第六章_多采样率数字信号处理

x [n]
L
y[n]= SLx [n]
6.3 对上采样和下采样的分析
时域描述—下采样
下采样过程：
时域描述—上采样
上采样过程：
频域描述
首先，我们进行定性分析：
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接下来，我们对上，下采样进行定量分析 离散时间序列的抽样:
抽样序列：
D[n]
1如 n / D为 数 果 整 0其 他
v[n] D [n]x[n]
右移2π的整数倍，得 {X (e j (2k ) / D ) | k 0,1,...D 1}
3.将2中的D个周期为2πD的函数相加，并乘以1/D.可得Y( )
上采样：
y[n]= SL{x [n]} = x[n/L] 0 如果为n/L整数 其他
按整数L倍进行上采样，是通过采样值之间简单的增加 L-1个零点来达到提高采样率的目的。在这种处理中， 并没有破坏原有信息，但插零值会引入混叠。
如果采用汉明窗，那么FIR滤波器的长度M可根据8 / M 0.1 / 96计算，M 960 8 7680。 更糟糕的是，该滤波器需要工作在非常高的采样频率上，每秒钟需要7680 96000=0.74 109 次乘法。
使用多级实现，在获得相同结果的前提下，可以降低复杂度 和每秒操作的数目。其通用结构如图6-26所示，有一组滤波器和 抽取器实现。在设计低通滤波器时，假定需要通过的信号频谱带 宽Fp比奈奎斯特（Nyquist）频率Fx/2小很多，其中Fx为采样频 率。如果按整数因子D抽取且满足Fx/2D>Fp，那么变换到新的采 样频率Fx=Fx/D后，不会出现混叠和信息丢失。如果能将其分解 D=D1D2···· M，其中Di为整数，那么可以用M个抽取器完成抽 ···D 样，每一级按Di，i=1，····· ····· ，M降低采样率。
图6-25 以较低频率重采样的例子：存在信息损失
6.5 数字滤波器的多级实现
在一些应用中 ，需要设计带宽相对于采样频率很小 的滤波器。例如，要设计一个带宽为几Hz的低通滤波器， 而采样频率为几KHz。该滤波器要求数字频率w中的过渡 带必须非常窄，因此需要复杂度很高的滤波器。
例6-8 假设需要设计的滤波器的指标如下：
下采样定义
• 给定整数D,定义下采样算子S1/D，满足: y[n]= S1/Dx [n]=x[nD] 算子S1/D将信号的采样频率降低到原来的D 分之一，通过选取D个采样值中的一个来实 现。
X[n]
y[n]= S1/Dx [n]=x[nD]
D
上采样定义
• 给定整数L,定义下采样算子SL，满足: x[n/L] 如果为n/L整数 0 其他 算子SL将信号的采样频率提高L倍，通过增加零采样来实现。 y[n]= SLx [n]=
图6-27 第i个抽取器的频率指标
观察图6-27，可得到如下两个结论： 1）任意频率（Fi+1/2）+F,其中F>0，将会在（Fi+1/2）-F处产生 混叠。 2）所有（Fi+1/2）-F>Fx / 2 D的混叠频率都被保留下来，因为最终高 于新的奈奎斯特频率FY / 2 Fx / 2 D的频率成分都被滤除。
故将原序列的频谱 X (e j ) 压缩L倍，即可得L倍上采 样序列的频谱 Y (e j )。
j
6.4 有理因子的采样率变换
1、基于整数因子D的抽取
