ，
根据平行截面面积为已知的立体体积公式有
2.5 积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算
２.５１利用变量代换计算
设 为有界闭域，它的边界曲线， 且 ，当 时， ；当 时， 。设 在 上连续，且存在 ， 使得 ，则
２.５２利用格林公式计算
定理 若函数 ， 在闭区域 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有
故有
２.７２积分区域关于某直线 对称
性质２若 在区域 内可积，且区域 关于 对称，则二重积分满足下列性质：
其中 为区域 被 所分割的两个对称子域之一．
例 求，其中 由直线 ， ， 围成．
解析 对任意 ，有 ．而当 时， ．当 时， ．故作直线 ： ，把 分成 和 两部分，而 和 关于直线 对称．又 关于直线 偶对称．故
这里 为区域 的边界线，并取正方向．
计算步骤：
（1）构造函数 ， 使 ，但 ， 在 上应具有一阶连续偏导数；
（２）利用格林公式化曲线积分求之．
例7计算 ， 是由椭圆 ， 所围成．
解法一（利用变量代换）设 为 在第一象限，则
解法二（利用格林公式）令 ， ，则 ， ．
2.7积分区域具有对称性的二重积分的简便算法
为底的曲顶柱体,所以
于是 .
另外,一般常见的区域可分解为有限个 型或 型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质1.23求得即可.
2.2二重积分的变量变换公式
定理:设 在有界闭域 上可积,变换 : , 将平面 由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 平面上的闭区域 ,函数 , 在 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
： ， ，
．
如求椭球体 的体积时，就需此种变换．
2.4利用二重积分的几何意义求其积分
当 时，二重积分 在几何上就表示以 为曲顶， 为底的曲顶体积．当 时，二重积分 的值就等于积分区域的面积．
例6 计算： ，其中 ： ．
解 因为被积函数 ，
所以 表示 为底的 为顶的曲顶柱体体积．
由平行 面的截面面积为
.
同理若对每个 ,积分 存在,在上述条件上可得
2.求的二重积分的几类理论依据
二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的 型\ 型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法.
2.8运用导数的定义求极限
例10 计算
思路：对具有 或 形式的极限，可由导数的定义来进行计算.
解：原式=
2.9运用定积分的定义求极限
例11 计算
思路：和式极限，利用定积分定义 求得极限.
, ,
则 .
用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化.
例1求 ,其中 是由 , , 所围区域.
解为了简化被积函数,令 , .为此作变换 : , ,则
.
即
例2 求抛物线 ， 和直线 ， 所围区域 的面积
．
解 的面积 ．
为了简化积分区域，作变换 ： ， ．它把 平面上的区域 对应到 平面上的矩形区域 ．由于
1.2二重积分的若干性质
1.21若 在区域 上可积, 为常数,则 在 上也可积,且
.
1.22若 , 在 上都可积,则 在 上也可积,且
.
1.23若 在 和 上都可积,且 与 无公共内点,则 在 上也可积,且
1.3在矩形区域上二重积分的计算定理
设 在矩形区域 上可积,且对每个 ,积分 存在,则累次积分 也存在,且
于是有
类似地，若 平面上的圆 常数与 的边界多交于两点，则 必可表示成
， ，
所以
.
（ii）若原点为 的内点， 的边界的极坐标方程为 ，则 可表示成 ， .
所以
.
(iii)若原点 在 的边界上,则 为 , ,
于是
例1 计算 ,其中 为圆域: .
解利用极坐标变换,由公式得
.
与极坐标类似，在某些时候我们可以作广义极坐标变换：
2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算
型区域:
型区域:
定理:若 在 区域 上连续,其中 , 在 上连续,则
即二重积分可化为先对 ,后对 的累次积分.
同理在上述条件下,若区域为 型,有
例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积 .
解：设圆柱底面半径为 ,两个圆柱方程为
与 .
