波浪理论

第6章 水波理论
据统计在海面上大约70%的时间发生海浪，海浪使舰船摇摆、击水并产生波浪增阻，波浪还会周期或随机地冲击海上钻井平台、海工结构物、海底管线、海岸堤坝和港口；另一方面，水面舰船或近水面航行体兴起的波浪将使舰船遭受兴波阻力。

因此，合理地设计和建造船舶、海洋或海岸结构物，必须考虑海浪的影响，水波理论也就成为从事上述领域的工程技术人员必须掌握的基础知识。

海洋中存在着各种各样的波动，如阵风作用的风波、船体扰动的船行波、太阳和月亮引力作用的潮汐波、海底摇荡产生的地震津波，还有压缩性引起的声波、表面张力引起的毛细波等。

这些波动形成的原因虽然不同，但是其物理本质是一样的，即恢复力与惯性力的动态平衡。

风波和船行波的恢复力是重力。

本章讨论在重力作用下具有自由面的不可压缩理想流体的波动，即与船体尺度相当的风波和船波，这种波动主要发生在水（液体）表面附近，因此称为水表面波、水波或重力波。

水波可分为线性波和非线性波，这里仅介绍线性波，重点讲述线性简谐波的数学描述、运动特性和能量概念，为进一步研究非线性波以及波浪与结构物的相互作用打下基础。

6.1 水波问题的基本方程和定解条件
6.1.1 基本方程
我们知道，重力场中处于静止状态液体的自由面必为水平面。

在某种扰动（如风压或船体压力）的作用下引起凸凹不平，其液面离开了自己的平衡位置，而重力则力图使凸起的液面回到原来的平衡位置；这时惯性的作用驱动液面再次离开平衡位置，重力又使其恢复；流体的这种往复运动以波的形式在整个自由面上传播，形成波浪。

当外界扰动停止后，水的粘性将使波浪运动衰减并逐渐消失，但这种衰减过程极其缓慢，以至于可忽略粘性影响。

即使有粘性影响，仅局限于水底面附近很薄的边界层内。

因此，在波浪理论中假定水是不可压缩的理想流体。

根据Kelvin 定理，对于不可压缩或正压的理想流体，如果质量力有势，则原来处于静止状态的水受某种扰动后的运动将永远是无旋的。

综上所述，研究水波问题基于以下基本假定：
(1) 流体是不可压缩的，在重力场中运动；
(2) 流体是理想的，忽略粘性； (3) 流体的运动无旋，存在速度势ϕ，且ϕ∇=v 。

此外，我们仅考虑波长较大（与船体尺度相
当）的波浪，不计表面张力。

取水在静止状态时的自由面为xoy 平面，z
轴垂直向上，设水底深度为h(x,y)，扰动后的自
由面或波面形状为),,(t y x z ζ=，如图6.1.1所示。

图中a 称为波幅，λ 称为波长，波面ζ的极大值称为波峰，极小值称为波谷。

对于不可压缩流体的无旋运动，存在速度势),,,(t z y x ϕ，它满足Laplace 方程
图6.1.1
0),,,(2=∇t z y x ϕ（在流体中） （6.1.1）
只要解出速度势ϕ，即得速度场ϕ∇=v ，然后根据Lagrange 方程
)(2
12t f gz V p t =+++∂∂ρϕ （6.1.2） 得到压力场。

下面给出方程（6.1.1）应满足的边界条件和初始条件。

6.1.2 边界条件及其线性化
1. 边界条件
（1）底面条件
在静止的底面),(y x h z -=上，流体不可穿透，有
0=∇⋅=∂∂ϕϕn n
（6.1.3） 式中n 为法线方向。

记底面方程为0),(=+=y x h z F ，以F F ∇∇±=n 代入上式得底面条件
)),((0y x h z z
y h y x h x -==∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂ϕϕϕ. （6.1.4） 如果底面是水平面，即const h =，则底面条件简化为 )(0h z z
-==∂∂ϕ （6.1.5）
（2）自由面运动学条件 自由面是重力场中水与空气之间的界面，它是由流体质点组成的流体面，在运动过程中自由面上的流体质点始终位于自由面上，即自由面上流体质点的法向速度与自由面本身的法向速度相同，但质点可以沿切向滑移。

记自由面方程为0),,(=-=t y x z F ς，由式（5.1.6）得自由面上的运动学条件为
)(ζζϕζϕζϕ=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂z y
y x x t z （6.1.6）
（3） 自由面动力学条件 在自由面上流体的压力const p p ==0，将其代入（6.1.2）式得自由面上的动力学条件
2011()2
p V g f t t ϕζρ∂+++=∂ （6.1.7）
令
⎰-+=t
dt t f t p 0
101)(ρϕϕ
显然v =∇=∇ϕϕ1，可将1ϕ作为原流场速度势而不影响速度场的求解。

