控制工程基础(第三章,控制系统的复数域描述)

对于多输入-多输出的系 对于多输入 多输出的系 统，要用传递函数关系 阵去描述它们间的关系， 阵去描述它们间的关系， 如右图所示的系统
Y2 (s ) = G21 (s )U 1 (s ) + G22 (s )U 2 (s ) 或写作 Y1 (s ) G11 (s ) G12 (s ) U 1 (s ) Y (s ) = G (s ) G (s ) U (s ) 22 2 21 2
还有一阶微分和二阶微分环节， 还有一阶微分和二阶微分环节，其特性基本上与惯 性环节和振荡环节相反，而且不会单独出现。 性环节和振荡环节相反，而且不会单独出现。
注意： 注意：
典型环节是根据微分方程划分的， 典型环节是根据微分方程划分的 ， 不是具体的 物理装置或元件。 物理装置或元件。 一个典型环节往往由几个元件之间的运动特性 共同组成。 共同组成。 同一元件在不同系统中作用不同， 同一元件在不同系统中作用不同 ， 输入输出的 物理量不同，可起到不同环节的作用。 物理量不同，可起到不同环节的作用。
2、拉氏变换的基本性质 、 （1）线性定理 ）
L[af1 (t ) + bf2 (t )] = L[af1 (t )] + L[bf2 (t )] = aF1 (s) + bF2 (s)
（2）微分定理 ）
L[ f
(n)
( t )] = s n F ( s ) − s n −1 f (0) − s n − 2 f ′(0) − ⋯ − f
一般形式传递函数的典型化分解
任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成 比例环节
b
一阶微分环节
c
二阶微分环节
纯微分环节
G(s) =
K∏(τi s +1)∏(τ s + 2ζ lτl s +1) sv ∏(Tj s +1)∏(Tk2s2 + 2ζ kTk s +1)
j =1 k =1 i =1 d l =1 e 2 2 l
bm ( s + z1 )( s + z2 )⋯ ( s + zm ) G ( s) = ( s + p1 )( s + p2 )⋯ ( s + pn )
(τ 1s + 1)(τ 2 s + 1)⋯ (τ m s + 1) G(s) = K (T1s + 1)(T2 s + 1) ⋯ (Tn s + 1)
c (t ) = Kr (t )
式中K为增益。 式中 为增益。 为增益
C ( s) G( s) = =K R( s )
特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器）， 感 实例： 电子放大器， 齿轮， 电阻（ 电位器） 应式变送器等。 应式变送器等。
3. 纯微分环节 纯微分环节常简称为微分环节， 纯微分环节常简称为微分环节，其运动方程和传递 函数为
d r (t ) c (t ) = T dt
G ( s ) = Ts
特点：输出量正比输入量变化的速度， 特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入 信号的变化趋势。 信号的变化趋势。 实例：实际中没有纯粹的微分环节， 实例：实际中没有纯粹的微分环节，它总是与其他 环节并存的。 环节并存的。 实际中可实现的微分环节都具有一定的惯性， 实际中可实现的微分环节都具有一定的惯性，其传 递函数如下
2. 一阶惯性环节 该环节的运动方程和相对应的传递函数分别为
dc(t ) T + c(t ) = Kr (t ) dt
C(s) K G(s) = = R(s) Ts +1
式中为T时间常数， 为比例系数 为比例系数。 式中为 时间常数，K为比例系数。 时间常数 特点：含一个独立的储能元件，对突变的输入， 特点：含一个独立的储能元件，对突变的输入，其 输出不能立即复现，输出无振荡。 输出不能立即复现，输出无振荡。 实例：直流伺服电动机的励磁回路、 电路 电路。 实例：直流伺服电动机的励磁回路、RC电路。
F(s)具有重极点时 具有重极点时
k1( k −1) k1k k11 k12 A( s) = + +⋯ + + k k k −1 2 ( s − p1 ) ( s − p1 ) ( s − p1 ) ( s − p1 ) s − p1
拉氏变换的应用： 拉氏变换的应用：微分方程的求解