下采样中，X(w)=DTFT{x[n]}中所有的高于∏/D的频率成分 会产生混叠，因此在下采样信号前必须把它们滤除掉。这样， 可获得下图6-21的方案，其中按D进行的下采样不会产生混叠。
图6-24比较高频率重采样的例子：无信息损失
对信号x[n]按Fy=8kHz重采样。需要：
Fy
8 4 L Fx 10 5 D
上式说明，需要按L=4采样和按D=5下采样。由于5=max （L,D），所以低通滤波器的阻带频率为 / 5 如图6-25中的频谱所示，由于采样频率的降低，部分 信息丢失，高于4kHz的频率部分都去除了。
图6-29 示例
如上图所示，采用分解形式D=96=2×8×6=D1D2D3， 下面计算所有相关的采样频率，即F1=Fx=96kHz、 F2=F1/8=12kHz和F3=F2/6=2kHz和F4=F3/2=1kHz。所 有滤波器的指标（通带和阻带）频率将在下表中列出。
所有的滤波器的通带均包含FP=0.45kHz，每 一级滤波器的阶数N是基于汉明窗设计而得到 的，且阻带衰减至少为40dB。当然，不同的 设计（例如等纹波滤波器）可获得不同的（较 低的）计算复杂度。如果将上述滤波器的阶数 与没有抽取设计的滤波器做比较，可以发现不 仅阶数降低很多，而且滤波器H2和H3工作在 非常低的采样频率下，因此，其每秒所需要的 计算量大幅度下降。
可得：
1 D1 V ( ) X ( 2k / D) D k 0
下采样：
y[n]= S1/Dx [n]=x[nD] 复指数表示为： 观察频率范围： D 2k 内的y[n]，观察 的取值， 可得结论：
x[n] e
jwn
y[n] e
jwDn
1.若 [ / D, / D] ，那么频率 拉伸到 D ，且不 引入混叠。即数字频率 和 D 对应着有相同的模拟 频率。 2.在 / D / D 外的 ，下抽样后映射 带 D ，它将与其他频率产生混叠。如下图所示。 X[ ] y[ ]
第六章
多采样数字信号处理
目录
6.1 引言 6.2 问题的描述和定义 6.2 对下采样和上采样的分析 6.3 有理因子的采样变换 6.4 多采样信号处理 6.5 数字滤波器的多级实现 6.6 多采样率系统的高效实现 6.7 多采样率信号处理的应用 6.7.1 数模变换 6.7.2 多采样率信号处理在ADC中的应用 6.7.3 多采样率信号处理在数字接收机中的应用
因此，在每一级抽取Di中，低通滤波器H i 在模拟频率F 上的指标 如下： 通带频率FP，希望通过的信号通带频率。 阻带频率FS Fi 1 Fx / 2 D, 保证所有混叠的频率高于Fx / 2 D。
第i个滤波器的频率相应如图6-28所示。
图6-28 第i级低通滤波器的频率响应
例6-9
其复指数叠加形式：
1 D 1 j 2 kn / D D e D k 0
1 D 1 v[n] x[n]e j 2 kn / D D k 0
对v[n]做z变换：
1 D 1 V [ z ] X (e j 2 k / D z ) D k 0
在频域上，替换
ze
j
重采样
y[n]
y(t)
DAC
Fx
Fy
Fx > Fy, 下采样
Fx < Fy, 上采样
• 重采样的处理过程： 上采样，L 即整数倍提高采样频率； 下采样，D 即整数倍降低采样频率；
另外，还需要对信号做线性滤波来消除上 采样和下采样处理映入的混叠。
6.2:问题的描述和定义
• 两个基本问题：
抽取-下采样 内插-上采样
由上采样的定义，可得到L倍上采样序列y[n]的z变换Y(Z)为:
Y ( z)
k