把上式代入式（6.1.7），并略去下标“1”得自由面上的动力学条件
())(211
ζϕϕϕζ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⋅∇+∂∂-=z t g （6.1.8）
自由面边界条件式（6.1.6）及（6.1.8）是水波运动速度势在自由面),,(t y x z ς=上应满足的一般条件式。

水波动力学问题研究的未知量有速度势ϕ、压力p 和自由面形状),,(t y x ζ，由于在问题解决之前自由面函数ζ是未知的，而且自由面条件式的右端均含有非线性项，因此它们是在未知的自由面边界上满足的非线性方程，求解十分困难。

如果我们考虑微幅波（或小振幅波），则自由面边界条件可以简化。

2． 自由面条件的线性化
微幅波假定：
（1）波幅与波长及水深之比均为小量，即1<<λa ，1<<h
a （见图6.1.1）。

它表明波面ζ 偏离静水面0=z 是小量，波倾角x
∂∂ζ和y ∂∂ζ也是小量，这样就可以把在未知波面ζ=z 上满足的条件式（6.1.6）及（6.1.8）近似为在0=z 上满足。

（2） 流体质点的运动速度也是小量，即1<<∇ϕ。

由此可略去条件式（6.1.6）和（6.1.8）右端的高阶小量而只保留线性项。

基于以上假定的线性化运动学和动力学自由面条件成为 )0(=∂∂=∂∂z z t ϕζ (6.1.9) )0(1=∂∂-=z t g ϕ
ζ. (6.1.10)
联立以上两式，消去未知的ς，可得到用速度势表示的线形自由面条件
)0(022==∂∂+∂∂z z g t ϕϕ （6.1.11）
与线性自由面条件相匹配，微幅波浪中的压力分布也略去高阶项。

不失一般性，将式（6.1.2）写成
gz t
p p -∂∂-=-ϕρ0
(6.1.12)
6.1.3初始条件
由于波浪运动是非定常的，波浪运动速度势ϕ除满足上述边界条件外,还需满足初始条件。

一般地可有两种初始扰动作用引起波动：一是作用于自由面上，如阵风、船体压力面；二是作用于水中，如潜艇运动、海底地震、造波板摇荡等。

下面仅考虑前者。

在自由面上的初始扰动也可归结为二种情形。

一是给定初始波面位移),()0,,(1y x f y x =ς而初始速度为零，记),(y x f g =-ς，由式（6.1.10）知
)0,0(),(===∂∂z t y x f t ϕ (6.1.13)
二是给定静止液面上的初始速度，这相当于脉冲压力扰动的兴波问题，这时有
)0,0(),(===z t y x F ϕ （6.1.14）
当上述两种初始扰动都存在时，同时给出以上两个条件。

综上所述，线性（微幅）水波运动速度势),,,(t z y x ϕ应满足的定解条件为
)0( 0),,,(2<<-=∇z h t z y x ϕ (6.1.15)
)0( 0 22==∂∂+∂∂z z g t ϕϕ (6.1.16)
)( 0z
h z -==∂∂ϕ (6.1.17) )0,0( ),(),,(===∂∂=z t y x f t
y x F ϕϕ (6.1.18) 满足上述边界条件和初始条件的Laplace 方程的解是唯一的，它描述了给定初始条件下定深无界水域中的波动解。

解出ϕ后就求得液体的运动，再由式（6.1.10）和（6.1.12） 决定液体的自由表面形状和压力分布
如果波浪中存在其它运动物体，如船舶、潜器或海洋结构物等，则还应加上物面条件
在物面上）( bn v n
=∂∂ϕ （6.1.19） 式中bn v 为物体表面的法向运动速度。

式（6.1.15）~（6.1.19）构成了研究波—物相互作用问题的定解条件。

需要指出，在水波问题中，研究在给定初始条件下液体如何运动以及波—物之间相互作用的问题已超出本书范围，读者可阅读专门书籍。

这里只介绍周期性波动解及其运动特性，因为任何波动过程可以由这些周期性谐波叠加而成。

为了清晰的了解波动的基本特征，只考虑xoz 平面上的微幅平面波情形。

所谓平面波，是指波形具有相互平行且无限长的波峰和波谷线，也称长峰波。

如果取波峰线方向为y 轴，则所有物理量与y 无关。

下面首先寻求速度势满足Laplace 方程（6.1.15）和边界条件（6.1.16）、（6.1.17）的周期性解−−平面驻波，然后再讨论波的线性叠加−−平面进行波、波群和船
行波。

