自动化车床管理

自动化车床管理
摘要：本文主要应用了优化理论和设立目标函数的方法对问题求解，将总损失变量平均到每个产品上来比较，利用MATLAB STATISIC SOFTWARE 对数据进行分析，建立目标函数并利用MATLAB中优化函数(fmins,fmin)进行求解，问题（1），（2）的两组最优解分别为(m=375,n=16); (m=391,n=21)。

对问题（3）我们采用在满足一定条件下的生产过程中，忽略检查的策略，以使效益提高，并求得与问题（2）所采用策略相比，每个换刀周期内，可减少的最大损失为25.0583元。

最后对所得的数据进行了误差分析。

一.问题简述
一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中
刀具损坏故障占95% ，其它故障仅占5%。

工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。

工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。

已知生产工序的费用如下：
故障时产出的零件损失费用f=200元/件；
进行检查的费用t=10元/次；
发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d=3000元/次（包括刀具费）；
未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1000元/次；
(1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计
效益最好的检查间隔（生产多少零件检查依次）和刀具更换策略。

(2) 如果该工序正常时生产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品，而工序故障时产出的零件有40%为合格品，60%为不合格品。

工序正常而误认为有故障停机产生的损失费用为1500元/次对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。

(3) 在(2)的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。

二．合理假设
1）在生产过程中，更换刀具几检查零件排除故障不影响生产；
2）在讨论问题（2）时，股站发生是用检测n件产品中出现的不合格产品几率大于60%来判断，由于工序正常产出的零件有2%不合格，因此可能发生误停机；
3）在讨论问题（3）时，我们认为换刀策略同问题（2）。

三．符号约定
f 为产出的每一件不合格零件损失费用（200元/件）；
t为每次进行检查的费用（10元/次）；
d 为发现故障进行调节使恢复正常的平均费用（3000元/次）（包括刀具费）；
k 为未发现故障时更换一把新刀具的费用（1000元/次）； w 为工序正常而误认为有故障停机的损失费用（1500元/次）；
n 为相邻两次检查间生产的零件个数，即每生产n 个零件检查一次； m 为相邻两次换刀间生产的零件个数，即每生产m 个零件换刀一次； h 为问题（3）目标函数的自变量，其值在0到 m 之间。

四． 问题分析
本问题可以归结为优化问题。

当采用不同的换刀策略和检查策略时，一个换刀周期内生产零件个数m 是不同的，所以换 刀周期内总体损失费用是随m 变化而各异，不能用来比较可以采用单个零件平均损失进行比较； 我们可以考虑，问题的目标函数为平均到每个零件损失费用的函数；为使效益高，就应尽量降低平均每个零件的损失费用。

在一个换刀周期内，总损失费用包括：1）为恢复正常生产排除故障的费用，设为A ；2）刀具没有损坏时换刀的损失费，设为B ；3）不合格产品的损失费，设为C ；4）正常检测零件的平均费用，设为D ；5）产生故障误报哦的停机损失费（问题（2），（3）中考虑）设为 E 。

如果一个换刀周期内平均每个零件的损失费用，用L 表示，则
D m
E
C B A L ++++=
五． 原理与建模
对给定100次刀具故障记录进行分析，可绘出所给数据的频率图（见图1）；由统计学知识，我们可以认为其近似满足正态分布，写出放弃概率密度分布函数：
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧--=
2
22
2)(exp 21)(δμπδ
ϕx x
问题一：设每生产m 个零件换刀一次且每生产n 个零件检测一次，假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，则检测到故障时已生产不合格产品在[1……n]随机出现，其符合0—1分布，因此在最后一次检测间隔内平均生产不合格零件为n/2。

出现故障的损失为A
⎰⋅=m
x d A 0
95.0/)(ϕ；
故障产生后生产零件的损失为 B
⎰⋅⋅=
m x f n
B 095.0/)(2
ϕ；
正常生产换刀的费用为C
⎰
⋅=1300
95.0/)(m
x k C ϕ；
检测零件的平均费用为D
n
t D =
； 问题二：如果该工序正常时生产出的零件不全是合格品，有2%为不合格品，而工序故障时产生的零件有40%为合格品，60%为不合格品。

工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。

由于检测是以n 件产品中出现的不合格品件数大于60%来判断故障发生，因此可能产生误认有故障而停机。

出现故障的损失A 95.0/)(0
⎰
⋅
=m
x d A ϕ；
生产不合格零件（包括正常与鼓掌两种情况下）的损失B
m m
n
x f x f n B m
m
⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅⋅=⎰
⎰)295
.0)(1(02.095.0)(26.00
ϕϕ；
注：
其中m m
n
x f m
⋅⋅
-
⋅⋅⎰
)295
.0)(1(02.00
ϕ为正常情况下生产的不合格零件所引起的损失
m
n
x m
295.0)(0
⋅
⎰
ϕ为不正常情况下生产的不合格零件在m 个零件间隔中比例。

正常生产换刀的费用为C ⎰
⋅=1300
95.0/)(m
x k C ϕ
检测零件的平均费用为D
n
t D =
；
误认为出故障而停机的损失费用E ：
w m
n
E n ⋅=6.0)(
问题三： 前提条件同问题（2）：
生产工序中故障的发生是随机的，其中刀具故障占主体，且刀具损坏故障近似数满足正态分布，那么工序总故障也应近似数满足正态分布，则可能在更新刀具开始后的某段生产过程中发生故障的损失费非常小，甚至比用在这段检查费用的还要小，如果存在的话，可以忽略这一段的检查，以此来提高效益。

