四 柱坐标系与球坐标系简介

四、球坐標系與柱坐標系簡介

教學目的：

知識目標：瞭解在柱坐標系、球坐標系中刻畫空間中點的位置的方法

能力目標：瞭解柱座標、球座標與直角坐標之間的變換公式。

德育目標：通過觀察、探索、發現的創造性過程，培養創新意識。

教學重點：體會與空間直角坐標系中刻畫空間點的位置的方法的區別和聯繫

教學難點：利用它們進行簡單的數學應用

授課類型：新授課

教學模式：啟發、誘導發現教學.

教 具：多媒體、實物投影儀

教學過程：

一、復習引入：

情境：我們用三個數據來確定衛星的位置，即衛星到地球中心的距離、經度、緯度。

問題：如何在空間裏確定點的位置？有哪些方法？

學生回顧

在空間直角坐標系中刻畫點的位置的方法

極座標的意義以及極座標與直角坐標的互化原理

二、講解新課：

1、球坐標系

設P 是空間任意一點，在oxy 平面的射影為Q ，連接OP ，記| OP |=r ，OP 與OZ 軸正向所夾的角為θ，P 在oxy 平面的射影為Q ，Ox 軸按逆時針方向旋轉到OQ 時所轉過的最小正角為ϕ，點P 的位置可以用有序數組),,(ϕθr 表示，我們把建立上述對應關係的坐標系叫球坐標系(或空間極坐標系)

有序數組),,(ϕθr 叫做點P 的球座標，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。

空間點P 的直角坐標),,(z y x 與球座標),,(ϕθr 之間的變換關係為：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θ

ϕ

θϕθcos sin sin cos sin 2

222r z r y r x r z y x 2、柱坐標系

設P 是空間任意一點，在oxy 平面的射影為Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示點在

平面oxy 上的極座標，點P 的位置可用有序數組(ρ,θ,Z)表示把建立上述對應關係的坐標系叫做柱坐標系

有序數組(ρ,θ,Z)叫點P 的柱座標，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R

空間點P 的直角坐標(x, y, z)與柱座標(ρ,θ,Z)之間的變換關係為：

⎧=x θρcos

3、數學應用

例1建立適當的球坐標系,表示棱長為1的正方體的頂點.

變式訓練

建立適當的柱坐標系, 表示棱長為1的正方體的頂點.

例2.將點M 的球座標)6

5,3,8(ππ化為直角坐標.

變式訓練

1.將點M 的直角坐標)2,1,1(--化為球座標.

2.將點M 的柱座標)8,3,4(π

化為直角坐標.

3.在直角坐標系中點),,(a a a a (＞0)的球座標是什麼?

例3.球座標滿足方程r=3的點所構成的圖形是什麼?並將此方程化為直角坐標方程.

變式訓練

標滿足方程ρ=2的點所構成的圖形是什麼?

例4.已知點M 的柱座標為),3,4,

2(π點N 的球座標為),2

,4,2(ππ求線段MN 的長度.

思考:

在球坐標系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的圖形的體積為多少?

三、鞏固與練習

四、小 結：本節課學習了以下內容：

1．球坐標系的作用與規則；

2．柱坐標系的作用與規則。

五、課後作業：

六、課後反思：本節內容與平面直角坐標和極座標結合起來，學生容易理解。但以後少用，可能會遺忘很快。需要定期調回學生的記憶。