3z反变换 PPT

如果能将X(z) 展开成几个简单的分式的和的 形式，而简单形式的z反变换可通过查表2-1直接 求得。
如果能将X(z) 展开成几个简单的分式的和的形式， 而简单形式的z反变换可通过查表2-1直接求得。 也就是：X(z)B A((z z))分 X 解 1(z)＋ X2(z)＋ ...XK(z)
x (n ) z 1 [X (z ) ]z 1 [X 1 (z ) ] z 1 [X 2 (z ) ] . .z . 1 [X K (z )] x 1 (n ) x 2 (n ) . .x .K (n )
3z反变换
第二章 z变换
2.1 引言 2.2 z变换的定义及收敛域 2.3 z反变换 2.4 z变换的基本性质和定理 2.5 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 2.6 序列的傅里叶变换 2.7 傅里叶变换的一些对称性质 2.8 离散系统的系统函数及频率响应
回顾： 2.2 z变换的定义及收敛域
4
z)(z
14)]z1
4
(1/4)n1 1 4n,n1
41/4 15
或记 x(n)作 14 ： nu(n1) 15
（2）当n<-1时， zn+1构成|n+1|阶极点，极点为z=0。
因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为|n+1|阶 极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:
x(n) Re[szn1/(4z)(z14)]z4 4n1 1 4n2,n1 41/4 15
x(n)为因果序列，所以当n<0时，x(n)=0。
只需考虑n≥0时的情况。
X(z)zn1 z n 1 (4 z )( z 1 ) 4
如图所示，取收敛域的一个围线c，可知
当n≥0时, C内有两个一阶极点 z1/4,z4 ， 所以
x(n)
Res[ z
n 1
/(4
z)(z
1 4
)]z 4
Res[ z
z 4, z 1 是极点。 4
z n1对应的一定是零点？
当n10时，zn1对应的是极点
如图所示，取收敛域的一个围线c， 分两种情况讨论： （1）n≥－1时，
zn1不构成极点，所
以这时C内只有一个一阶
极点 z1/4 ，
因此
x(n) Res[zn1 /(4z)(z 14)]z1
4
[zn1(z
1)/(4
0 z ,
za
zb
2.3 z反变换
一. z反变换的定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换
称作z反变换。
记作 x(n) ： Z1[X(z)]
即：z反变换是z变换的逆运算。
例：上一节课，我们算出 x(n)anu(n) 的z变换和收 敛域是： X(z) 1 z ,za
1az1 za
留数定理：
若函数 F(z)X(z)zn1在围线c上连续，在c内有K
个极点zk，在c外有M个极点zm（K,M为有限值）， 则有：
1
2j
cX(z)zn1dzRe[sX(z)zn1]zzk k
或1
2j
cX(z)zn1dzRe[sX(z)zn1]zzm m
Res[]表示极点处的留数。
所以：
x(n)
nபைடு நூலகம்
其中：
Cn21 jcX(z)zn1d,zc(Rx,Rx)
C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.
对比 X(z) C nzn, R xzR x
n
和z变换的定义 X(z) x(n)zn
n
可知： x(n)C n2 1 jcX(z)zn 1d,zc (R x,R x)
但直接计算围线积分比较麻烦，一般都 用留数定理来求解。
2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：
R [X e (z )z s n 1 ]z z r (l 1 1 )d d !l l1 1 z [z( zr)lX (z )zn 1 ]z z r
[例2-5]: 已知 X(z)
z2
, 1z4 ，
(4z)(z1) 4
求z反变换。
4
解: X(z)zn1 z n 1 (4 z )( z 1 ) 4
二、求z反变换的方法： 1、围线积分法（留数法）； 2、部分分式展开法； 3、长除法。
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问
1、围线积分法（留数法）
根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域
0RxzRx内解析，则在此区域可展开 成罗朗级数的形式：
X(z) C nzn, R xzR x
或记 x(n 作 )1： 4n2u( n2) 15
因此 x(n)11115544nn2,,
n1 n2
或记 x (n ) 4 作 nu (n ： 1 ) 4 n 2u ( n 2 ) 15 15
[例2-6]: 已知 X(z) z2 , z 4 ，
(4z)(z1)
求z反变换。
4
解:由收敛域可知，
现作逆运算，已知X(z)和它的收敛域，求x(n). 用什么方法求x(n)? 展开X(z)的定义:
X ( z ) . . x ( 2 . ) z 2 x ( 1 ) z 1 x ( 0 ) z 0 x ( 1 ) z 1 x ( 2 ) z 2 .
求x(n)，实质上是求X(z)的幂级数展开式的系数。
n 1
/(4
z)(z
1 )]
4 z
1 4
1 4n 4n2 , n 0
15
所以：
x(n) 1154n4n2, n0
0
n0
2、部分分式展开法
通常，X(z)可表示成有理分式形式：
M
X(z)B A((zz))1i 0Nbiazizii
b0b1z1...bMzM 1a1z1...aNzN
i1
Re[sX(z)zn1]zzk
k
(利用围线内的 ) 极
或x(n) Re[sX(z)zn1]zzm(围线外的)极点
m
注意：应用第二式计算时，要求 X(z)zn1 的分母 多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上。
求留数的方法：
1、当Zr为一阶极点时的留数：
R [ X ( z ) e z n 1 ] Z s Z r [ z ( z r ) X ( z ) z n 1 ] z z r
几种序列的收敛域及特例：
0 z
Rx z
0 z Rx
n1 0， 0 z n2 0，0 z
Rx z
z | Rx |
Rx zRx
Rx Rx
常用z变换可写成公式形式：
x(n) (n)
X(z) 1
x(n)anu(n)
X(z) z za
x(n)bnu(n1) X (z) z z b