xL [ k ] z k
k
x[k / L]z k
jL

n
x[n]z nL X ( z L )

L倍上采样序列y[n]的频谱Y (e j )为：
Y (e ) X (e )
图6-26 多级抽取
相对于采样频率而言，要通过的信号带宽很小，但只要 细心设计每一个抽取器可使其计算复杂度足够低。在第i级中， 将采样频率Fi降至Fi+1=Fi/Di。尽管不希望出现混叠，但即使 有混叠出现，只要它没有干扰要需要通过的信号，可以一直 容忍它的存在。所以，第i级滤波器的带宽没必要为∏/Di， （对应与奈奎斯特频率Fi+1/2）,只要混叠频率高于频率Fx/2D， 其带宽可以更宽。混叠部分最终都将被滤除。
接下来，我们对下采样分析如何画出频谱：
1 D 1 2k Y ( ) X ( ) D k 0 D
由上式可知，D倍下采样的序列频谱可以由如下步骤得到：
X (e j / D ) ，注意 X (e j / D ) 的周期为2πD。 1.将 X (e ) 扩展D倍得
j
2.将
X (e j )
图6-23 基于有理因子的频率变换
例6-7 信号x[n]的采样频率为Fx=10kHz，分析下面两种情况： 采用新的采样频率Fy=22kHz对它进行重采样，处理后就可 以把它和别的信号混合。因为
Fy
22 11 L Fx 10 5 D
因此，需要按L=11上采样，按D=5下采样。由于11=max （L,D），所以低通滤波器的阻带频率w=∏/11。注意，虽 然重采样频率提高了，但在模拟频域上重采样后信号的频 谱并没有发生变化，如图6-24所示
6.1: 引言
在信号处理的很多应用中，需要用到变换数字信号采 样频率的问题。原因： A：应用中需要混合不同标准的信号。 例不同音频信号的采样率：
CD播放器 44.1KHZ
数字音频磁带 48KHZ
数字广播 32KHZ
B：新技术的需要。 例信号的采样频率相对带宽很大情形。
信号处理过程可视为在两个数字序列时间的线性处理：需要 重采样的输入序列x[n]和y[n], 他们的采样速率分别为Fx和Fy， 如下图所示： X(t) x[n]
图6-21抽取
2、基于整数因子L的内插
• 与抽取不同，按L的内插会在频率上产生镜 像频率。但是，如前面的章节中的分析， 所有的镜像都在[-π/L, π/L]范围之外，所以 应在下采样之后对信号进行滤波，消除镜 像频率。如图6-22所示。
图6-22 内插
3、有理因子为L/D的重采样
• 因为抽取将破坏原始信息，而内插不会，所以将 抽取器放在最后实现，而先实现内插器。如图623所示。把用于滤除镜像频率和混叠的两个低通 滤波器级联起来，它们均在相同的高采样率下工 作，所以可将它们组合，从而构成一个滤波器。 它们的带宽分别为π/L和π/D，因此合并后滤波器 的带宽为两者间的最小者，即π/max(L,D)。
回到本节开始时的例子，其要求如下： 通过所有[0，450]Hz范围内的频率成分。


阻止所有所有F>500Hz的频率成分。
采样频率为Fx=96kHz。
通过分析指标，可以降低采样频率到Fy=1kHz，整个过程 不会丢失需要通过的信号。因此，总的抽取因子D=96,可如下 分解为D=96=8×6×2=D1D2D3，如图6-29所示。抽取因子的 分解是任意的，可以有多种分解形式达到总的抽取要求。例如， 也可分解为D1D2D3=2×6×8、D1D2D3=2×8×6、 D1D2=12×8或其他形式。虽然存在一些得到有效设计的准则， 但也可以通过计算每一种情况的复杂度而从中选取最佳的。
1
2
D2
D
D1D
2

D

混叠
对比v[n]和y[n]的z变换：
V ( z) Z{v[n]} ... 0 v[0] 0... 0 v[ D]z 0... 0 v[mD]z
和
D mD
0 ...
Y ( z) Z{ y[n]} ...v[0] v[ D]z 1 ... v[mD]z m ...
通带FP 450 Hz 阻带FS 500 Hz 采样频率Fs 96kHz
注意，阻带频率比采样频率小几个数量级，它将导致滤波 器的过渡带非常窄而复杂度很高。相应的数字频域指标为
2 450 0.9 3 96 96 10 2 500 阻带s 96 103 96 0.1 过渡带 s p 96 通带p
对比上述两式，可得：
Y ( z) V ( z
1/ D
)
可得：
1 D 1 1/ D j 2 k / D 1/ D Y ( z ) V ( z ) X (e z ) D k 0
通过上述表达式，替换 z e j 可得到
1 D 1 2k Y ( ) X ( ) D k 0 D