贝叶斯推断下的条件风险价值研究

2 正态分布 N（ μ， σ ） 的样本似然函数为 n 2 L（ x μ， σ ） =
f（ x ᵑ i =1
2 2 μ， σ ） ∝（σ ） n
－2
n
exp｛ －
n
1 ［ （ n － 1 ） s2 + n （ μ － x ） 2 ］ ｝， 2 σ2
（ 7）
9］ x = 这里采用文献［ 的记号，
1 xi ， （ n － 1 ） s2 = nΣ i =1
∫
f（ x， y） ＞ VaR α
2
2． 1
贝叶斯推断
贝叶斯公式 设样本 X 与参数 θ 的联合分布为 h（ x， θ） = p （ x θ） π（ θ） = π（ θ x ） m（ x ） ， （ 4）
p（ x θ） 为总体分布； π（ θ） 是 θ 的先验分布； π（ θ x） 是 X 的条件后验分布； m（ x） 是 X 的边缘密度 其中， 函数， m（ x） = θ） d θ = ∫ ຫໍສະໝຸດ Baidu （ x ∫ h（ x，
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河南科技大学学报： 自然科学版
2012 年
VaR α = min｛ △p ∈ 瓗 ： ψ（ x， △p ） ≥ α｝ ， CVaR α = E［ f（ x， y） f（ x， y） ≥ VaR α］ = （ 1 － α） 本文中 VaR 及 CVaR 均取正数形式。
－1
（ 2） f（ x， y） p（ y） dy。 （ 3）
［8 ］ 计为后验均值 E （ θ x） = θp（ θ x） dθ 。
∫
2． 2
先验分布的选取
在贝叶斯统计推断中， 选取适当的先验分布尤为重要。一般有共轭先验、 最大熵先验、 无信息先验 等。因共轭先验计算简便， 本文选取共轭先验分布来讨论。 一般假设金融资产的收益率分布近似服从正态分布或对数正态分布 ， 下面， 将对正态分布参数的共 。 轭先验分布进行讨论
［5 ］ 4］ 文献［ 提出了条件风险价值（ CVaR ） 度量工具， 是一种一致性风险度量方法 。因此， 利用 CVaR 来度 。 ， CVaR 量金融市场的风险水平更有效 到目前为止 对 的绝大部分应用和研究都是基于经典统计的推
， 并且假定市场处于正常波动。 然而， 中国金融市场尚不成熟， 市场运行机制经常发生变化， 这使得基于经典统计推断的 CVaR 精度难以得到保证。本文利用贝叶斯推断来计算 CVaR ， 由于贝叶斯 断理论 推断结合了先验信息、 样本信息和总体信息， 估计的结果较准确， 更有利于投资者进行风险管理。
2
2 由贝叶 斯 公 式， 后 验 分 布 p（ μ， σ x ） 可 以 分 解 为 条 件 后 验 密 度 p （ μ σ2 ， x） 和边缘后验密度
p（ σ2 x） 的乘积， 其中， μ σ2 ， x
IGa（
v n v n σ2 n ， ）。 进而得到 μ 的边缘后验密度为 2 2
2 2 t vn （ μ n ， σn ） 。 故 μ 的后验均值为 μ n ， σ 的后验均值为
－ （ 2 +1）
v0
Σ i =1
（ x i － x） 2 。
2 ［8 ］ NIGa（ v0 ， u0 ， k0 ） ， μ， σ 未知时， 共轭先验为正态 － 倒 gamma 分布 ， σ0 ， 联合密度函数为 2 －1 2 p（ μ， σ ） ∝σ （σ ） 2
exp｛ －
1 2 ［ v0 σ 2 ｝， 0 + k0 （ μ － μ0 ） ］ 2 σ2
（ 8）
其中， μ σ2
σ 2 N （ μ0 ， ） ， σ k0
IGa（
v0 v0 σ 2 0 2 ， ）， 且 v0 、 μ0 、 σ0 给定。 在此基础上， 可以得到 μ 的边缘密度为 2 2
νn
2 2 t v0 （ μ 0 ， x2 ， …， x n ） 给定下， IGa（ v n ， un ， k n ） ［9］， σ0 ） 。 所以在样本 X = （ x1 ， μ， σ 的后验分布为 Nσn ， 2 p（ μ， σ x ∝ σ － 1 （ σ2 ） － （ 2 +1）
第 33 卷 第 6 期 2012 年 12 月
