2412垂直于弦的直径(第1课时)
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若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O
A
┌E
D
B
D
600
C
小结
１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦 直径平分弧 =>
直径垂直于弧所对的弦
常用辅助线: 垂直于弦的直径
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
练习
D
O
A
E
C
A
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
B
B
E O
C
A A
CE
O
B
D
O
E
C
D
AE
B
D
O
BA
E
B
C
问 题 ？
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
半 AC圆,重⌒AD合分，⌒别点与AB与C点、⌒BB重D合重，⌒合A．E与BE重合，
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B
∴AM=BM, A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
D
即并直 且径 平分CDA⌒垂B直 及于A⌒C弦BAB，平分弦AB,
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的
C
直线是它的对称轴
（2）弧:线⌒AC段=：B⌒CA,A⌒ED=B=BE⌒D
·O
E
A
B
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个 D
30 °,求弦 AB 的长.
O
6O
A 30°
B
E
M
A
B
C
(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,
交点为 M , 求 弦 AB 的长.
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
那么弦AB的弦心距是_____ 5 3cm
O
D
A
B
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.
必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
A
C
·O
E B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的推论
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A
D
B
r
•
O
一、判断 （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
(1) B
•O
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 （7）平分弦的直径垂直于弦
已知P为⊙O内一点,且OP=2cm,如果⊙O 的半径是3cm,求过P点的最短的弦是多少?
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
A
C
D
Байду номын сангаас
E
。
O
B 第1题图
第2题图
选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1） AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其
中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的
个数为 （ A ）
A
A、3 B、2 C、1 D、0
。 O
C
D
B
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度
（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧 的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵 州桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
∵ OE⊥AC OD⊥AB
∴
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
C
E
·O
A
D
B
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 _______A_B__⊥__C_D__（__或__A_C__=_A_D__，__或__B_C_=__B_D_）_________________， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）
O
A
┌E
D
B
D
600
C
小结
１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦 直径平分弧 =>
直径垂直于弧所对的弦
常用辅助线: 垂直于弦的直径
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
练习
D
O
A
E
C
A
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
B
B
E O
C
A A
CE
O
B
D
O
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C
D
AE
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BA
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C
问 题 ？
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
半 AC圆,重⌒AD合分，⌒别点与AB与C点、⌒BB重D合重，⌒合A．E与BE重合，
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B
∴AM=BM, A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
D
即并直 且径 平分CDA⌒垂B直 及于A⌒C弦BAB，平分弦AB,
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的
C
直线是它的对称轴
（2）弧:线⌒AC段=：B⌒CA,A⌒ED=B=BE⌒D
·O
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A
B
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个 D
30 °,求弦 AB 的长.
O
6O
A 30°
B
E
M
A
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(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,
交点为 M , 求 弦 AB 的长.
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
那么弦AB的弦心距是_____ 5 3cm
O
D
A
B
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.
必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
A
C
·O
E B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的推论
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A
D
B
r
•
O
一、判断 （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
(1) B
•O
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 （7）平分弦的直径垂直于弦
已知P为⊙O内一点,且OP=2cm,如果⊙O 的半径是3cm,求过P点的最短的弦是多少?
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
A
C
D
Байду номын сангаас
E
。
O
B 第1题图
第2题图
选择：
如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1） AB⊥CD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其
中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的
个数为 （ A ）
A
A、3 B、2 C、1 D、0
。 O
C
D
B
(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度
（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧 的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵 州桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
∵ OE⊥AC OD⊥AB
∴
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
C
E
·O
A
D
B
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 _______A_B__⊥__C_D__（__或__A_C__=_A_D__，__或__B_C_=__B_D_）_________________， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）