2.数学建模案例
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说明随着积木数量的无限增加，最顶层的积木可以前伸到 无限远的地方。
本题给出的启示
当问题涉及到较多对象时，对考虑的进行合理的分类进行 解决，往往会使问题变得清晰。此外，一些看似不可能的事 情其实并非不可能。
某学院的最初人数见下表,此系设20个学生代表席位 系名 学生数 甲 100 乙 60 60/200 6 丙 40 40/200 4 20 总数 200
总数
200
按比例分配席位 10.815 按惯例席位分配 11
21 21
出现增加一席后,丙系却少一席的情况,说明按惯例 分配席位的方法有缺陷,试建立更合理的分配席位方法.
模型构成
讨论由两个单位公平分配席位的情况，设
单位 单位A 单位B 人数 p1 p2 席位数 n1 n2 每席代表人数 p1/n1 p2/n2
故可以令
pi2 Qi ni ( ni 1)
于是增加的席位分配由Qi的最小值决定。
上面的讨论说明Qk大的一方应该得到新增的一个席 位。这说明我们可由Qk的大小决定新席位的分配。 上面的分配方式可以推广到两个以上单位的情况，此 时有新的席位应该给所有Qk的最大者对应的单位，称用Qk 的最大值决定席位分配的方法为Q值法。
模型假设:(根据上定律做假设)
1.室内的热量传播只有传导(不考虑对流,辐射)； 2.室内温度与室外温度保持不变(即单位时间通过窗户单 位面积的热量是常数)； 3.玻璃厚度一定,玻璃材料均匀(热传导系数是常数)
Ta 符号说明: d:玻璃厚度 T1:室内温度 T2:室外温度 Ta:靠近内层玻璃温度 Tb:靠近外层玻璃的温度 L:玻璃之间的距离 Tb T2 L
为对B的相对不公平值
对某方的不公平值越小，对某方越有利，因此可以用 使不公平值尽量小的分配方案减少分配中的不公平.
来自百度文库
确定分配方案：（使用不公平值的大小来确定分配方案） 假设单位A和单位B的人数分别为p1和p2 ，对应的席位为 n1和 n2 ，再分配一个席位时,有 1.当该席位分配给单位A时有对单位B的不公平值为
T1
k1:玻璃热传导系数
k2:空气热传导系数
模型构成:
由热量守恒定律: 过内层玻璃的热量=过中间空气层的热量=过外层玻璃的热量
T1 Ta Ta Tb Tb T2 Q k1 k2 k1 d L d
消去不方便测量的T1 ,T2,有
T1 T2 k1 L Q k1 , s h ,h d (s 2) k2 d
对只有两块积木的叠放，注 意到，此时使叠放后的积木 平衡主要取决于上面的积木， 而下面的积木只起到支撑作 用。假设在叠放平衡的前提 下，上面的积木超过下面积 木右端的最大前伸距离为x。
x
上面积木在位移最大且不掉下来的中心坐标为x=1/2(因为积 木的长度是1)，于是，上面的积木可以向右前伸的最大距离 为1/2。
1.把上面的n块积木看作一个整体，记它的重心水平坐标
x 。n块积木的质量
为n。在平衡的前提下，上面的n块积木的水平重心应该恰好在最底层积木的
右端，即有 x 0 ； 2.假设第n块积木超过最底层积木右端的最大前伸距离为z,在保证平衡的前提 下，从最高层开始的前n-1块积木的总重心的水平坐标为z，即有 x1=z，而第 n块积木的水平重心在距第n块积木左端的处，于是在图的坐标系下，有第n 1 块积木的水平重心坐标为 x2 z 。由重心的关系，有 2
对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d的单层 玻璃,有热传导:
T1 T2 Q k1 , 2d
而
Q 2 , Q Q Q s 2
说明双层玻璃比单层玻璃保温! 为得定量结果,考虑的s的值,查资料有 常用玻璃:k1=410-3
810-3 (焦耳/厘米.秒.度)
-4
静止的干燥空气:k2=2.510
4
20
20
比例分配出现小数时,先按整数分配席位,余下 席位按小数的大小依次分配之.