6.2 平面驻波
初始时刻自由面受扰后，在每一空间点上流体的运动是周期性变化的，因此设速度势有下列函数形式
),()cos(),,(z x t t z x φεωϕ+= (6.2.1)
式中ω称为波浪简谐运动的圆频率，代表π2秒钟振动的次数；ε称为初相位；),(z x φ是只与坐标有关的待求函数。

6.2.1 有限水深平面驻波的解
设水底深度为const h =。

显然，由（6.2.1）式所表示的ϕ已满足周期性（初始）条件，它还应当满足Laplace 方程（6.1.15）和边界条件（6.1.16）（6.1.17）。

为此，将（6.2.1）式代入可得确定φ的方程和边界条件
2222
0 (0) h z x z φφ∂∂+=-<<∂∂ (6.2.2) )0( z 2
==∂∂z g
φωφ (6.2.3) )( 0z h z -==∂∂φ (6.2.4)
这仍然是一个求解Laplace 方程解的问题。

解出φ后，ϕ自然得到。

令φ仍有可分离变量的形式
)()(),(z Z x X z x =φ (6.2.5)
将φ代入（6.2.2）式得
)
()()()( ''''z Z z Z x X x X -= 因等式左边和右边分别为x 和z 的函数，所以他们只能等于同一常数，令其为2k -，有常微分方程
0)()(
, 0)()(2''2''=-=+z Z k z Z x X k x X
这两个方程的通解为 ⎭
⎬⎫+=-=+=- e e )(sin sin cos 2121kz kz C C Z x k B kx B kx B X ξ (6.2.6)
常数B 、1C 、2C 、ξ和k 需用边界条件确定。

由底部条件（6.2.4）知
0e e 21=--kh kh k C k C
即要求
kh kh C C C C -==
e 2
,e 221 将它们代入式（6.2.6），合并常数A BC =，则式（6.2.5）式改写为 )(sin )(ch ξφ-+=x k h z k A (6.2.7)
常数k 用自由表面条件式(6.2.3) 决定，将上式代入得
kh g kh k ch sh 2ω=
或 th 2kh gk =ω (6.2.8)
这是常数k 与ω之间得关系，它表明给定常数k 也就决定了波动的圆频率ω。

将式（6.2.7）代入式（6.2.1），并令kh
ag A ch ω=，就得到了有限水深平面驻波速度势ϕ满足拉氏方程和所有边界条件的周期性特解
)cos()(sin ch )(ch εωξωϕ+-+=t x k kh
h z k ag (6.2.9) 其中a 是波幅，k 和ω由（6.2.8）式决定。

6.2.2 平面驻波的运动特征
式（6.2.9）只是一个周期性特解，由于Laplace 方程（6.1.15）和边界条件（6.1.16）（6.1.17）是线性的，周期性特解的线性叠加仍然满足Laplace 方程和边界条件，所以有限水深平面驻波的通解应是
()()()∑=+-+=N i i i i i i i i i t x k h
k h z k g a 1cos sin ch ch εωζωϕ 它可以看作是各种各样微幅驻波（基元波）的叠加。

下面讨论特解（6.2.9）代表的波浪运动，并说明描述波浪运动的几个基本参数。

不失一般性，设0,0==εξ，则特解（6.2.9）写成
t kx kh
h z k ag ωωϕcos sin ch )(ch +=
（6.2.10） 波面形状由式（6.1.10）求得 kx t a sin sin ωζ= (6.2.11)
上式亦称波形方程。

可见波面在空间上是正弦曲线，它随时间以圆频率ω在0到a 之间作周期性上下振动（见图6.2.1），a 称为振幅。

振幅a 只取决于圆频率ω和水深h 而与时间t
无关。

上下振动一次的时间
ωπτ2= （6.2.12a ） 称为波的周期。

而周期的倒数 πωτ21==
f （6.2.12b ） 称为频率，它代表每秒钟振动的次数。

波面与ox 轴的交点 k n x π=
),2,1,0( ±±=n 称为节点，两节点间的距离为
k π。

波面的最高点B 为波峰，最低点'B 为波谷，相邻两波峰（谷）间的距离
k
πλ2= （6.2.13） 称为波长。

k 称为波数，表示π2长度内波长的个数。

由于波的节点不随时间变化，整个波形不向左右传播，因此称为驻波。

由波数k 与频率ω之间的关系式（6.2.8），可知周期τ与波长λ之间的关系
λππλτh g 2th 2= （6.2.14）
驻波常常发生于有界或半无界流体域内。