二、传递函数
y (t ) + an −1 y
F (s) = k k k A( s) = 1 + 2 +⋯ + n ( s − p1 )( s − p2 )⋯ ( s − pn ) s − p1 s − p2 s − pn
2 s 2 + 3s + 3 1 −5 6 例 F (s) = = + + ( s + 1)( s + 2)( s + 3) s + 1 s + 2 s + 3
（4）初值定理 ）
lim f (t ) = f (0) = lim sF ( s )
t →0 s →∞
（5）终值定理 ）
t →+∞
lim f (t ) = f ( +∞) = lim sF ( s )
s →0
（6）延迟性质（时域位移） ）延迟性质（时域位移）
L[ f (t − τ )] = e −τ s F ( s ) L[e at f (t )] = F ( s − a)
Y1 (s ) = G11 (s )U 1 (s ) + G12 (s )U 2 (s )
二输入二输出系统
G (s )就是该系统的传递函数阵
用拉氏变换做微分方程组的传递函数矩阵， 用拉氏变换做微分方程组的传递函数矩阵，中间变量的消元
三、典型环节的传递函数 1. 比例环节
比例环节又称放大环节， 比例环节又称放大环节， 该环节的运动方程和相 对应的传递函数分别为
(n−1)
( n −1)
(0)
如果初始条件 f (0) = f ′(0) =⋯= f
Baidu Nhomakorabea
(0) = 0 成立，则有 成立，
n
L[ f
（3）积分定理 ）
(n)
t
( t )] = s F ( s )
1 1 L[ ∫ f (t )dt ] = L[ f (t )] = F ( s) 0 s s t t t 1 L[ ∫ dt ∫ dt ⋯ ∫ f (t )dt ] = n F ( s ) 0 0 0 s
6. 纯时间延时环节
延时环节的动态方程和传递函数分别为
C (s) G (s) = = e −τ s c(t ) = r (t − τ ) R( s) 称为该环节的延迟时间。 式中τ称为该环节的延迟时间。
特点：输出量能准确复现输入量 ， 但要延迟一固定的 特点 ： 输出量能准确复现输入量， 时间间隔τ 。 实例：管道压力、流量等物理量的控制， 实例 ： 管道压力 、 流量等物理量的控制 ， 其数学模型 就包含有延迟环节。 就包含有延迟环节。
R(s)
G(s)
元件的结构图
C(s)
–方块外面带箭头的线段表示这个环节的输入信号 （ 箭头 方块外面带箭头的线段表示这个环节的输入信号（ 方块外面带箭头的线段表示这个环节的输入信号 指向方框） 和输出信号（箭头离开方框） 指向方框 ） 和输出信号 （ 箭头离开方框 ） ， 其方向表示 信号传递方向。 信号传递方向。 –箭头处标有代表信号物理量的符号字母。 箭头处标有代表信号物理量的符号字母
由微分方程组求输入-输出间的传递函数， 由微分方程组求输入 输出间的传递函数，用函 输出间的传递函数 数的拉氏变换方便化简消元。 数的拉氏变换方便化简消元。
输出响应的求解； 输出响应的求解；
系统的单位脉冲响应 极点情形及对应的时域形式 卷积运算
传递函数的特点和有关概念 –传递函数是系统的动态数学模型， 传递函数的结构和各 传递函数是系统的动态数学模型， 传递函数是系统的动态数学模型 项系数（包括常数项）完全取决于系统本身结构。传函为 项系数（包括常数项）完全取决于系统本身结构。传函为 系统的固有属性， 系统的固有属性，与外作用无关 –传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常微分方 传递函数的概念适用于线性定常系统， 传递函数的概念适用于线性定常系统 程一一对应 –传递函数是在零初始条件下定义的 传递函数是在零初始条件下定义的 –传递函数概念主要适用于SISO的情况，无法表达中间变量 传递函数概念主要适用于SISO的情况， 传递函数概念主要适用于SISO的情况 的情况 –传递函数是复变量s的有理真分式函数 传递函数是复变量 –传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质（物 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质（ 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质 理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传 递函数 ）。