为改变总席位为偶数出现表决平局现象,决定增加 一席,总席位变为21个学生代表席位,还按惯例分配席 位,有
系名
学生数 学生人数比例
甲
103 103/200
乙
63 63/200 6.615 7
丙
34 34/200 3.57 3
北方城镇的窗户玻璃是双层的, 这样做主要是为室内保温目的,试用 数学建模的方法给出双层玻璃能减 少热量损失的定量分析结果。
模型准备:
热量的传播形式,温度,与热量传播的有关结果: 厚度为d的均匀介质,两侧温度差为T,则单位时间由 温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与 T成正比,与d成反比,即:Q=k T/d k为热传导系数.（物理定律）
1 z (n 1) ( z ) x1 (n 1) x2 1 2 0 x n n
1 1 z (n 1) ( z ) 0 z 2 2n
设从第n+1块积木的右端到第1块积木的右端最远距离为 dn+1，则有
1 1 1 d n1 2 4 2n
最后的席位分配为： 甲 １１席；乙 ６席；丙 ４席
注：若一开始就用Q值分配，以n1=n2=n3=1逐次增加 一席，也可以得到同样的结果。该方法可以推广到 一般情况。
甲有玉米若干千克，乙有山羊 若干只。因为各自的需要，甲 乙想交换彼此的东西，问怎样 做才能完成交换活动？
模型准备
实物交换问题在个人之间或国家之间的 各类贸易中经常遇到。通常，交换的结果 取决于交换双方对所交换物品的偏爱程度。 由于偏爱程度是一个模糊概念，较难给出 一个确切的定量关系，此时，可以采用图 形法建模的方式来描述双方如何交换物品 才能完成交换活动。
模型假设
• 交换不涉及其他因素，只与交换双方 对所交换物品的偏爱程度有关 • 交换按等价交换原则进行
模型构成
设交换前甲有玉米为X千克，乙有山羊Y只，交换后甲 有玉米为x千克、山羊y只。 在交换后乙有玉米为X - x千克、山羊Y - y只，于是可 以用一个平面坐标中的二维点坐标（x, y）描述一种交换 方案，而这些坐标点满足 0 x X, 0 y Y 即交换只在这个平面矩形区域内发生。
第２０席的分配由Q值决定
103 2 Q1 96 .4 10 11 应该将席位分给甲 63 2 Q2 94 .5 67 34 2 Q3 96 .3 3 4
第２１席的分配由Q值决定为
103 2 Q1 80 .4 11 12 应该将席位分给丙 63 2 Q2 94 .5 67 34 2 Q3 96 .3 3 4
下面我们就n+1（n>1）块积木的叠放问题来讨论。 假设增加的一块积木插入最底层积木后，我们选择这 底层积木的最右端为坐标原点建立如图坐标系（见图）。 考虑上面的n块积木的重心关系。 把上面的n块积木分成两部分 1. 从最高层开始的前n-1块积木， 记它们的水平重心为x1,总质 量为n-1; 2. 与最底层积木相连的第n块积 木, 记它的水平重心为x2,质 量为1.
衡量偏爱程度的无差别曲线概念
无差别曲线表示为 f (x, y) = c，c称为在点(x, y)的满意度。
无差别曲线是一条由隐函数确定的平面曲线 或可以看成二元函数f (x, y)的等高线，虽然f (x, y) 没有具体的表达式，但我们可以讨论这族无差别 曲线的特点。
无差别的曲f(x, y) = c的特点:
学生人数比例 100/200 席位分配 10
按比例分配方法:分配人数=学生人数比例总席位
若出现学生转系情况：
系名 学生数 学生人数比例
甲 103 103/200
乙 63 63/200
丙 34 34/200
总数 200
按比例分配席位 10.3
按惯例席位分配 10 惯例席位分配方法为:
6.3
6
3.4
究竟这个新席位应该分给哪一方，用这两个新的不公平值 来决定。为得出一个便于使用的分配公式，我们从分配的结 果来寻找这个新的分配公式。 若rB(n1+1,n2)<rA (n1,n2+1),用不公平值的公式应该有增 加的一席应给A，对应的不等式为
2 2 p2 p1 n2 ( n2 1) n1 ( n1 1)
=10 , p1 =1020 , p2=1000,
采用相对标准定义席位分配的相对不公平标准公式：
p1 p 2 n1 n2 rA ( n1 , n2 ) p2 n2 p2 p 1 n2 n1 rB ( n1 , n2 ) p1 n1
p1 p2 若 , 定义 n1 n2
为对A的相对不公平值 p2 p1 若 , 定义 n2 n1