例如一盛有流体的矩形容器倾斜后再迅速恢复原位，则液体呈驻波运动（见例6.1），因此在设计大型油船时，除了考虑海浪的作用（如载荷）外，还应考虑舱内油的驻波振动作用。

又如，海上传播过来的进行波遇到垂直的堤岸后，将反射回去，由于反射波的相位与来波相反，因此它与来波叠加后就会形成图6.2.1那样的驻波。

从上面的分析可以看出，我们设0=ξ相当于设坐标原点为节点，设0=ε相当于0=t 时自由面与xoy 平面重合。

如果设2
,2πεπ
ξ-==k ，这时速度势表达式（6.2.9）成为 t kx kh h z k ag ωωϕsin cos ch )(ch +-= (6.2.15)
波面为
kx t a cos cos ωζ= (6.2.16) 显然这还是一个驻波，它与前一个驻波的差别在于坐标原点左移了
41个波长。

还须指出，随着z 的增加，驻波迅速衰减，即波动仅限于水面附近区域，这是波浪运动的共同特征，因之称为水表面波。

6.2.3 无限水深平面驻波
当水深∞→h 时，kz kh
h z k e ch )(ch →+，1th →kh ，这时有限水深驻波运动的速度势（6.2.9）以及波数、园频率之间的关系式（6.2.8）简化为
图6.2.1 平面驻波
⎪⎭⎪⎬⎫=--=gk t x k ag
kz 2)cos()(sin e ωεωξωϕ (6.2.17)
可见，无限水深情况下波动沿水深方向以指数规律衰减。

如果2λ
-=z ，则
043.0e e ==-πkz ，这表明该处的流体几乎不动了。

因此当水底深度大于半个波长时，底面对波动的影响很小，即使流体域是有限深度的，但波动与无限深水域的情况已没有差别。

例6.1 如图6.2.2（a ）所示敞口的二维容器内，水面产生小振幅波。

试求波长及振荡频
率。

解 由于两侧为物面，此小振幅波必为驻波。

可应用式（6.2.8）、（6.2.10）、（6.2.11）求解，但仍需满足两侧壁上0=∂∂x ϕ。

因此可能的驻波振形为⋅⋅⋅===λλλ23,,2l l l ，如图6.2.2（b ）所示。

其波长及频率为：
2,(1,2,3)2l f n n ωλπ====⋅⋅⋅。

下面我们用基元驻波来构造另一种常见的简单波——平面进行波。

6.3 平面进行波
仍考虑有限水深的情况。

把两个平面驻波（6.2.10）和（6.2.15）叠加起来，即得平面进行波，它的速度势为
)sin(ch )(ch t kx kh h z k ag ωωϕ-+=
（6.3.1）
其中 kh gk th 2=ω （6.3.2） k πλ2=， λ
ππλωπτh g 2th 22== （6.3.3） 下面分析平面进行波的运动特征。

6.3.1 波形及波速
(a)
图6.2.2 水箱中的驻波 l
(b) l h
l =λ l =λ/2 l =3λ/2
由式（6.1.10）知进行波的波形为
)cos(t kx a ωζ-=
（6.3.4） 在某一时刻t 波形是余弦曲线，这种波称为余弦波。

波峰与波谷之间的距离称为波高，常用
H 表示。

显然，波高是波幅a 的二倍a H 2=。

不同时刻波峰的位置为 ),2,1,0( 2 ±±==-n n t kx πω
或
ct n t k
k n x +=+=
λωπ2 可见，波峰也即整个波面以速度 k c ω
= (6.3.5)
沿x 轴正向移动（右行波），c 称为波形传播速度，亦称相速度。

因此称（6.3.1）式代表的波动为进行波。

利用k
πλ2=和关系式kh gk th 2=ω，可将波速写成 λ
ππλω
h g kh k g k c 2th 2th === (6.3.6) 上式表明：给定水深h ，进行波的传播速度与波长或波频有关，这种波称作色散波，关系式（6.3.2）或（6.3.6）称之为色散关系。

若波速与波长或波频无关，则称为非色散波。

下面讨论水底深度h 对波浪运动的影响。

对于无限水深进行波，即当∞→h 时，波形仍为式（6.3.4），而速度势、色散关系和波速分别为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫≈==≈====-=λπλωπτλπλλπωωωϕ8.02225.122)
sin(e 2g g k g c g gk t kx ag kz (6.3.7) 可见无限水深进行波的波速和周期与波长的开平方成正比，也就是说，波越长，则周期越长，跑得越快。

