第10讲 光学谐振腔-纵模、横模 张

q 2 L / 3.16 106
10.1.3 腔内的多纵模振荡
• 某个纵模νq能够在腔内存在必须满足以下条件：
q q –满足腔内谐振频率条件： 2 L
c
–Νq必须落在激活介质发光的原子谱线内，此时激活介 质才能对该纵模提供增益； –满足振荡阈值条件 G L ；
0

Baidu Nhomakorabea
• 在光学谐振腔中能够存在的
• 我们关心的问题：在由无侧面的共轴反射镜 构成的开放光学谐振腔区域中，是否存在不 随时间变化的稳定的电磁场分布？ • 如何求出这个分布的具体形式？ • 在考察光学谐振腔中电磁场的分布时，我们 首先关心的是镜面上的分布，因为镜面一般 作为激光输出窗口，而输出激光的场分布就 直接与镜面上的场分布有关。
• 假设初始时在镜面1上有分布为u1的电磁场从镜面1向镜面 2传输，经过一次渡越，在镜面2上有分布为u2的场，在经 过反射后再次渡越回到镜面1时场的分布为u3，如此反复。 • 受到各种损耗的影响，不仅每次渡越会造成能量的衰减， 而且振幅横向分布也会由于衍射损耗的存在而发生改变； • 由于衍射损耗仅发生在镜面的边缘，因此只有中心振幅大， 边缘振幅小的场才会尽可能少的受到衍射损耗的影响。经 过多次渡越后，这样的模式除了振幅整体下降，其横向分 布将不发生变化，即在腔内往返传输一次后可以“再现” 出发时的振幅分布。
非均匀球面波；
u ( x ', y ')
10.3 开腔衍射理论分析
• 将该公式应用于研究谐振腔问题，它描述了镜面S1上光场 u1(x’,y’)经过衍射后在镜面S2上面形成光场分布u2; • 要做出如下假设：
L a 在小角度近似下有：u ( x ', y ') – 1、 1 (1 cos ) / 2 / L 并且在此 情况下可以将光场的两种偏 振状态作为独立变量分别求解； a ，被积函数中的指 – 2、 数因子eik 不能简单将ρ用L代 替，只能根据不同谐振腔情况 S1 来简化； – 3、腔内振幅衰减是缓慢的；
• 孔阑传输线
• 开腔物理模型中衍射的作用
– 腔内会随机的产生各种不同的模，而衍射效应将其中可以实现自 再现的模式选择出来； – 由于衍射的影响，镜面上每一点的电磁场都可以视作前一个镜面 上每一点作为次级子波源发出光波场的叠加，因此每点的相位之 间的关联就越来越紧密，即相干性越来越好；
10.3 开腔衍射理论分析
10.2 开腔模式的物理概念
• 将开腔中这种经一次往返可再现的稳定电 磁场分布称为开腔的自再现模； • 自再现模经一次往返所发生的能量损耗定 义为模的往返损耗，它等于衍射损耗； • 自再现模经一次往返所产生的相位差定义 为往返相移，往返相移应为2π的整数倍， 这是由腔内模的谐振条件决定的。
10.2 开腔模式的物理概念
（1）光腔ABCD矩阵 （2）光束匹配，自再现，ABCD法则，q参数。 第二类，g参数，0＜g1g2＜1最常用，尽量用。 第三类 图像法
（1）双曲线图，最常用，记住。
（2）σ圆法。
10.1 光学谐振腔的纵模（平平腔）
• 平平腔的驻波
– 均匀平面波近似
一般的开放式光学谐振腔都满足条件：a , L 在满足该条件时，可以将均匀平面波认为是腔内存在的稳 定电磁场的本征态，为平行平面腔内的电磁场提供一个粗 略但是形象的描述； 严格的理论证明，只要满足条件 a 2 / L 1 ，则腔内损耗 最低的模式仍可以近似为平面波，而 a 2 / L 是光腔的菲涅 尔数，它描述了光腔衍射损耗的大小。
• • • •
光腔三-------三组合记忆方法 平----平，平---凹，平---凸 凹----平，凹----凹，凹---凸 凸-----平，凸-----凹， 凸---凸
• 最多6种组合 • 常用4种：平--平，平---凹，凹----凹，凹---凸
光腔判定----总结经验
第一类，A+D法，两种判据
L ' L q
0q
2
或 0 q q
c 2 L
0q – 上式意味着一定长度的谐振腔只能对一定频率的光波形成正反馈， 为腔的谐振频率，同时表明腔内的谐振频率是分立的。
10.1.1平平腔的驻波
• 当发生谐振时，腔内的光学长度为光波半波长的整数倍，这 是腔内驻波的特征。 L ' L • 当腔内为均匀的折射率为 的物质时有： c q q 2 L 其中L为腔的几何长度，则 L q q / 2 ， 其中的 q 0q / 是物质中的谐振波长。 • 当腔内物质为分段均匀，则有： L ' iLi
i
• 当物质沿轴线分布不均匀时有：
L ' dL ' ( z )dz
0 L
工作物质 L1 L2 L3
10.1.2 光学谐振腔中的纵模
• 将腔内稳定存在的、由整数q表征的光波纵向分布称 为腔的纵模(Longitudinal mode)。在简化模型中，q 单值的决定模的谐振频率。 • 腔的两相邻纵模的频率之差称为纵模间隔：
10.1.1 自由空间中的驻波
自由空间中的驻波 沿z方向传播的平面波可以表示为： e1( z, t ) E 0 cos 2 ( t z / ) 发生重叠时的电磁场分布为： 沿-z方向传播的平面波为： e2( z, t ) E 0 cos 2 ( t z / )
e e1 e2 2E0 cos 2 z / cos 2 t
• 菲涅尔-基尔霍夫衍射积分
– 惠更斯-菲涅尔原理：波前上每一点都可以看成 是新的波源，发出次级子波，空间中的任意一 点的光场就是这些子波在该点相干叠加的结果； – 该原理是研究光学衍射现象的基础，因此也必 然是开腔模式的物理基础； – 该原理的数学表达式是基尔霍夫衍射积分方程；
10.3 开腔衍射理论分析
激光原理与技术·原理部分
第10讲 光学谐振腔：纵模、横模
9.1.3光学谐振腔稳定性判别
稳定性简单判别法
– 若一个反射面的曲率中心与其顶点的连线与第二个 反射面的曲率中心或反射面本身二者之一相交，则
O2
R1
R2
O1
为稳定腔；
– --R1和O2相交，或者O1在M2外面和M2相交
– 若和两者同时相交或者同时不相交，则为非稳腔；
• 如图所示谐振腔: – 画出其等效透镜序列。如果光线从 薄透镜右侧开始，反时针传播，标 出光线的一个往返传输周期; – 求当d /F(F 是透镜焦距)满足什么条 件时，谐振腔为稳定腔;
本周作业
第二章习题 19 第三章习题 1，4，6（第6题，只求纵模间距）
10.2.0 开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法
u 2 ( x, y )