p2 p 1 n n1 1 (n1 1) p 2 rB (n1 1, n 2 ) 2 1 p1 p1 n 2 n1 1
2.当该席位分配给单位B 时有对单位A的不公平值为
p1 p2 n n 2 1 (n 2 1) p1 r A (n1 , n 2 1) 1 1 p2 p 2 n1 n2 1
对多个单位（m个单位）的席位分配Q值法可以描述为： 1．先计算每个单位的Q值： Qk , k=1,2,…,m 2．求出其中最大的Q值Qi（若有多个最大值任选其中一个 即可）； 3．将席位分配给最大Q值Qi对应的第i个单位。 这种分配方法很容易编程处理。
模型求解
先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。 本问题的整数名额共分配了１９席，具体为 甲 乙 丙 10.815 6.615 3.570 n1=10 n2=6 n3=3
要公平,应该
p1 p2 n1 n2
但
p1 p2 n1 n2
一般不成立！
若p1/n1 > p2/n2 则单位A 吃亏(对单位A不公平 ) 若p1/n1 < p2/n2 则单位B 吃亏(对单位B不公平 ) 用
p1 p2 p n1 n2
来衡量分配不公平程度
但此公式有不足之处（绝对数的特点），如： n1 =n2 n1 =n2 =10 , p1 =120 , p2=100, p=2 p=2
n n
x i 1
mi x i
i 1
mi
n
,
y i 1
mi y i
i 1
mi
n
模型假设
•
•
所有积木的长度和重量均为一个单位
参与叠放的积木有足够多
•
•
每块积木的密度都是均匀的，密度系数相同
最底层的积木可以完全水平且平稳地放在地面上
模型构成
1．考虑两块积木的叠放情况
模型构成
2．考虑n块积木的叠放情况
为有利于问题的讨论，我们把前两块搭好 的积木看作一个整体且不再移动它们之间的 相对位置，而把增加的积木插入在最底下的 积木下方。于是，我们的问题又归结为两块 积木的叠放问题，不过，这次是质量不同的 两块积木叠放问题。
这个处理可以推广到n+1块积木的叠放问题：即假 设已经叠放好n（n>1）块积木后，再加一块积木的怎样 叠放问题。
模型应用:
通常取h4,有Q/Q'3%,此 时双层玻璃比单层玻璃避免 热量损失达97%
将一块积木作为基础，在 它上面叠放其他积木，问上 下积木之间的“向右前伸” 可以达到多少？
模型准备
这个问题涉计到重心的概念
关于重心的结果有：
设xoy平面上有n个质点，它们的坐标分别为 (x1 ,y1)，(x2 ,y2)，…, (xn ,yn)，对应的质量分别为 m1,m2,…, mn, 则该质点系的重心坐标满足关系式
(焦耳/厘米.秒.度)
若取最保守的估计,有
k1 Q 1 L 16, ,h k2 Q 8h 1 d
显然Q/Q'可以反映双层玻璃在减少热量损失 的功效,它是h的函数. 从图形考察它的取值情况.
此函数无极小值,从图中可知: 当h从0变大时,Q/Q'迅速下降,但 h超过4后下降变慢. h不易选择过大,以免浪费材料!
1.无差别曲线是彼此不相交的； 2.无差别取曲线是单调递减的； 3.满意度大的无差别曲线在满意度小的无差别曲线上方 4.无差别曲线是下凸的。
实际交换究竟在交换路径曲线MN的哪一点上发生，要借 助交换的原则。由假设2，交换按等价交换的原则。 设玉米的价格为每千克p元，山羊的价格为每只q元，则 有交换前甲方拥有玉米的价值为pX, 乙方拥有山羊的价值为 qY。若交换前甲乙拥有物品的价值相同，即 pX=qY 则交换发生后，甲方拥有玉米和山羊的价值为 px+qy 乙方拥有玉米和山羊的价值为 p(X-x)+q(Y-y) 按按等价交换的原则应该有 px+qy=p(X-x)+q(Y-y) 用关系pX=qY，可得实际交换的点（x,y）满足关系式： x/X+y/Y = 1
本题给出的启示
当问题涉及到较多对象时，对考虑的进行合理的分类进行 解决，往往会使问题变得清晰。此外，一些看似不可能的事 情其实并非不可能。
某学院的最初人数见下表,此系设20个学生代表席位 系名 学生数 甲 100 乙 60 60/200 6 丙 40 40/200 4 20 总数 200
总数
200
按比例分配席位 10.815 按惯例席位分配 11
21 21
出现增加一席后,丙系却少一席的情况,说明按惯例 分配席位的方法有缺陷,试建立更合理的分配席位方法.