控制工程基础
——郭世伟 郭世伟
第三章
控制系统的复数域描述
一、拉普拉斯（ Laplace ）变换 拉普拉斯（
1、定义： 、定义： 拉氏变换
拉氏逆变换 通常将F(s)称作的 f(t) 象函数，将 f(t) 称作的F(s) 象函数， 原函数。 原函数。 为拉氏变换对 与傅立叶变换的联系！ 与傅立叶变换的联系！ 常见信号的拉氏变换表
5. 二阶振荡环节
振荡环节的运动方程和传递函数分别为
d 2c(t ) dc(t ) 2 T + 2ζ T + c(t ) = r(t ) (0 ≤ ζ < 1) 2 dt dt
ωn2 C(s) 1 G(s) = = 22 = 2 R(s) T s + 2ζ Ts +1 s + 2ζωns +ωn2
s
e
−τ s
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
四、动态结构图
动态结构图又称方框图 任何系统都可以由信号线、 函数方块、 任何系统都可以由信号线 、 函数方块 、 信号引 出点及求和点组成的方块图来表示。 出点及求和点组成的方块图来表示。
求和点
引出点
信号线
函数方块
函数方块
1、动态结构图的基本元素与绘制 、 （1）元件用标有传递函数的方框表示。 元件用标有传递函数的方框表示。
C ( s) Ts G ( s) = = R ( s ) Ts + 1
4. 积分环节 积分环节的动态方程和传递函数分别为
c(t ) = K ∫ r (t ) dt
K G (s) = s
特点： 输出量与输入量的积分成正比例 ， 当输入 特点 ： 输出量与输入量的积分成正比例， 消失，输出具有记忆功能。 消失，输出具有记忆功能。 实例： 电动机角速度与角度间的传递函数、 实例 ： 电动机角速度与角度间的传递函数 、 电容 充电、模拟计算机中的积分器等。 充电、模拟计算机中的积分器等。
）（复数 （7）（复数）位移性质 ）（复数）
（8）卷积定理 ）
L[ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] = F1 ( s ) F2 ( s )
L [ f1 (t ) ⋅ f 2 (t ) ] = 1 2π j F1 ( s ) ∗ F2 ( s )
3、拉氏逆变换 、 （1）留数法 ）
（2）部分分式分解法 ） F(s)具有单极点时 具有单极点时
(0 ≤ ζ <1)
式中ζ称为振荡环节的阻尼比， 为时间常数 为时间常数， 式中 称为振荡环节的阻尼比，T为时间常数， ωn为系统的 称为振荡环节的阻尼比 自然振荡角频率（无阻尼自振角频率） 自然振荡角频率（无阻尼自振角频率），并且有 T = 1/ ωn 。 特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换， 特点 ： 环节中有两个独立的储能元件 ， 并可进行能量交换 ， 其输出出现振荡。 其输出出现振荡。 实例： 电路的输出与输入电压间的传递函数， 实例 ： RLC电路的输出与输入电压间的传递函数， 以及机 电路的输出与输入电压间的传递函数 械弹簧阻尼系统的传递函数。 械弹簧阻尼系统的传递函数。
(n) ( n −1)
ɺ (t ) + ... + a1 y (t ) + a0 y (t )
ɺ = bmu ( m ) (t ) + bm −1u ( m −1) (t ) + ... + b1u (t ) + b0u (t )
在零初始条件下，对上式进行拉式变换， 在零初始条件下，对上式进行拉式变换，经整理得到 传递函数。传递函数的特征方程、零点和极点及其特点； 传递函数。传递函数的特征方程、零点和极点及其特点；传 递函数的几种表达形式： 递函数的几种表达形式： Y ( s ) bm s m + bm −1s m −1 + ⋯ + b1s + b0 B( s ) = n = 分子、 分子、分母 G ( s ) = n −1 U (s) s + an −1s + ⋯ + a1s + a0 A( s ) 多项式形式 零极点增益形式 时间常数形式