这一现象可以从一块石子落入湖面后的波浪传播过程观察到。

对于浅水波（亦称长波），即当02→=λπh
kh （仍满足微幅假定1<<h a ）时，将式（6.3.6）右端双曲正切函数展开成Taylor 级数，其首阶近似为th x x =，色散关系和波速分别为 0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
0.00.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.02πh λ
∞c c s c c 图 6.3.1
⎪⎭
⎪
⎬⎫==gh c h gk 22ω （6.3.8） 可见浅水波的波速只取决于水底深度，而与波长无关，它不再是色散波。

海洋中的潮汐波与河流中的水跃均属于长波，这时流体质点运动的垂向速度与水平速度相比是个小量。

图6.3.1给出了无限深、有限深和浅水波的波速与水深和波长的关系，图中∞c 、c 、s c 分别表示这三种波的波速。

记λ和∞λ分别为有限深和无限深水波的波长，由式（6.3.6）~（6.3.8）可知
λ
πλλh c c 2th ∞∞= (6.3.9) λππλh h c c s
2th 2= (6.3.10) 当波长相同()∞=λλ时，由于12th
≤λπh ，1c c ∞≥，所以无限深水波的波速∞c 较大，随着水深h 的增加，因为λπh
th 2单调增加，有限深水波的波速c 增大并迅速趋近于∞c 。

例如
21=λh 时，996.02th =λ
πh ，998.0=∞c c ，这说明只要水深大于半个波长，就可以把这个波作为无限深水波处理。

另一方面，当c c =∞时，由式（6.3.9）1λλ∞
≥可知无限深水波的波长较小，即h 增加时λ减有限深水波的波长短。

对于长波和有限深水波，h 一定时，
s c c
随着λ的减小（λπh
2增大）而减小，这说明长波的传播速度快，而短波的传播速度慢。

上述分析表明：水深h 对水波有明显的影响，通常根据
λ
h 的不同将水波分为三类——无限深、有限深和长波。

实用中它们的区别范围分别为,21>λh 21201<<λh 和201<λh 。

6.3.2 质点运动速度和轨迹
由（6.3.1）式可求得平面进行波流体质点的速度分量
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫-+==∂∂=-+==∂∂=)sin(sh )(sh )cos(sh )(ch t kx kh h z k a dt dz z w t kx kh h z k a dt dx x u ωωϕωωϕ （6.3.11） 可以看出，波浪中流体质点的运动速度与波形的传播速度不同，流体质点在水平和垂直方向
均作简谐运动。

这一事实可以通过观察海浪上浮体的运动来证实，任何自由浮体决不会随波浪前进，在波浪经过时，它只能是在原来位置上下左右振荡。

由式（6.3.11）还可以看出，随着z 的增加，质点速度迅速减小（图6.3.3）。

现在讨论质点的运动轨迹。

由于考虑的是微幅波，水质点开始振荡后偏离其平衡位置
),(00z x 很小，因此式（6.3.11）右边的x 和z 近似地用0x 和0z 代替。

于是
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬⎫
-+=-+=)sin(sh )(sh )cos(sh )(ch 0000t kx kh h z k a dt dz
t kx kh
h z k a dt dx ωωωω （6.3.12）
上式是拉格朗日观点的速度分布，平衡位置),(00z x 作为不同质点的标志。

对上式积分并考虑到初始条件：0=t 时，00,z z x x ==，得
⎪⎪
⎭⎪⎪
⎬⎫
-++=-+-=)cos(sh )
(sh )sin(sh )(ch 000000t kx kh h z k a z z t kx kh
h z k a
x x ωω
（6.3.13）
消去参数t ，可得水质点轨迹的曲线方程
()()1sh )(sh sh )(ch 2
02
02
02
0=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-kh h z k a z z kh h z k a x x
(6.3.14)
可见，有限深波浪中水质点的运动轨迹是椭圆，椭圆中心为平衡位置),(00z x 。

因为
00≤z ，所以随着离自由面距离的增加，长短半轴减小。

在自由面z 0=0上，长半轴为
kh a coth ，短半轴为a ；在水底h z -=0处，长半轴为
kh
a
sh ，短半轴为0，即水底质点的运动轨迹是一水平直线，这是底部固壁限制的结果（见图6.3.2b ）。

对于长波，因为
kh kh h z k 1
sh )(ch 0→+，h
z kh h z k 001sh )(sh +→+，所以这时质点轨迹的
水平宽度保持一定而与z 0无关，短轴长度呈线性减小，至水底减小为0（见图6.3.2a ）。