模型构成
讨论由两个单位公平分配席位的情况，设
单位 单位A 单位B 人数 p1 p2 席位数 n1 n2 每席代表人数 p1/n1 p2/n2
故可以令
pi2 Qi ni ( ni 1)
于是增加的席位分配由Qi的最小值决定。
上面的讨论说明Qk大的一方应该得到新增的一个席 位。这说明我们可由Qk的大小决定新席位的分配。 上面的分配方式可以推广到两个以上单位的情况，此 时有新的席位应该给所有Qk的最大者对应的单位，称用Qk 的最大值决定席位分配的方法为Q值法。
模型假设:(根据上定律做假设)
1.室内的热量传播只有传导(不考虑对流,辐射)； 2.室内温度与室外温度保持不变(即单位时间通过窗户单 位面积的热量是常数)； 3.玻璃厚度一定,玻璃材料均匀(热传导系数是常数)
Ta 符号说明: d:玻璃厚度 T1:室内温度 T2:室外温度 Ta:靠近内层玻璃温度 Tb:靠近外层玻璃的温度 L:玻璃之间的距离 Tb T2 L
为对B的相对不公平值
对某方的不公平值越小，对某方越有利，因此可以用 使不公平值尽量小的分配方案减少分配中的不公平.
来自百度文库
确定分配方案：（使用不公平值的大小来确定分配方案） 假设单位A和单位B的人数分别为p1和p2 ，对应的席位为 n1和 n2 ，再分配一个席位时,有 1.当该席位分配给单位A时有对单位B的不公平值为
T1
k1:玻璃热传导系数
k2:空气热传导系数
模型构成:
由热量守恒定律: 过内层玻璃的热量=过中间空气层的热量=过外层玻璃的热量
T1 Ta Ta Tb Tb T2 Q k1 k2 k1 d L d
消去不方便测量的T1 ,T2,有
T1 T2 k1 L Q k1 , s h ,h d (s 2) k2 d
对只有两块积木的叠放，注 意到，此时使叠放后的积木 平衡主要取决于上面的积木， 而下面的积木只起到支撑作 用。假设在叠放平衡的前提 下，上面的积木超过下面积 木右端的最大前伸距离为x。
x
上面积木在位移最大且不掉下来的中心坐标为x=1/2(因为积 木的长度是1)，于是，上面的积木可以向右前伸的最大距离 为1/2。
1.把上面的n块积木看作一个整体，记它的重心水平坐标
x 。n块积木的质量
为n。在平衡的前提下，上面的n块积木的水平重心应该恰好在最底层积木的
右端，即有 x 0 ； 2.假设第n块积木超过最底层积木右端的最大前伸距离为z,在保证平衡的前提 下，从最高层开始的前n-1块积木的总重心的水平坐标为z，即有 x1=z，而第 n块积木的水平重心在距第n块积木左端的处，于是在图的坐标系下，有第n 1 块积木的水平重心坐标为 x2 z 。由重心的关系，有 2
对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d的单层 玻璃,有热传导:
T1 T2 Q k1 , 2d
而
Q 2 , Q Q Q s 2
说明双层玻璃比单层玻璃保温! 为得定量结果,考虑的s的值,查资料有 常用玻璃:k1=410-3
810-3 (焦耳/厘米.秒.度)
-4
静止的干燥空气:k2=2.510
4
20
20
比例分配出现小数时,先按整数分配席位,余下 席位按小数的大小依次分配之.