由此可用段内的总损失费与段内总检查费之差建立目标函数来判断是否存在这段生产过程；利用MATALB 优化工具箱中fmin （功能；求单变量函数最小值）求值判断。

如果最小值小于零，则存在这段生产过程，且最小值的绝对值是忽略这段检查情况下可节省的最大费用（m 为定值），否则不存在这段生产过程。

六． 计算机求解
1）求解方法
问题（1）的目标函数：
利用MATLAB 优化工具箱中fmin 函数（功能：求单变量函数最小值）
n
m
k x f n d x n m L m
m
1095
.0)
(2
95.0)(),(1300
+
⋅+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
⋅+⋅=
⎰
⎰
ϕϕ 格式：object1_min=fmins(‘object1’,[400,30],[8,1e -10]); 求得：m=375;n=16; 函数值为4.6907;
既换刀策略为每生产m 件产品更新刀具，每生产n 件产品检查一次；在此策略下单个零件损失费用最低为4.6907元/件。

问题（2）的目标函数
⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅-⋅⋅++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛
⋅⋅+⋅=⎰⎰⎰
m n x f n m w m n k x f n d x n m L m
n m m
295.0)(102.01095.0)(26.095.0)(),(06.01300
0ϕϕϕ
利用MATLAB 优化工具箱中fmins 函数（功能：求多变量函数最小值） 格式：object2_min=fmins(‘object2’,[375,16],[8,1e -10]); 求得：m=391;n=21；函数值为8.4014;
既换刀策略为每生产m 件产品更新刀具，每生产n 件产品检查一次；在此策略下单个零件损失费用最低为8.4014元/件。

问题（3）目标函数：（m,n 为问题（2）求得的定值）
h
n m n x f m n w x k n f d x h diff h
n
h
h
⋅-⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅-⋅⋅+⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛
⋅⋅+⋅=
⎰⎰⎰10
295.0)(102.095.0)
(26.095.0)()(06.000ϕϕϕ 利用MA TLAB 优化工具箱中fmins 函数（功能：求多变量函数最小值）
格式：object3_min=fmins(‘object3’,1,600,[8,1e-10]); 求目标函数最小值；求得当x=121时，
有最小值-25.0583,其绝对值是忽略这段检查情况下可节省的最大费用。

（如附图3-1所示）
七． 结果分析
在本文计算中我们用1300作积分上限而不是∞+，主要是从减少计算量来考虑的，由于
000.1)(1300
≈⎰
x ϕ可见这个代替是较为合理的，但也引入了一定的误差。

根据本文的计算方法，画出问题（1），（2）目标函数的等高图，从图中可以看出解得的最优值是比较合理的（附图1-1，2-2）。

由于零件生产事件是离散，而我们在此题中把它当成连续的进行计算，计算后的取整也会给目标函数值带来一定程度的误差。

八． 模型的改进
在问题（3）中，已经提出了一种较为合理解决问题的方法，现在我们再来探讨另一方法，原有的基础上采用一组递减的数列为检查间隔，对后半部进行检测，可使在这段期间生产不合格产品的损失降低，从而进一步提高效益。

参考文献：
[1]沈恒范，概率论与数理统计教程，高等教育出版社，第三版，1995.5
[2]张志涌刘瑞桢杨祖樱，掌握和精通MA TLAB，北京行空航天大学出版社，第一版，1997.8
[3]Duance Hanselman Bruce Littlefield，精通MA TLAB，西安交通大学出版社，第一版，1998.1
[4]中国数学会，数学的实践与认识，1997，第22版
附录：
1 数据处理与程序
data=[459 362 624 542 509 684 433 748 815 505
612 452 434 982 640 742 565 706 493 680
926 653 164 487 754 608 428 1153 493 844
527 552 513 781 474 388 824 538 862 659
775 859 755 649 697 515 628 954 771 309
402 960 885 610 292 837 473 677 358 638
699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120
447 654 564 339 280 246 687 539 790 581
621 724 531 521 577 496 468 499 544 645
764 558 378 765 666 763 217 715 310 851]；
for i=1：12；
data_distributing(i)=sum((data>=(i-1)*100)&(data<(i*100)));
bar(distributing); %画频率直方图如图4-1
object1_min=fimins(‘object’,[300,50],[8,1e-10]); %求目标函数（1）优化值；{求得m=375，n=16 函数值为4.697}
object2_min=fmins(‘object1’,[375,16],[8,1e-10]); %求目标函数（2）优化值；{求得m=391；n=21；函数值为8.4014}
object_min=fmin(‘object3’,1,600,[8,1e-10]);%求目标函数（2）最小值；{求得当x=121时；有最小值-25.0583}
正态分布函数
function f=normal_ff(x)
f=1/sqrt(2*pi*196.629^2)*exp(-(x-600)^2/(2*196.6292^2));
目标函数
function f=object1(x)
areal=quad8(‘normal_ff’,1,x(1));求满足正态分布函数在1到x（1）的积分
area2=quad8(‘normal_ff’,x(1),1300);求满足正态分布函数在x(1)到1300的积分
f=（（area1/0.95）*(3000+x(2)/2*200)+area2/0.95*1000）/x(1)+10/x(2)
目标函数
function f=object2(x)
area1=quad8(‘normal_ff’,1,x(1))求积分;
area2=quad8(‘normal_ff’,x(1),1300);求积分
f=((area1/0.95)*(3000+x(2)/2*200*0.6)+area2/0.95*1000+((x(2)/x(1))^0.6*x(2)))*1500)/x(1)+ 10/x(2)+4*(1-(area1/0.95)*x(2)/(2*x(1)));
目标函数
function f=object3(3)
area1=quad8(‘normal_ff’,1,x);求积分
f=(((area1/0.95)*(3000+21,149/2*200*0.6))+((21.149/x)^(0.6*21.149))*1500)+4*(1-(area1/21.14 9/2*391.54))-x*10/21.149+4);
画等高图所用函数为:
contour()
具体格式如参考文献[2]。