积分不等式的证明方法

积分不等式的证明

摘要 :本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用单调性来证积分不等式,利用拉格朗日中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式。关键词：积分不等式单调性拉格朗日中值定理 taylor 公式二重积分凹凸性柯西不等式

英文题目: to study integral inequality proof: using the monotonous integral inequality, use l Schwartz inequality certificate integral inequality, using Lagrange's mean value theorem of integral inequality, l using integral mean value theorem of integral inequality, l Taylor formula to card integral inequality, use the concave and convex function sex to card integral inequality, use the double integral to card integral inequality.

Key word: Integral inequality，monotonous ,Lagrange's mean value theorem, Taylor formula, double integral, Cauchyinequality

1引言：

数学分析是数学专业的一门重要的专业基础课，其中很多问题的解

决都离不开不等式。而积分不等式是数学分析中应用较广的一类不等式。它的证明方法与应用是数学分析的中的一个难点。它的证明，使数学不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用。它的应用及推广也是很灵活巧妙的，使一些较为困难的问题迎刃而解。因此，深刻理解和掌握积分不等式的证明方法，及其在数学分析中不同方面的应用，有助于我们对理论知识的理解和应用，同时也对我们以后的学习有所帮助，对提高我们的思维能力和技能、技巧也是很有益的。

2 研究问题及结果

1）函数的单调性在证明积分不等式上的应用

例

1

若

)

()(x g x f 、在

[,]

a b 上可积，则

⎰⎰⎰≤⎪⎭

⎫ ⎝⎛b a b

a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222

证：

将

b

改写为

x

，并设

()()dt t g dt t f dt t g t f x F x a x

a x a ⎰⎰⎰-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=222

)()()(， ()()()()()()()()()dt t f x g dt t g x f x g x f dt t g t f x F x

a

x a

x a

⎰⎰⎰--⋅=2222'2

= ()()()()()()()()dt t f x g t g x f x g x f t g t f x

a 2222--⎰ =()()()()dt t g x f x g t f x

a 2)(--⎰ 0≤

从而知)(x F 为减函数，于是有)()(a F b F ≤，又)(a F =0，所以

0)(≤b F 因此有

⎰⎰⎰≤⎪⎭

⎫ ⎝⎛b a b

a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(222

注：利用函数的单调增减性证明积分不等式，先将定积分改写

成变上限的积分，移项使不等式一端为0，另一端设为)(x F ，再验证)(x F 的单调增减性。

2）利用拉格朗日中值定理来证积分不等式

［1］定理4: 设函数()f x 满足如下条件： （1）()f x 在闭区间[],a b 上连续；

（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导， 则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()

()f b f a f b a

ξ-'=-。

注：称

()()

()f b f a f b a

ξ-'=-为拉格朗日公式

例1．设)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，且0)(=a f ，证明： （１）|)(|max 2

)(|)(|],[2

x f a b dx x f b a x b

a

'-≤∈⎰

证明：（１）令|)(|max ]

,[x f M b a x '=∈，由拉氏中值定理知 ))(()()()(a x f a f x f x f -'=-=ξ

从而 ],[),(|))((||)(|b a x a x M a x f x f ∈-≤-'=ξ 所以 M a b dx a x M dx x f dx x f b

a b

a b

a 2

)()(|)(||)(|2

-=-≤≤⎰⎰⎰ （２）dx x f a b dx x f b

a

b a

2

22

]

)([2

)()(⎰⎰'-≤

证明：２）⎰⎰'=+'=x

a x

a dt t f a f dt t f x f )()()()(，则

⎰⎰⎰⎰'-≤'≤'=b

a

x

a

x

a

x

a

dt t f a x dt t f dt dt t f x f 2222)]([)()]([1])([)(

故dx x f a b dx a x dt t f dx x f b

a

b

a b

a b

a

2

2

2

2

]

)([2

)()()]([)(⎰⎰⎰⎰'-≤

-'≤