只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积.第一卦限部分的立体式以 为曲顶,以四分之一圆域 :
２.７１积分区域关于坐标轴对称
性质１ 若 在区域 内可积，且区域 关于 轴（或 轴）对称，则二重积分满足下列性质：
其中 为区域 被 轴（或 轴）所分割的两个对称子域之一．
例 计算 ，其中 是由 所围成的闭区域．
解析 由于积分区域 关于 轴＼ 轴均对称性，只需考虑被积函数 关于 或 的奇偶性．易见， 关于 或 既非奇函数，也非偶函数．若记 ， ，则 且 为 的奇函数， 为 的奇函数．由此由性质１，有 ，
ຫໍສະໝຸດ Baidu， ，
所以
2.3 用极坐标计算二重积分
定理:设 在有界闭域 上可积,且在极坐标变换 ： ， 下， 平面上有界闭区域 与 平面上区域 对应，则成立
．
其中 ．
当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为 时，采用该极坐标变换．
二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：
（i）若原点 ，且 平面上射线 常数与 边界至多交与两点，则 必可表示成
1.预备知识
1.1二重积分的定义
设 是定义在可求面积的有界区域 上的函数. 是一个确定的数,若对任给的正数 ,总存在某个正数 ,使对于 的任意分割 ,当它的细度 时,属于 的所有积分和都有
,
则称 在 上可积,数 称为函数 在 上的二重积分,记作
,
其中 称为二重积分的被积函数, 称为积分变量, 称为积分区域.
归纳二重积分的计算方法
摘要：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限.
关键词：函数极限；计算方法；洛必达法则;四则运算
前言
二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧.
， ，
根据平行截面面积为已知的立体体积公式有
2.5 积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算
２.５１利用变量代换计算
设 为有界闭域，它的边界曲线， 且 ，当 时， ；当 时， 。设 在 上连续，且存在 ， 使得 ，则
２.５２利用格林公式计算
定理 若函数 ， 在闭区域 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有
故有
２.７２积分区域关于某直线 对称
性质２若 在区域 内可积，且区域 关于 对称，则二重积分满足下列性质：
其中 为区域 被 所分割的两个对称子域之一．
例 求，其中 由直线 ， ， 围成．
解析 对任意 ，有 ．而当 时， ．当 时， ．故作直线 ： ，把 分成 和 两部分，而 和 关于直线 对称．又 关于直线 偶对称．故
这里 为区域 的边界线，并取正方向．
计算步骤：
（1）构造函数 ， 使 ，但 ， 在 上应具有一阶连续偏导数；
（２）利用格林公式化曲线积分求之．
例7计算 ， 是由椭圆 ， 所围成．
解法一（利用变量代换）设 为 在第一象限，则
解法二（利用格林公式）令 ， ，则 ， ．
2.7积分区域具有对称性的二重积分的简便算法
为底的曲顶柱体,所以
于是 .
另外,一般常见的区域可分解为有限个 型或 型区域,用上述方法求得各个小区域上的二重积分,再根据性质1.23求得即可.
2.2二重积分的变量变换公式
定理:设 在有界闭域 上可积,变换 : , 将平面 由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 平面上的闭区域 ,函数 , 在 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
： ， ，
．
如求椭球体 的体积时，就需此种变换．
2.4利用二重积分的几何意义求其积分
当 时，二重积分 在几何上就表示以 为曲顶， 为底的曲顶体积．当 时，二重积分 的值就等于积分区域的面积．
例6 计算： ，其中 ： ．
解 因为被积函数 ，
所以 表示 为底的 为顶的曲顶柱体体积．
由平行 面的截面面积为
.
同理若对每个 ,积分 存在,在上述条件上可得
2.求的二重积分的几类理论依据
二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的 型\ 型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法.
2.8运用导数的定义求极限
例10 计算
思路：对具有 或 形式的极限，可由导数的定义来进行计算.
解：原式=
2.9运用定积分的定义求极限
例11 计算
思路：和式极限，利用定积分定义 求得极限.
, ,
则 .
用这个定理一般有两个目的,即被积函数化简单和积分区域简单化.
例1求 ,其中 是由 , , 所围区域.
解为了简化被积函数,令 , .为此作变换 : , ,则
.
即
例2 求抛物线 ， 和直线 ， 所围区域 的面积
．
解 的面积 ．
为了简化积分区域，作变换 ： ， ．它把 平面上的区域 对应到 平面上的矩形区域 ．由于
1.2二重积分的若干性质
1.21若 在区域 上可积, 为常数,则 在 上也可积,且
.
1.22若 , 在 上都可积,则 在 上也可积,且
.
1.23若 在 和 上都可积,且 与 无公共内点,则 在 上也可积,且
1.3在矩形区域上二重积分的计算定理
设 在矩形区域 上可积,且对每个 ,积分 存在,则累次积分 也存在,且