对数函数及其性质教案第二课时

对数函数及其性质（二）

教学过程

一、 复习引入： 1．对数函数的定义：

函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．

2、对数函数的性质：

1． 函数y =x +a 与x y a log =的图象可能是__________

二、新授内容：

例1．比较下列各组中两个值的大小：

③

⑴6log ,7log 76； ⑵8.0log ,log 23π． （3）6log ,7.0,6

7.067

.0

解：⑴16log 7log 66=> ，17log 6log 77=<，6log 7log 76>∴．

⑵01log log 33=>π ，01log 8.0log 22=<，8.0log log 23>∴π．

小结1：引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小． 练习： 1．比较大小（备用题）

⑴3.0log 7.0log 4.03.0<； ⑵2

1

6.04.3318.0log

7.0log -

⎪⎭

⎫

⎝⎛<<； ⑶1.0log 1.0log 2.03.0> ． 例2．已知x =

4

9

时，不等式 log a (x 2 – x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x =

4

9

使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )3492)49(1[2+⋅+⋅

即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16

39

. 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1.

∴原不等式可化为⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ， 解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

<<-<<->-<2513121x x x x 或.

故使不等式成立的x 的取值范围是)2

5

,

2( 例3．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[a ，2a]上的最大值是最小值的3倍，

求a 的值。 （4

2=a ） 例4．求证：函数f (x ) =x

x

-1log 2在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2) – f (x 1) = 212

221log log 11x x x x ---21221

(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21

122x x x x --⋅

∵0＜x 1＜x 2＜1，∴

12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2

1

12211log x x x x --⋅＞0，

∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数

例5．已知f (x ) = log a (a – a x ) (a ＞1).

（1）求f (x )的定义域和值域； （2）判证并证明f (x )的单调性.

解：（1）由a ＞1，a – a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为(1, +∞)， 而a x ＜a ，可知0＜a – a x ＜a ， 又a ＞1. 则log a (a – a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1).

（2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1， ∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a ＜2x a ，

∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )，即f (x 1)＜ f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数. 例7．（备选题） 求下列函数的定义域、值域：

⑴)52(log 2

2++=x x y ； ⑵)54(log 2

3

1++-=x x y ；

解：⑴∵44)1(5222≥++=++x x x 对一切实数都恒成立， ∴函数定义域为R ． 从而24log )52(log 22

2=≥++x x 即函数值域为),2[+∞．

⑵要使函数有意义，则须： 510540542

2<<-⇒<--⇒>++-x x x x x ，

由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2=++-x x ， ∴ 95402

≤++-≤x x ．

从而 29log )54(log 3

12

3

1-=≥++-x x 即：值域为2-≥y ，

∴定义域为[-1,5]，值域为),2[+∞-．

例8．（备选题）已知f (x ) = log a x (a ＞0，a ≠1)，当0＜x 1＜x 2时， 试比较)2(

21x x f +与)]()([2

1

21x f x f +的大小，并利用函数图象给予几何解释. 【解析】因为12121(

)[()()]22x x f f x f x +-+12121

log [log log ]22

a a a x x x x +=-+ =2

121212

12log log 2

log x x x x x x x x a

a a

+=-+ 又0＜x 1＜x 2，

∴x 1 + x 2 – 222121)(x x x x -=＞0， 即x 1 + x 2＞221x x ， ∴

2

1212x x x x +＞1.

于是当a ＞1时，2

1212log x x x x a

+＞0. 此时)2(

21x x f +＞)]()([2

1

21x f x f + 同理0＜a ＜1时)2(

21x x f +＜)]()([2

1

21x f x f + 或：当a ＞1时，此时函数y = log a x 的图象向上凸. 显然，P 点坐标为)2(

21x x f +，又A 、B 两点的中点Q 的纵坐标为2

1

[ f (x 1) + f (x 2)]，