河南科技大学学报： 自然科学版 Journal of Henan University of Science and Technology： Natural Science
Vol． 33 No． 6 Dec． 2012
文章编号： 1672 － 6871 （ 2012 ） 06 － 0091 － 04
贝叶斯推断下的条件风险价值研究
王艳彩， 高岳林
（ 北方民族大学 信息与系统科学研究所， 宁夏 银川 750021 ） 摘要： 基于假设的金融资产收益分布， 建立了条件风险价值 CVaR 计算模型， 并对分布的参数采用贝叶斯统计 推断进行估计， 然后利用蒙特卡洛模拟计算 CVaR。选取沪深 300 中的股票数据进行实证分析， 并与经典统计 方法作比较研究， 研究结果表明： 应用贝叶斯推断估计的分布参数更精确， 拟合的分布更符合数据的真实波 提高了 CVaR 度量的准确性。 动， 关键词： 条件风险价值； 贝叶斯推断； 蒙特卡洛模拟 中图分类号： F830 文献标志码： A
［6 ］
1
条件风险价值 CVaR 的描述
为了很好地理解 CVaR ， 这里先给出 VaR 的概念。VaR 是指在市场正常波动下， 某一金融资产或投 资组合在未来特定的一段时间内和一定置信水平下可能发生的最大损失 ， 而条件风险价值 CVaR 是指 7］ ， VaR 即为在一定目标时期内收益或 超过 VaR 的条件均值。在假定收益率分布的情况下， 根据文献［ CVaR 即为超过此分位数的平均损失。 损失分布的分位数， 那么， y） 是在决策向量 x 下的损失函数， 设 f（ x， 其中， 向量 x 可以看成是组合中各资产的头寸或者权重 ， n x∈X瓗 ， X 为可行集。 向量 y 表示影响损失的市场因子， 如市场价格或收益率。 对每一个 x， 由 y 引起 y） 是瓗 上服从某一分布的随机变量。 为方便起见， 假设 y 的概率密度函数为 p（ y） ， 则损失 的损失 f（ x， f（ x， y） 不超过某一阈值 △p 的概率为 ψ（ x， △p ） =
θ θ
θ） π（ θ） d θ。
（ 5）
它与 θ 无关， 因此， 能用来对 θ 进行推断的仅是条件后验分布 π（ θ x） ， 计算公式是 π（ θ x ） = h（ x， θ） = m（ x） p （ x θ） π（ θ）
∫
。
（ 6）
θ
p （ x θ） π（ θ） d θ
在贝叶斯统计中， 基于后验分布就可以对参数 θ 做出推断。 若采用平方损失函数， 则 θ 的贝叶斯估
v0 σ 2 0 t v0 （ μ 0 ， 。 又 σ2 x σ ） ，故 μ 的 均 值 为 μ0 ， 方 差 为 v0 － 2
2 0
v0 σ 2 0 2 ） 2 。 v0 2 v0 （ － 1） （ － 2） 2 2 （ 先验分布中参数的确定可以利用先验矩法、 先验分位数以及两者结合的方法， 本文采用先验矩法来确 2 v0 σ0 2 （ ） v0 σ2 2 0 = S2 ， = S2 v0 ， 定其参数。 则有 μ0 = μ， 通过求解就可以得到 μ0 ， σ0 的估计值。 μ σ2 。 v0 － 2 v0 2 v0 （ － 1） （ － 2） 2 2 3． 2． 2 后验分布参数的确定 IGa（ v n ， un ， k n ） 的参数表达 利用样本数据对后验分布的参数进行估计 ， 样本容量 n = 98 ， 由 Nσn ，
5 2 μi ， 先验方差 S μ Σ i =1
=
5
1 （ μ i － μ） 5 － 1Σ i =1
5
2
2 2 2 2 2 ； 同样 ， …， 可以得到 σ 的几个估计值 σ 1 ， σ2 ， σ5 ， 故σ 的
2 先验方差 S σ2 =
1 2 2 （ σ2 k0 为先验数据中样本点的个数， 即 k0 = 51 ， μ 的边缘密度为 i － σ ） 。 5 － 1Σ i =1 v0 v0 σ 2 0 IGa（ ， ） ， 则 σ2 的 方 差 为 2 2
exp｛ －
1 2 v n σ2 ｝， n + kn （ μ － μn ） ］ 2［ 2σ
（ 9）
其中， μn =
