如何巧解初中数学竞赛题

如何巧解初中数学竞赛题

我们知道，数学竞赛题，对于初中生来说，是非常困难的。由于数学竞赛题的难度大、题型新，知识面比较广，解法巧妙，所以，广大初中学生在看见试题时，心里一下就慌忙起来，不知如何下手，对竞赛题，视之为猛兽。下面我根据竞赛题的特点，探讨一些做竞赛题的方法，供大家参考。

首先，要精心审题，弄清题意，抓住其基本环节。

细心审题是能否解题的关键之一。我们在审题时，做到以下几点：一要通读全题，充分理解题意，不要片面。二要抓住题目中的关键字词，仔细、认真地研究，不要粗心大意。三要弄清已知条件和结论之间的关系，不要将已知和结

论孤立起来。四是努力联系所学知识，把握准关键。这里所说的“基本”，指的是我们要从基本题做起，研究并掌握其基本方法和技巧，记住一点基本要领。

例1证明：任意五个连续自然数的平方和一定不是一个完全平方数。

分析：设五个连续自然数分别为n－2，n－1，n，n＋1，n＋2，平方和S ＝（n－2）2＋（n－1）2＋n2＋（n＋1）2＋（n＋2）2＝5（n2＋2），S中有5个这个因数。如果S为完全平方数，则n ＋2一定是5的倍数，即n2的未位数只能是3或8，但自然数的平方的末位数字只能是0、1、4、5、6、9中的一个，不能是3和8，发

生了矛盾，故S 不能是完全平方数。

证明：略。

点评：分析时，必须抓住完全平方数和自然数的平方的末位数字之间的本质特征，此本质物征是完成此题的关键。

例2、设 abcd ＝1。 求证：

11

111=+++++++++++++++d da dab d c cd cda c b bc bcd b a ab abc a 分析：由于四个分式的分母是异分母，因此，必须化它们为同分母，才能相加。结合已知条件，不妨将后三个分式的分子、分母分别乘以a 、a b 、a b c 后，可得同分母，即： 原式1

1

11

1111=++++++=+++++++++++++++=++⋅+⋅++++++++++++=a ab abc a ab abc a ab abc abcd a ab abc abc a ab abc ab a ab abc a abc

abcd abcd a abcd ab abcd ab

abc bcda aabcd abc a ab abc abcd ab a ab abc a 证明：略。

点评：本题的关键是化异分母为同分母，最后的分式的分子、分母相同约分得1。联系已知条件，抓住同分母这个本质特征，找到变化规律，是本题的“基本”之所在。

然后、要仔细观察题目的特点，全面进行分析，找到入手点和突破点。

例3、设

13)(21++-=+y x y x ，求x 和y 的值。

分析：本题是一个方程，两个未知数，要求x 与y 应联想到化此方程为两个非负数的和为零的形式，利用非负数的性质，得到两个方程构成的方程组，从而求出x 、y 。首先方程两边乘以2得：x ＋ y ＝23-x ＋21+y 、要化成平方形式。按照完全平方式的特点，构成：

()(),01121132322=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---y y x x 即()()0111322=-++--y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--011013y x 有⎩⎨⎧==04y x .

解：略。

点评：本题应紧紧地抓住一个方程求两个未知数方法：必须化一个方程为两个非负数的和，这是入手点；利用非负数的特点，构造方程组求值，这是突破点知道了这些，此类题目不难求得。

例4、已知、x 2＋2 y 2＝1、求2 x ＋5 y 2的极大值与极小值。 分析：要求出2 x ＋5 y 2

的极值，就必须弄清x 与y 的取值范围： 由题目已知x 1222=+y ，有x 12122≤-=y ，得—11≤≤x 。

又由题目x 2＋2y 2＝1，有y 2＝

2121212≤-x ，得2222≤≤-y 。 令 W ＝2x ＋5y 2 ，则W ＝2x ＋22)52(252)1(5--=-x x ＋1029 。

由函数的性质知W 的抛物线开口向下，在自变量－11≤≤x 的范围内，当x ＝52

时，y ＝102 ，W 最大 ＝ 1029

。

当 x ＝ —1时，代入x 2 ＋2y 2 ＝1中,

有 y ＝ 0 ，W 最小＝ 2×(－1)＋5×02 ＝－2

解：略

点评：本题是求式子2x ＋5 y 2的极值，于是联想到函数的知识，求出x 、y 的取值范围，结合已知条件，就不难求出2x ＋5 y 2 的极值了。研究题目已知条件是入手点，结合函数知识是突破点。

其次，抓住难点，反复推敲。

竞赛题的难度大，这是大家的共识。难在什么地方呢？这又要因人，因题而异，但是抓住难点，反复思考，是可以求出的。

例5 [a]表示不大于a 的最大整数。如[2] ＝1,[]22-=- , 那么方程[]21213-=+x x 的所有根的和为多少？

分析：令t ＝[3x ＋1] 按［a ］的规定，有0≤[3 x ＋1]－t ＜1 ,原方程为t ＝2x

21，即： x ＝21

t ＋41代入上面的不等式有0≤14723<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t ， 解得－2

327-<≤t ，∴t ＝－2,或－3， 则 x ＝434121-=+t 或 －45

， ∴ －2)4

5(43-=-+。 点评：本题难在引入了一种新的运算，我们必须适应这个新概念，充分利用这个概念，是完成此题的关键。

例6：对任意实数x 、y,定义运算x ※y ＝ax ＋by ＋cxy ，其中

a 、

b 、

c 为常数。等式右端中的运算是通常的实数的加法，乘法运算。现已知1※2＝3、2※3＝4，并且有一个非零实数

d ，