5.3 刚体定轴转动定律解析

矩为零，故 F 对转轴的 力矩： M k r F
z
其中 Fz 对转轴的力
M z rF sinθ
F Fz F
z
k
O
Fz
F

r
F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和。 M M1 M2 M3
注意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。 3
第5章 刚体的定轴转动
J z mi ri
2
——刚体对 z 轴的转动惯量
刚体对 z 轴的角动量为：
Lz J z ω
即：刚体绕定轴转动时， 对转轴的角动量，等于刚 体对转轴的转动惯量与角 速度的乘积。
ω
r O i
z
vi
mi
强调：对于刚体的定轴转动，我们用角动量来描述， 而不用动量来描述。 8
2
m r m r
转轴
2 2 2
J mi ri
2
2 2
m1 ( l1 sin 60 )
m 2 ( l 2 sin 60 ) 11
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：质量离散分布刚体: J = mi ri2 1） 正三角形的各顶点处有一质点 m，用质量 不计的细杆连接，系统对通过质心 C 且垂直于三角 形平面的轴的转动惯量为：
在计算力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。 4
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求：摩擦力的力矩 M阻。
解： 杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不
同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，
z
r
F
*
Fi 0 , Mi 0
d F
M = Fr sin θ = Fd = Fτ r
: 力臂
d
P

F
Fi 0 , Mi 20
F
F
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
讨论： 1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量：
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
5.3 刚体定轴转动定律
1
5.3 刚体定轴转动定律
补充的内容：对转轴的力矩
第5章 刚体的定轴转动
刚体绕 O z 轴旋转，力 F
M
O
M
F 对转轴 Z 的力矩 M r F
作用在刚体上点 P ，且在转动 平面内， r 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢。
dM 2πμσgr dr
2
2 M 2πμσ gr dr πμσ gR 3 3 0 问题：
2
R
dr
若圆盘以ω0 的初角速度转动， 圆盘转多少圈静止？ 6
5.3 刚体定轴转动定律
一、刚体定轴转动的角动量 刚体上任一质元mi 在垂直 于 z 轴的平面内作圆周运动。 对 z 轴的角动量沿 z 轴 正向，大小为：
第5章 刚体的定轴转动
ω
v r i i O mi
z
Li mi vi ri mi ri
2
刚体对固定轴的角动量为：
Lz mi ri ( mi ri ) （所有质元的动量矩之和）
2
2
J z mi ri ——刚体对 z 轴的转动惯量。
2
7
5.3 刚体定轴转动定律
1）与刚体的总质量、形状、大小有关。 2）与质量对轴的分布有关。 3）与轴的位置有关。
9
5.3 刚体定轴转动定律
转动惯性的计算方法
第5章 刚体的定轴转动
质量离散分布刚体的转动惯量：
2 2 1 1 2 2 2 i
J mi ri m r m r
J r dm
2
质量连续分布刚体的转动惯量：
m 细杆的质量密度： l 质元质量： dm dx
质元受阻力矩：
m l
o
x dm
m dx
x
dM阻 dmgx
细杆受的阻力矩：
1 1 2 M阻 dM阻 gxdx gl mgl 0 5 2 2

l
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：如图一圆盘面密度为σ，半径为R，与桌面的 摩擦系数为μ，求：圆盘绕过圆心且和盘面垂直的 轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。 解：取一小环为面元， 则：dm 2πrσdr
df μ dm g μσ 2πgr dr
df R
r O
dM r df μσ 2πgr dr
2
3 J c 3 mr ml , ( r l) 3
2
2
m源自文库
通过 o 点且垂直于三角形平 面的轴的转动惯量为
l m
o r
· c
l
l
m
JO= m l 2 + m l 2 = 2ml 2 = m l 2 + (3m) r 2 = 2ml 2
12
5.3 刚体定轴转动定律
第5章 刚体的定轴转动
例：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面 的质心轴转动，求：转动惯量 J。
dm
面分布
：质量元
线分布
体分布
dm dl
dm dS
dm dV

: 质量线密度
: 质量面密度
: 质量体密度
10
5.3 刚体定轴转动定律
可视为分立质点结构的刚体 转轴
第5章 刚体的定轴转动
若连接两小球（视为质点）的 轻细硬杆的质量可以忽略，则：
J mi ri
2 1 1
5.3 刚体定轴转动定律
定义式： J
第5章 刚体的定轴转动
二、刚体定轴转动的转动惯量（Moment of Inertia）
m r
2
i i
,
J r dm
2
（质量不连续分布） （质量连续分布） 刚体对固定轴的转动惯量，等于各质元质量与其到 转轴的垂直距离的平方的乘积之和。
对确定的刚体、给定的转轴，转动惯量是一常数。 物理意义：是刚体转动惯性的量度。 刚体的转动惯量的大小：
5.3 刚体定轴转动定律
3） 刚体内，作用 力和反作用力的力 矩互相抵消。
第5章 刚体的定轴转动
M ij
O
M = rF sin θ = Fd
Mij M ji
力矩的计算：
M ji
d
ri
F ji iF
ij
rj
j
计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段 的办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩 的计算方法进行计算，最后求和。