k0 k0 n n 2 2 x， k n = k0 + n ， v n = v0 + n ， v n σ2 （ μ － x） 2 。 μ + n = v0 σ 0 + （ n － 1 ） s + k0 + n 0 k0 + n 0 k0 + n σ 2 N（ μ n ， ） ， σ x kn
∧ v n σ2 n 2 。 为此， 采用平方损失函数， 则 μ， σ 的贝叶斯估计为 μ = μ n ， vn － 2
2 式可得 μ， σ 的后验均值分别为 μ n 和
2 σ =
∧
v n σ2 n 。 vn － 2
0． 002 4 ） ， 以上过程通过 Matlab 编程实现， 得到中国石化的收益分布为 N （ － 0． 006 1 ， 鄂尔多斯的 0． 004 7 ） 。若两只股票的投资比例为［ x1 ， x2 ］ ， 收益分布为 N（ 0． 001 0 ， 由正态分布的可加性知： 组合的
v n σ2 n 。 vn － 2
第6 期
王艳彩等： 贝叶斯推断下的条件风险价值研究
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3
3． 1
实证研究
数据
随机选取沪深 300 中两只股票： 中国石化和鄂尔多斯， 数据截取 2008 年 1 月至 2010 年 12 月的 150 个周收盘价， 收益率的计算方式为每周收盘价的对数收益率 ， 公式为 pt r t = ln ， （ 10 ） p t －1 r t 表示第 t 周的对数收益率； p t 表示第 t 周的收盘价。通过 Excel 软件的函数功能计算出两组对数 其中， 收益率序列， 每组序列包含 149 个分析对象。 收益序列的统计性质见表 1。从表 1 可以看出： 中国石化收益分布的偏度和峰度分别为 － 0． 247 419 ， 3． 841 537 ； 鄂尔多斯收益分布的偏度和峰度分别为 － 0． 135 786 ， 3． 602 348 ； 而正态分布的偏度为 0 ， 峰 3 ， 。 度为 这表明资产的收益分布近似服从正态分布 2009 年至 2010 年的 98 个周 提取 2008 年的 51 个周收益率作为先验分布中参数估计的先验数据 ， 收益率数据作为样本数据。 3 ． 2 收益率分布的参数估计 2 IGa （ v0 ， u0 ， k0 ） 。 有了 2008 年 假设收益率服从正态分布， 参数 μ， σ 的联合共轭先验分布为 Nσ0 ， 再用 2009 年至 2010 年的样本数据得到参数的后验 的先验数据后就可以计算出参数的共轭先验分布 ， 分布。 3． 2． 1 先验分布参数的确定 ［9］ …， 得 到 均 值 μ 的 几 个 估 计 值 μ1 ， μ2 ， μ5 ， 则 μ 的先验均值 μ = 对先验数据进 行 移 动 平 均 ， 1 5
∫
f（ x， y） ＜ △p
p（ y） dy。
（ 1）
作为在 x 固定时 △p 的函数， ψ（ x， △p） 是与 x 对应的损失的累积分布函数。 关于 △p 非减右连续， 由 VaR 和 CVaR 的定义可以得到给定置信水平 α 下的损失对应的 αVaR 与 αCVaR 值分别为
基金项目： 国家社会科学基金项目（ 07XJY038 ） 作者简介： 王艳彩（ 1988 － ） ， 女， 河南安阳人， 硕士生； 高岳林（ 1963 － ） ， 男， 陕西榆林人， 教授， 博士， 研究生导师， 研究方向为金融数 学与金融工程， 最优化理论方法及应用， 智能计算与智能信息处理． 收稿日期： 2011 － 06 － 22
0
前言
近年来， 随着金融市场波动性和系统性风险的加剧 ， 如何对风险进行准确的度量并加以管理已经成 当资产收 为金融行业日益关注的焦点。最基本的风险度量方法是计算资产收益分布的方差或标准差 ， 1］ 益呈对称分布时， 用方差来度量风险是比较可行的。文献［ 于 1952 年提出的均值—方差模型便是建 随着大量金融衍生产品的不断推出 ， 金融资产的收益分布并非对称分布 。20 立在这样的基础上。然而， 2］ 世纪 80 年代末， 文献［ 提出利用下方矩 LPMn 度量风险。1993 年， 三十集团推出了风险价值（ VaR ） 这 ［3 ］ 一度量方法 ， 它能弥补传统风险量化的一些不足， 但不能反映超过 VaR 值的极端损失发生的大小。