对于无限水深进行波，当∞→h 时，质点的速度分量由（6.3.12）式得到
⎪⎭
⎪⎬
⎫-=-=)sin(e )cos(e 0000t kz a w t kx a u kz kz ωωωω
（6.3.15a ）
其合速度为
0e 22kz a w u V ω=+= （6.3.15b ）
质点的轨迹线方程为
⎪⎭
⎪⎬⎫-=---=-)cos(e )sin(e 00000
0t kx a z z t kx a x x kz kz ωω (6.3.16)
或
()()()2
20200
e kz
a z z x x =-+-
(6.3.17)
可见，无限水深进行波流体的质点以等角速度ω近似地作圆周运动，圆的半径是
0e kz a 。

在自由面上圆半径最
大，等于波幅a ；愈往下圆的
半径愈小。

当0z 等于半个波长时，圆的半径较表面上的半径
小23倍，这说明了水波运动的表面性（见图6.3.2c ）。

关于质点运动的方向，引入以),(00z x 为原点的极坐标，极角θ表示质点（x ，z ）与其平衡点),(00z x 的连线和
x 轴之间的夹角，逆时针为正。

根据直角坐标系与极坐标的转换关系，迹线方程（6.3.16）
可用θ来表示，这时正弦和余弦函数的参变量为
t kx ωπ
θ-=-
02
由
ωθ
-=dt
d 可知，右行波中质点在轨园上沿顺时针方向运动。

比较（6.3.15）和（6.3.4）式可知，波峰处水质点的运动方向与波前进的方向相
同，而波谷处水质点的运动
方向则与前进方向相反（见图6.3.3）。

波面上质点速度与波速之比为
λ
πωa
c a c V 2=< 由于微幅波中
λ
a
是小量，因此质点在平衡位置附近振荡的速度比波形的传播速度小得多。

6.3.3 压力分布
波浪中的压力分布由式（6.1.12）决定，以无限深进行波为例，将式（6.3.7）第一式代入（6.1.12）得
201
≤
λ
h
浅水波
有限深水波 深水波
2120
1<
<λ
h
21>
λ
h
图6.3.2 水质点轨迹示意图
（a ）
（b ） （c ）
图6.3.3 质点速度随深度的变化
[]
z t kx ae g p p kz --=-)cos(0
ωρ
(6.3.18)
式中右端第一项为波动压力，将该项中的),(z x 换为),(00z x ，并利用式（6.3.16）有
00gz p p ρ-= （6.3.19）
上式是流体质点在波浪运动中的压力分布规律，表示质点()00,z x 在运动过程中经过不同的位置()z x ,时，它的压力保持不变。

上式在形式上与重流体静力学基本方程式完全一致，这表明：平衡时刻位于平面0z z =上的质点组成等压面，在波动过程中它们仍为等压面。

这些等压面称为次波面，次波面方程由下式决定：
1z z t
g =∂∂-
=ϕη
例6.2 一浮标在无限深的涌浪中每分钟上下摆动10次，摆幅为2m 。

试求波长λ、波形传播速度c 及处于波峰位置的液体质点的速度V 。

解：已知每分钟上下摆动10次，故周期为
()s f 610
1
1===
分τ 代入（6.2.12a ）式得圆周频率
s /1046.12==
τ
π
ω
将上式代入（6.2.17）（6.2.13）式决定波数和波长
12.02
==
g
k ω 1/m
m k
562==
π
λ 根据（6.3.5）式可得波形传播速度
s m k
c /35.9==
ω
最后由液体质点的速度表达式（６.3.15b ）得波峰处质点速度的大小
s m a V /092.2==ω
V 与c 同向。

例6.3 已知无限深水微幅波的波幅m a 3.0=，周期s 2=τ，试求波面的最大倾角及波幅减小一半的水深。

解：微幅波的频率
s /1142.32
1416
.322=⨯=
=
τ
π
ω
由深水波色散关系可求得波数
m g k /1011.181
.9142.32
2
===ω
波面方程
()t x 142.301.1sin 3.0-=ζ
波面倾角
()t x x
142.301.1cos 3.001.1tan -⨯=∂∂=
ζ
α 最大波倾角
() 86.16303.0arctan max ==α
对于深水波，水质点的轨迹为圆。

设自由表面轨圆半径为a ，则在水深()0<z z 处，轨圆半径为kz a e 。

由题意
2
1e 01.1=
z 可解得
m z 686.0lne
01.121
ln
-==
6.4 波群与群速度
前面我们研究的驻波和进行波都是单一波长的波浪运动，实际上任何局部扰动都会产生一连串不同波长的波，其波速也不同。

这种由两个以上波长不同的波合成的波称为波群。

为简单起见，本节讨论由两个波幅相同，而波长（亦即频率）差一小量的正弦波叠加而组成的波群。

设这两个波形为
)sin(111t x k a ωζ-=
（6.4.1）
)sin(222t x k a ωζ-=
（6.4.2）
其中δωωωδ=-=-1212,k k k ，均为小量。