为改变总席位为偶数出现表决平局现象,决定增加 一席,总席位变为21个学生代表席位,还按惯例分配席 位,有
系名
学生数 学生人数比例
甲
103 103/200
乙
63 63/200 6.615 7
丙
34 34/200 3.57 3
北方城镇的窗户玻璃是双层的, 这样做主要是为室内保温目的,试用 数学建模的方法给出双层玻璃能减 少热量损失的定量分析结果。
模型准备:
热量的传播形式,温度,与热量传播的有关结果: 厚度为d的均匀介质,两侧温度差为T,则单位时间由 温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与 T成正比,与d成反比,即:Q=k T/d k为热传导系数.（物理定律）
1 z (n 1) ( z ) x1 (n 1) x2 1 2 0 x n n
1 1 z (n 1) ( z ) 0 z 2 2n
设从第n+1块积木的右端到第1块积木的右端最远距离为 dn+1，则有
1 1 1 d n1 2 4 2n
最后的席位分配为： 甲 １１席；乙 ６席；丙 ４席
注：若一开始就用Q值分配，以n1=n2=n3=1逐次增加 一席，也可以得到同样的结果。该方法可以推广到 一般情况。
甲有玉米若干千克，乙有山羊 若干只。因为各自的需要，甲 乙想交换彼此的东西，问怎样 做才能完成交换活动？
模型准备
实物交换问题在个人之间或国家之间的 各类贸易中经常遇到。通常，交换的结果 取决于交换双方对所交换物品的偏爱程度。 由于偏爱程度是一个模糊概念，较难给出 一个确切的定量关系，此时，可以采用图 形法建模的方式来描述双方如何交换物品 才能完成交换活动。
模型假设
• 交换不涉及其他因素，只与交换双方 对所交换物品的偏爱程度有关 • 交换按等价交换原则进行
模型构成
设交换前甲有玉米为X千克，乙有山羊Y只，交换后甲 有玉米为x千克、山羊y只。 在交换后乙有玉米为X - x千克、山羊Y - y只，于是可 以用一个平面坐标中的二维点坐标（x, y）描述一种交换 方案，而这些坐标点满足 0 x X, 0 y Y 即交换只在这个平面矩形区域内发生。
第２０席的分配由Q值决定
103 2 Q1 96 .4 10 11 应该将席位分给甲 63 2 Q2 94 .5 67 34 2 Q3 96 .3 3 4
第２１席的分配由Q值决定为
103 2 Q1 80 .4 11 12 应该将席位分给丙 63 2 Q2 94 .5 67 34 2 Q3 96 .3 3 4
下面我们就n+1（n>1）块积木的叠放问题来讨论。 假设增加的一块积木插入最底层积木后，我们选择这 底层积木的最右端为坐标原点建立如图坐标系（见图）。 考虑上面的n块积木的重心关系。 把上面的n块积木分成两部分 1. 从最高层开始的前n-1块积木， 记它们的水平重心为x1,总质 量为n-1; 2. 与最底层积木相连的第n块积 木, 记它的水平重心为x2,质 量为1.
衡量偏爱程度的无差别曲线概念
无差别曲线表示为 f (x, y) = c，c称为在点(x, y)的满意度。
无差别曲线是一条由隐函数确定的平面曲线 或可以看成二元函数f (x, y)的等高线，虽然f (x, y) 没有具体的表达式，但我们可以讨论这族无差别 曲线的特点。
无差别的曲f(x, y) = c的特点:
学生人数比例 100/200 席位分配 10
按比例分配方法:分配人数=学生人数比例总席位
若出现学生转系情况：
系名 学生数 学生人数比例
甲 103 103/200
乙 63 63/200
丙 34 34/200
总数 200
按比例分配席位 10.3
按惯例席位分配 10 惯例席位分配方法为:
6.3
6
3.4
究竟这个新席位应该分给哪一方，用这两个新的不公平值 来决定。为得出一个便于使用的分配公式，我们从分配的结 果来寻找这个新的分配公式。 若rB(n1+1,n2)<rA (n1,n2+1),用不公平值的公式应该有增 加的一席应给A，对应的不等式为
2 2 p2 p1 n2 ( n2 1) n1 ( n1 1)
=10 , p1 =1020 , p2=1000,
