《函数的最大(小)值与导数》
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2020/3/23
复习: 函数极值的定义——
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。
极大值与极小值统称为极值.
即：6+a=2-a
2020/3/23
例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1， 1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求 实数a、b、c的值. 分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点Q(2，-1) 处的导数为1，于是
4a+b=1 又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c 上，从而
为3π/4，则Ａ的坐标为
.
2020/3/23
解法二、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y，
-
0
+
y3
2
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2
2020/3/23
练习P106、P107 6
2020/3/23
思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5] 内的最小值为2，求m的值
2020/3/23
3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为 12x-3y=16，则点P的坐标为 .
4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( 3 , 3 )，
2020/3/23
导数的定义
导数的几何意义
导数 求导公式与法则
多项式函数的导数
导数的应用
2020/3/23
函数单调性 函数的极值 函数的最值
基本练习
1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的 斜率为( )
(A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8
2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( ) (A)y’=100(x99+x49+x24) (B) y’=100x99 (C) y’=100x99+50x49+25x24 (D) y’=100x99+2x49
(C) (-1,-1)或(1,1)
(D) (-1/2,-1/8)
(2) 若 曲 线 y=x5/5 上 一 点 Ｍ 处 的 切 线 与 直 线
y=3-x垂直，则此切线方程为( )
(A)5x+5y-4=0
(B) 5x-5y-4=0
(C) 5x-5y+4=0
(D)以上皆非
(3)曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角
2020/3/23
用导数法求解函数极值的步骤：
(1) 求导函数f `(x)； (2) 求解方程f `(x)=0； (3) 列表: 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的 左右的符号，并根据符号确定极大值与极小 值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
2020/3/23
函数最值问题.
在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问 题，这就是我们通常所说的最值问题.
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值
表格法
2020/3/23
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
2020/3/23
例1 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值
a+b+c=1且4a+2b+c=-1
2020/3/23
例3 已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点 P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛 物线准线的距离
分析 点P到直线的距离最小时，抛物线在点 P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数 为-1，令P(a,b),于是有：2a= -1.
2020/3/23
(A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1
10、函数y=x3-3x的极大值为( ) (A) 0 (B) 2 (C) +3 (D) 1
2020/3/23
例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在 点x=1处的切线互相平行，求a的值.
分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
则a的取值范围为( )
33
(A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1
2020/3/23
6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A)单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在
2020/3/23
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0 的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0， 那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于
()
(A) 8+2Δt (B) 4+2Δt
(C) 7+2Δt
(D) –8+2Δt
2020/3/23
8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒 时的瞬时速度为( )
(A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81 9、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6， 那么a等于( )
例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定 实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.
思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2， 6]内单调递增，求m的取值范围。
2020/3/23
(1)若曲线y=x3在点Ｐ处的切线的斜率等于
３，则点Ｐ的坐标为( )
(A)(2,8)
(B) (-2,-8)
2020/3/23
求函数最值的一般方法： 一是利用函数性质 二是利用不等式 三今天学习利用导数
2020/3/23
f(x)在闭区间[a,b]上的最值：
(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么它必有最大值和最小值)
(1)求f(x)在区Βιβλιοθήκη Baidu(a,b)内极值(极大值或极小值)
复习: 函数极值的定义——
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。
极大值与极小值统称为极值.
即：6+a=2-a
2020/3/23
例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1， 1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求 实数a、b、c的值. 分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点Q(2，-1) 处的导数为1，于是
4a+b=1 又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c 上，从而
为3π/4，则Ａ的坐标为
.
2020/3/23
解法二、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
x 1 （1，2） 2 （2，5） 5
y，
-
0
+
y3
2
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2
2020/3/23
练习P106、P107 6
2020/3/23
思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5] 内的最小值为2，求m的值
2020/3/23
3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为 12x-3y=16，则点P的坐标为 .
4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( 3 , 3 )，
2020/3/23
导数的定义
导数的几何意义
导数 求导公式与法则
多项式函数的导数
导数的应用
2020/3/23
函数单调性 函数的极值 函数的最值
基本练习
1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的 斜率为( )
(A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8
2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( ) (A)y’=100(x99+x49+x24) (B) y’=100x99 (C) y’=100x99+50x49+25x24 (D) y’=100x99+2x49
(C) (-1,-1)或(1,1)
(D) (-1/2,-1/8)
(2) 若 曲 线 y=x5/5 上 一 点 Ｍ 处 的 切 线 与 直 线
y=3-x垂直，则此切线方程为( )
(A)5x+5y-4=0
(B) 5x-5y-4=0
(C) 5x-5y+4=0
(D)以上皆非
(3)曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角
2020/3/23
用导数法求解函数极值的步骤：
(1) 求导函数f `(x)； (2) 求解方程f `(x)=0； (3) 列表: 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的 左右的符号，并根据符号确定极大值与极小 值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
2020/3/23
函数最值问题.
在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问 题，这就是我们通常所说的最值问题.
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值
表格法
2020/3/23
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
2020/3/23
例1 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值
a+b+c=1且4a+2b+c=-1
2020/3/23
例3 已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点 P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛 物线准线的距离
分析 点P到直线的距离最小时，抛物线在点 P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数 为-1，令P(a,b),于是有：2a= -1.
2020/3/23
(A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1
10、函数y=x3-3x的极大值为( ) (A) 0 (B) 2 (C) +3 (D) 1
2020/3/23
例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在 点x=1处的切线互相平行，求a的值.
分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
则a的取值范围为( )
33
(A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1
2020/3/23
6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A)单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在
2020/3/23
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0 的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0， 那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于
()
(A) 8+2Δt (B) 4+2Δt
(C) 7+2Δt
(D) –8+2Δt
2020/3/23
8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒 时的瞬时速度为( )
(A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81 9、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6， 那么a等于( )
例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定 实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.
思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2， 6]内单调递增，求m的取值范围。
2020/3/23
(1)若曲线y=x3在点Ｐ处的切线的斜率等于
３，则点Ｐ的坐标为( )
(A)(2,8)
(B) (-2,-8)
2020/3/23
求函数最值的一般方法： 一是利用函数性质 二是利用不等式 三今天学习利用导数
2020/3/23
f(x)在闭区间[a,b]上的最值：
(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么它必有最大值和最小值)
(1)求f(x)在区Βιβλιοθήκη Baidu(a,b)内极值(极大值或极小值)