两波叠加后的波形为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+-=t x k k t kx a t x k a t x k a 22
sin )(21cos 2 )
sin()sin(21
2
12211ωωδωδωωζ
记2
,22
1
21ωωω+=+=
k k k ，则有 )sin()sin()(21
cos 2t kx t kx t kx a ωζωδωδζ-=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-= （6.4.3）
上式表明，合成后的波仍是正弦波，其波数k 和频率ω为原先两波的均值，但是波幅ζ
随位置和时间缓慢变化（图6.4.1）。

由图可见，合成波分列于波形包络线内形成独立的波浪组，这一组组波就叫波群。

显然，波群（包括波形）的波长为k
g δπ
λ4=
，传播速度为 k
c g δδω
=
(6.4.4) 这个速度称为群速度，它决定着波的能量转移速度。

因此群速度是波浪运动中一个重要的动力学参数。

当0,0→→δωδk 时，并考虑到k
c ω
=
和k π
λ2=
，群速度写成 λ
λ
ωd dc
c dk dc k c dk
d c g -=+== （6.4.5） 该式称为瑞利公式，它确定了相速度和群速度之间的关系，若d 0d c
λ
>，g c c <，
称为正常色散；若d 0d c λ<，g c c >，称为反正常色散；若d 0d c
λ
=，g c c =，称为无
色散。

对于有限深水波，代入色散关系式（6.3.6）得
)2sh 21(2kh
kh c c g +=
(6.4.6) 对于无限深水波，
kh
kh
2sh 20→，有
2
c
c g =
（6.4.7） 即无限水深时，波群的传播速度为单个波相速度的一半。

对于浅水波，12sh 2→kh
kh
，这时
gh c c g ==
(6.4.8)
6.5 Kelvin 波系——船波
上节讨论了同方向传播的简单波的叠加情况。

那末，不同方向传播的波叠加之后又将
怎样呢？显然，如果作用在自由表面上的
压力扰动缩成一个点，即成为一个点状的压力扰动源时，它所激起的波浪将沿四面-3
3
图6.4.1 波群与群速度 (k1=9 m,δk=1m,
δω=0.508/s , t=－
6 s )
cos
t
kx δωδ-
图6.5.1 Kelvin 波系
八方传播，它们叠加后将形成另一类波群。

Kelvin 首先得到了一个压力点在水面上以匀速U 作直线运动时的兴波图形，如图6.5.1所示。

图中o 点是压力点，实线是波峰线。

兴波图形分成两组波系：（1）波峰略弯曲的横波系，（2）散波系，它们互相干涉并同压力点一起前进。

由（6.3.7）第三式知横波的波长为
g
U 2
2πλ= （6.5.1） 横波与散波相交成尖角，尖角与压力点的连线称为尖角线，它与运动方向的夹角为82190'，称为Kelvin 角。

可见船波仅限于顶角为821920'⨯的扇形区域内。

船舶在水中航行时，船体对水的作用相当于连续分布的压力点在水面上运动，每一压力点均产生波浪。

但兴波作用最强
的是首尾两端处，这是因为在船首及船尾处分别形成前驻点和后驻点，在驻点处流体的动能转变成压能，压力很大。

因此可用两个压力点的兴波近似描绘整个船的兴
波，即首尾各有一个Kelvin 波系，每一波
系都有各自的横波系和散波系，如图6.5.4
所示。

船舶所遭受到的兴波阻力与首、尾两个横波系之间的干扰有很大关系。

对于线型较为丰满的船舶，在首或尾与平行中体相连接的所谓“肩部”都有可能形成这种Kelvin 波系。

船速较低时，散波系较明显，随着船速的增加，横波系将越来越明显，离船渐远，散波很快消失，只剩横波。

6.6 波能的转移及兴波阻力
6.6.1 波的能量
波的能量包括动能和位能两部分。

以有限深余弦波为例，考虑单位宽度一个波长流体域
τ如图6.6.1。

设S 为域表面，n 为S 的单位外
法线，由式（5.10.1）可知波的动能为
⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=∂∂=
∇=
l S
dl n
dS n d T ϕ
ϕρϕϕ
ρ
τϕρ
τ
22
2
2
(6.6.1)
式中l 为周线OEDCBA 。

由于波动的周期性，在
积分域左右两侧上的速度势ϕ相同，而外法线
方向相反，积分相互抵消，在水底又有
0=∂∂n
ϕ
，因此上式右端闭路积分只剩下沿自由面OABC
上的线积分，对于微幅波可用直线OC 代替，则动能表示为
x
图 6.6.1
图6.5.2 船波系
⎰=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=λϕϕρ00
2dx z T z (6.6.2)
下面计算位能。