S2 L
10.3 开腔衍射理论分析
• 经过q次传播后：
• 将第一个假设带入其中有： i ik uq 1( x, y ) u ( x ', y ') e ds ' q S L 1 • 由开腔理论中描述的自再现模的定义可知，在开腔内稳定 传输的光波模式应满足关系： 1 u uq q 1 • 在稳定情况下，uq从镜面S1传播到S2时，除 1 了一个表示振幅衰减和相位移动的、与坐标 uq 2 uq 1 无关的复常数因子γ外， 其分布能够被 uq+1再现。
10.2 开腔模式的物理概念
• 开腔中有多种损耗：
– 由于反射镜尺寸有限，在反射镜边界处引起的衍 射损耗，该损耗会影响开腔中振荡的激光模式的 横向分布； – 反射镜不完全反射、介质吸收等因素引起的损耗 不影响模式的横向分布；
• 开腔的理想模型：两块反射镜片处于均匀的 各向同性介质中；
10.2 开腔模式的物理概念
c q q 1 q 2L '
• 对于腔内是均匀介质的谐振腔 L ' L 则有：
q c 2 L
10.1.2 光学谐振腔中的纵模
• 例：
– 对于L=10 cm的气体激光器，η=1，则有 q 1.5 10 Hz ；
9 6 – 对于L=100 cm的气体激光器， q 150 10 Hz ；
– 对于L=10 cm，η=1.76的固体激光器， q 850 106 Hz ；
• 当其他参数固定时，光腔的腔长增加，频率间隔减小； • 对于微波腔，其尺寸可以与波长相比拟，则在腔中只会激 发低阶本征模式，而在光学谐振腔中， L ，它工作在 极高的谐波上，既q是一个很大的整数。 例如L=100cm，λ=632.8nm的He-Ne激光器：
– 驻波频率为平面波频率，而且可以为任意值。
10.1.1平平腔的驻波
• 平行平面腔中的驻波
– 当光波在腔镜上反射时，入射波与反射波发生干涉，而多次往复反射形 成的多光束干涉，稳定的振荡要求干涉加强，发生相长干涉的条件为： 波从某一点出发，经腔内往返一次再回到原位时，相位应与初始出发时 相差2π的整数倍。 2 4 2 L ' L q 2 – 以Δφ表示往返一周后的相位差： – 其中的q为任意正整数，将满足上式的波长以 0 q 来标记，则有：
– 为什么用菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式？
– 其中k=2π/λ为波矢的模，也称为波数； – dS’是S面上的面积元； – ρ为源点与P点之间连线的长度；
S
n

