求极限方法

求极限方法

1.利用极限的四则运算法则（只适用于有限项数）：

令

加减：

数乘：（其中c是一个常数）

乘除：

( 其中B≠0 )

幂运算：

极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。

2.利用洛必达法则

洛必达(L'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。

利用洛必达求极限应注意以下几点：

设函数f(x)和F(x)满足下列条件：

（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;

（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))

3.利用两个重要极限：

1、

2、或

应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：

○1分子、分母为无穷小，即极限为0；

②分子上取正弦的角必须与分母一样。

应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：①带有“1”；

②中间是“+”号；

③“+ ”号后面跟无穷小量 ；

④指数和“+ ”号后面的数要互为倒数。

4.利用等价无穷小代换定理

利用此定理求函数的极限时 ，一般只在以乘除形式出现时使用。若以和或差形式出现时，不要轻易代换 ，因为经此代换后 ，往往会改变无穷小之比的阶数。 例：求30tan sin lim sin x x x x →- 由于sin tan sin (1cos )cos x x x x x -=-， 且2

33sin ~(0),1cos ~(0),sin ~(0)2

x x x x x x x x x →-→→ 故有2

3300tan sin 12lim lim 0.5sin cos x x x x x x x x x

→→-==g g 注 ：

（1） 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式

才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有

tan ~x x ，sin ~x x ，而推出 3

300tan sin lim lim 0sin sin x x x x x x x x →→--== 则得到的式错误的结果． （2） 代换时，被代换因式在o x x =上的导数值等于代换式在该点的导数值

5.复合函数求极限

lim [(x)]lim (),u (x),lim (x)o o

x x u a x x f f u a ϕϕϕ→→→===其中

6.无穷小运算法则

（1）有限个无穷小的和差还是无穷小（0）

（2）有限个无穷小的乘积还是无穷小（0）

（3）常数与无穷小的乘积仍是无穷小（0）

（4）有界函数与无穷小的乘积为无穷小（0）

（5）有界函数除以无穷大为0

（6）非零常数乘以无穷大为无穷大

（7）绝对值小于1的数的无穷大次幂为0

（8）绝对值大于1的数的无穷大次幂为无穷大

（9）（0＜绝对值＜1）的数开无穷大次幂为1

7.函数的连续性

当自变量趋于该点时，若函数在该点邻域连续，则函数值的极限与函数在该点所取的值一致。

8.“抓大头”

对于分式求极限，当,,x →∞→∞→∞分母分子时，分子分母同除以最高次项，分出无穷小，再求极限

9.求极限时遇到“0/0”

将分式进行因式分解

10.利用泰勒公式求极限

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n 阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n 次多项式来逼近函数的方法

公式：

（其中 0!=1 ,

表示f(x)的n 阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x 0处的泰勒展开式，剩余的R n (x)是泰勒公式的余项，是(x-x 0)n 的高阶无穷小，及R n (x)为无穷小的余项。）

当x o =0 ，余项为佩亚诺余项（）时，公式化简为：

介绍R n (x)的另一种表达

（其中，θ∈(0,1)，p 为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西

则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有

F(x)≤f(x)≤G(x)

则当X趋近Xo,有lim F(x)≤lim f(x)≤lim G(x)

即A≤lim f(x)≤A

故lim f(Xo)=A

简单的说：函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理。

例：