以流体平衡时的位能为基准，则波动时位能的增加量是
⎰⎰⎰⎰⎰⎰==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=--λ
ζλλ
ζζρρρρ020
00021
dx g gzdz dx gzdz gzdz dx V h h (6.6.3)
对于有限深进行波，将速度势和波面方程
)
cos()
sin(ch )
(ch t kx a t kx kh
h z k ag ωζωωϕ-=-+=
代入式(6.6.2)和(6.6.3)，经简单计算可得动能和位能
λρ24
1
ga V T =
= (6.6.4) 总能量
λρ22
1
ga V T E =
+= (6.6.5) 可见，进行波的动能与位能相等，它们与波幅的平方成正比而与水深h 和时间t 无关。

单位长度内波的平均总能量为
202
1
ga E
E ρλ
=
=
(6.6.6)
对无限深进行波，计算结果完全相同。

6.6.2 能量的转移
任取一个与x 轴垂直的平面，考虑一个周期τ内波从该平面左方移到右方的能量。

根据能量关系，单位时间内波移动的能量应等于单位时间内该平面上的压力对流体所作的功。

仍以有限深进行波为例，一个周期内压力所作的功为
⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂--==--τ
τϕϕρ
ρ0
000
)(dt x
t gz p dz pudt dz W h
h
(6.6.7)
将速度势ϕ的表达式（6.3.1）及其导数代入，有
())2sh 21(221d 2sh ch ga d )cos(sh )(ch )cos(ch )(ch 20
2
2000kh kh c ga z kh h z k t
t kx kh h z k a t kx kh h z k ga gz p dz W h
h +=+=-+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-++-=⎰⎰⎰--τρωτ
ρωωωρρτ
单位时间内所作的平均功是
g c E kh
kh c ga W
W ⋅=+⋅=
=
020)2sh 21(221ρτ
(6.6.8)
式中⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
kh sh kh c c g 2212为群速度。

由此可见，通过任一固定垂直平面能量转移的速度等
于波的群速度。

对于无限水深的进行波，群速度2
c
c g =
，即能量转移的速度为波速的一半。

6.6.3 兴波阻力
船舶在静止的水面上或水翼、潜艇近水面航行时，船后兴起波浪。

这些波浪的能量当然来自于船本身，因此船舶航行时会受到所谓的兴波阻力，简称波阻。

从最简单的情况开始，下面用能量守恒原理计算二维船兴波阻力。

应用能量守恒原理，我们可以不管船体附近的流动细节，而把注意力集中在船体下游的波系。

设船以等速度U 在静水中直线航行，运动
达到稳态，兴波阻力为w R 。

由于船后的波形随船前进，所以船兴波的相（波形）速度U c =，波长和波数也是确定的。

对于无限深水波，由
式（6.5.1）知g U 22πλ=，2U
g
k =。

取一无
限大的控制体，如图6.5.2所示，由于单位时间
（1秒钟）内船舶前进的距离为U ，在空间固定的控制体内产生了长度为U 的波浪，因此单位时间控制体内新增加的能量为U E 0。

这些能量一部分来自船舶克服兴波阻力所作的功
U R w ，另一部分来自于远后方波浪转移到控制体内的能量g c E 0，于是
g w c E U R U E 00+=
对于有限水深情况，由于)2sh 21(2kh kh c c g +=
，考虑到U c =及202
1
ga E ρ=，则波阻 )2sh 21(412kh kh ga R w -=ρ （6.6.9）
对于无限水深情况，由于2
c
c g =，有
24
1
ga R w ρ= (6.6.10)
由此可见，无限水深情况下船舶兴波阻力是所兴波能的一半，与波幅的平方成正比，波幅增大时，波阻将急剧增加。

虽然公式（6.6.10）不能算出实船兴波阻力的值，因为这里还无法得到远后方兴波波幅a ，它与船的尺度、船型和航速有关，但是至少告诉我们兴波与阻力之间的量级关系，减小兴波阻力的重要方面是船型改进和优化设计以降低远后方兴波波幅。

需要指出，要确定船舶的兴波阻力并不是件容易的事情，这是因为船波是一种非常复杂的三维波系（称为Kelvin 波系），并不是简单的平面余弦波，上述讨论仅仅是出于对波阻有一概念性的了解而已。

6.7 不规则波的概念
前面讨论的余弦波，因其波幅、波长和波频都是确定的，所以
x
图6.7.1 不规则波
C g
图6.6.2 波阻。