P
( x ', y ')
dS’

– θ为源点处S面法线与P点连线之间的夹角；
–
eik / 表示球面波，(1+cosθ)为倾斜因子，表示
– 设已知空间某一曲面S上光波场的振幅和相位分布函数为u(x’, y’)， 则空间任一点P处的光场分布，可以看作曲面S上每点作为次级子波源发 出的非均匀球面波在P点的叠加，由菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式来描 述： ik
ik u ( x, y ) 4
u( x ', y ')
S
e

(1 cos )ds '
该叠加的场分布的振幅在沿z方向上有一个余弦分布。 – 在z点处的振幅为 e( x) 2 E 0 cos 2 z / – 当 z q, q 0,1, 2, 时，振幅有最大值 e max 2 E 0 ，称此位置为 波腹； – 当z 波节；
2

4
(2q 1), q 0,1, 2, 时，振幅有最小值 e min 0 ，称此位置为
T N 纵模数最多只能有： 1 q
10.1.3 腔内的多纵模振荡
• 频率漂移
2 L – 对某个腔内纵模q： – 由此可知，当腔长L或者折射率η发生 变化时，纵模的谐振频率也会发生变化。 q 这种振荡频率随外界环境变化而发生缓 慢变化的现象称为频率漂移。 T 0 – 假设腔内纵模频率会随温度发生变化， 如图所示，当温度为T0时，只有νq能 t0 够振荡；当温度为T1时，νq漂出ΔνT 的范围，而νq+1漂进ΔνT ，则腔内模 式发生了变化，称为跳模现象
– R2穿过O1同时穿过P1镜--非稳。
– 若有两个中心重合，则为临界腔。
R1
O
R2
9.1.3光学谐振腔稳定性判别性
• 稳定性判断ς圆法
–分别以两个反射镜的曲率半径为 直径，圆心在轴线上，作反射镜 的内切圆，该圆称为ς圆； –若两个圆有两个交点，则为稳定 腔； –若没有交点，则为非稳腔； –若只有一个交点或者完全重合， 则为临界腔；
q q
c
G

T
q1 q 2
t1
t
–频率漂移现象都是有害的吗？
课堂测试（3月24日）
1.试画出高阶横模TEM24的模场强度分布。 2. 已知高斯光束的束腰ω0 = 1.2 mm，λ = 1.06 μm。试求（1）束腰处；（2） 与束腰相距30 cm处；（3）与束腰相距3 m 处的q参数和光斑半径。 3.已知入射高斯光束束腰半径为ω0，束腰位置与透镜的距离为l，透镜的焦 距为F，试用ABCD定律推导出射高斯光束束腰位置和半径的表达式。 4. 如图所示谐振腔，求当d /F(F 是透镜焦距)满足什么 条件时，谐振腔为稳定腔。