立体几何中的向量方法(5)

例2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点， 作EF ⊥PB交PB于点F。 （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB ⊥平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小。 P
F
E
D
C
A
B
小结
利用空间向量解决立体几何中的问题,首 先要探索如何用空间向量来表示点、直线、平 面在空间的位置以及它们的关系.即建立立体 图形与向量之间的联系,这样就可以将立体几 何问题转化成空间向量的问题.
z
的合力方向向上， 大小为 200 6kg ,作用点为 O.
F
F
1
3
C
F
由于 200 6 500 ,
2
O
所以钢板仍静止不动。
A
x
500kg
B
y
例2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC， E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F。
（1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB ⊥平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小。
F2 200 (
1 , 1 , 12 2
2) 3
z
F
F
3
F3 200 (
1 ,0, 3
2) 3
1
C
O A
F
2
B
y
x
500kg
它们的F1＋ 合 F2力 F3 20[0 ( 1,1, 2)( 1,1, 2)( 1,0, 2)]
122 3 12 2 3 3 3 20(00,0, 6)
这说明，作用在钢板上
D
G
B
C Y
且 P A(1,0,1)E , G (1 2,0,1 2)所P 以 A 2E， GP 即 /A/EG
而 E G 平 E面 ,D 且 PB A 平 E面 DB
所以 P， A //平E 面DB
Z
P
E F
D
C Y
A
G
B
X
（2）证明：依题 B(1意 ,1,0)得 ,PB(1,1,1)
又 D ( E 0 ,1 ,1 )故 ,P• D B 0 E 1 1 0
解决立体几何中的问题,有三种常用方法: 综合方法、向量方法、坐标方法,对具体问题 要会选用合适得方法.
例1、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质
量为500kg,在它的顶点处分别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都
是60°，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多
的数量积运c算 o6s， 01得(x,y,z)•(0,1,0),
cos60 1
2
2
(x, y, z) • ( 3 , 1 ,0), 22
解得 x 1,y1. 12 2
z
F
F
1
3
C
F
2
O
A
B
y
x
500kg
又因 x2为 y2z21,因z此 2 3
所以 F120( 0
1,1, 122
2) 3
类似地
少时，才能提起这块钢板？
F3
分析:钢板所受重力的大
F1
C
小为 500kg ，垂直向下作用在
F2
三角形的中心
O
，如果能将各 uur uur uur
顶点出所受的力 F1 、F2 、F3 用
向量形式表示，求出其合力，A 就能判断钢板的运动状态.
o B
500kg
解：如图，以A为 点原点，平A面BC为xAy坐标
平面A，B方向为y轴正方向A， B为y轴的单位长
建立空间直角坐标 Ax系 y,z则正三角形的顶点
坐标分别A为(0,0,0),B(0,1,0),C( 3, 1,0). 22
z
F
F
1
3
C
F
2
O
A
B
y
x
500kg
设力 F1方向上的单位为 向 (x,量 y,z)坐 , 标
由于 F1与AB,AC的夹角6均 0， 为利用向量
是60°，且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多
少时，才能提起这块钢板？
F3
F1
C
F2
o
A
B
500kg
阅读课本107页
F2
F1
F3
F2 F3 F1
F1 A
F3
F2 C
O
B
500kg
uur uur uur 合力就是以 F1 、 F2 、 F3 为棱的平行六面体的对角线 向量(如图所示)
所以(x,y,z1)k(1,1,1)
Z
(k,k,k)
即 xk,yk,z1k
P
因为 PB•DF0 所(以 1,1,1)•(k,k,1k)
E F
kk1k3k10
所以k 1
3
A
X
D
G
B
C Y
点F的坐标 (1， 1为 ， 2) 又点 E的坐标 (0,1为 ,1)
333
22
所以 FE(1,1,1) 36 6
因为 cos EFD FE • FD FE FD
( 1 , 1 , 1) • ( 1 , 1 , 2) 36 6 3 3 3 6• 6 63
பைடு நூலகம்
1
6 1
3
1 2
所 E 以 F 6 D ,0 即二 C P 面 B D 的 角大 6 .0 小
3.2 立体几何中的向量方法（5）
用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤:
1.建立适当的空间直角坐标系； 2.写出相关点的坐标及向量的坐标； 3.进行相关的计算； 4写出几何意义下的结论.
例1、如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质
量为500kg,在它的顶点处分别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都
P
F
E
D
C
A
B
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， 设DC=1
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依题意得A(1,0,0),P(0,0,1),
Z
11
E(0, , ) 22
P
因为底面ABCD是正方形，
所以点G是此正方形的中心， F
E
故点G的坐标为(1 , 1，0) 22
A X
22
22
所以 PBDE
Z
由已知 EFPB,
且EF DEE,
P
所P 以 B 平E 面FD
E F
D
C Y
A
G
B
X
（ 3）解： PB 已 E,F 由 知2（ ）可 PB 知 D,F 故 EF是 D二C 面 P角 B D的平面角。
设F 的 点坐 (x,y,标 z)则 ,P 为 F (x,y,z1 ) 因为PFkPB