采用相对标准定义席位分配的相对不公平标准公式：
p1 p 2 n1 n2 rA ( n1 , n2 ) p2 n2 p2 p 1 n2 n1 rB ( n1 , n2 ) p1 n1
p1 p2 若 , 定义 n1 n2
为对A的相对不公平值 p2 p1 若 , 定义 n2 n1
p2 p 1 n n1 1 (n1 1) p 2 rB (n1 1, n 2 ) 2 1 p1 p1 n 2 n1 1
2.当该席位分配给单位B 时有对单位A的不公平值为
p1 p2 n n 2 1 (n 2 1) p1 r A (n1 , n 2 1) 1 1 p2 p 2 n1 n2 1
对多个单位（m个单位）的席位分配Q值法可以描述为： 1．先计算每个单位的Q值： Qk , k=1,2,…,m 2．求出其中最大的Q值Qi（若有多个最大值任选其中一个 即可）； 3．将席位分配给最大Q值Qi对应的第i个单位。 这种分配方法很容易编程处理。
模型求解
先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。 本问题的整数名额共分配了１９席，具体为 甲 乙 丙 10.815 6.615 3.570 n1=10 n2=6 n3=3
要公平,应该
p1 p2 n1 n2
但
p1 p2 n1 n2
一般不成立！
若p1/n1 > p2/n2 则单位A 吃亏(对单位A不公平 ) 若p1/n1 < p2/n2 则单位B 吃亏(对单位B不公平 ) 用
p1 p2 p n1 n2
来衡量分配不公平程度
但此公式有不足之处（绝对数的特点），如： n1 =n2 n1 =n2 =10 , p1 =120 , p2=100, p=2 p=2
n n
x i 1
mi x i
i 1
mi
n
,
y i 1
mi y i
i 1
mi
n
模型假设
•
•
所有积木的长度和重量均为一个单位
参与叠放的积木有足够多
•
•
每块积木的密度都是均匀的，密度系数相同
最底层的积木可以完全水平且平稳地放在地面上
模型构成
1．考虑两块积木的叠放情况
模型构成
2．考虑n块积木的叠放情况
为有利于问题的讨论，我们把前两块搭好 的积木看作一个整体且不再移动它们之间的 相对位置，而把增加的积木插入在最底下的 积木下方。于是，我们的问题又归结为两块 积木的叠放问题，不过，这次是质量不同的 两块积木叠放问题。
这个处理可以推广到n+1块积木的叠放问题：即假 设已经叠放好n（n>1）块积木后，再加一块积木的怎样 叠放问题。
模型应用:
通常取h4,有Q/Q'3%,此 时双层玻璃比单层玻璃避免 热量损失达97%
将一块积木作为基础，在 它上面叠放其他积木，问上 下积木之间的“向右前伸” 可以达到多少？
模型准备
这个问题涉计到重心的概念
关于重心的结果有：
设xoy平面上有n个质点，它们的坐标分别为 (x1 ,y1)，(x2 ,y2)，…, (xn ,yn)，对应的质量分别为 m1,m2,…, mn, 则该质点系的重心坐标满足关系式
(焦耳/厘米.秒.度)
若取最保守的估计,有
k1 Q 1 L 16, ,h k2 Q 8h 1 d
显然Q/Q'可以反映双层玻璃在减少热量损失 的功效,它是h的函数. 从图形考察它的取值情况.
此函数无极小值,从图中可知: 当h从0变大时,Q/Q'迅速下降,但 h超过4后下降变慢. h不易选择过大,以免浪费材料!
1.无差别曲线是彼此不相交的； 2.无差别取曲线是单调递减的； 3.满意度大的无差别曲线在满意度小的无差别曲线上方 4.无差别曲线是下凸的。
实际交换究竟在交换路径曲线MN的哪一点上发生，要借 助交换的原则。由假设2，交换按等价交换的原则。 设玉米的价格为每千克p元，山羊的价格为每只q元，则 有交换前甲方拥有玉米的价值为pX, 乙方拥有山羊的价值为 qY。若交换前甲乙拥有物品的价值相同，即 pX=qY 则交换发生后，甲方拥有玉米和山羊的价值为 px+qy 乙方拥有玉米和山羊的价值为 p(X-x)+q(Y-y) 按按等价交换的原则应该有 px+qy=p(X-x)+q(Y-y) 用关系pX=qY，可得实际交换的点（x,y）满足关系式： x/X+y/Y = 1