二阶动态电路分析

解： (1) uC , uR , i 和 uL p1 R ( R ) 2 1 268 特征根 2L 2L LC
p2 R ( R ) 2 1 -3732 2L 2L LC
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又

uC (0 ) U 0 U S 10 V
uC (10.77 e 268 t 0.773 e 3732 t ) V
初始条件
duC u C (0), u 'C (0) dt
1 1 i (t ) 0 i (0) 0 C C
零输入响应：上述线性二阶常系数微分方程中 u0C(t)=0 的响应
d 2 uC duC LC RC uC 0 2 dt dt
或
d 2uC R duC 1 uC 0 L dt LC dt 2
RLC 串联电路和 GCL 并联电路为最简单的二阶电路。
2
duC duC d 2 uC VAR : i C , u R Ri RC , u L L di LC dt dt dt dt 2
KVL : uL uC uR uOC (t )
d 2 uC duC LC RC uC uOC (t ) 2 dt dt
C
反映振
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4.特殊情况：R = 0，无阻尼
iL (0) 0, 0 1 , A1 uC (0) , A2 0C LC i L ( 0) 等幅振荡 uC (t ) uC (0) cos 0t C sin 0t 0
i (t ) u (0) C sin t i (0) cos t C 0 0 L 0 L
2L 1 ( R )2 2 2 , 0 0 LC 2 L 1 LC
R , 其中
uC (t ) K1e p1t K 2 e p2t K1e ( j ) t K 2 e ( j ) t
e t ( K1e j t K 2 e j t )
2 2 1
将 A1 , A2 代入 u C (t ), i L (t )
中
i (0) t uC (t ) uC (0) 0 e t cos( t ) L e sin t C 2 0 C t 0 t i (t ) u (0) e sin t iL (0) e cos( t ) C L
③ t < tm ，电感吸收能量（ uLiL > 0 ），建立磁场； t > tm 电 感释放能量（ uL iL < 0 ），磁场逐渐衰减，趋向消失； ④ 整个过程完毕， uC = 0 ,iL = 0 ,uL = 0 。
7
例 7-1：电路如下图所示,US = 10 V, C = 1F, R = 4 k, L = 1 H ，开关 S 原来闭合在触点 1 处，t = 0 时，开关 S 由触点 1 接至触点 2 处，求： (1) uC , uR , i 和 uL (2) imax .
A1 A2 U 0 p1 A1 p2 A2 1 I 0 C
4
I0 p 2U 0 C A1 p 2 p1
I0 p1U 0 C A2 p1 p 2
一 , R 2 L ,非振荡衰减放电过程（过阻尼情况） C
当 R2
L 时，固有频率 p1 和 p2 是两个不相等的负实根 C
等幅振荡
5.电路的零输入响应的性质,取决于电路的固有频率 p ，p 为 实数，复数或虚数，决定了响应为非振荡，衰减振荡或等幅振荡。 17
例7-4：RLC串联电路中, R = 1 , L = 1 H , C = 1 F, uC(0) =1 V , i (0) = 1 A ， 试求零输入响应 uC(t) 及 iL(t) 。 解： 1, 2 R ( R ) 2 1 1 j 3 j p 2L 2L LC 2 2 uC (t ) e t ( A1 cos t A2 sin t )
其中
0 , tg
2 2 -1
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1.uC(t) 是衰减振荡，它的振幅 A e- t 随时间作指数衰减， 为衰减系数， 越大，衰减越快； 2. 为衰减振荡角频率， 越大，振荡周期越小，振荡加快；
3. R 2 L 时，响应是振荡性，称为欠阻尼情况，
幅的衰减情况， 为振荡的角频率。
cos( 3 t ) V t 0 2 3 1 t iL (t ) 2e 2 cos( 3 t ) A t 0 2 3
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例7-5：LC 振荡回路中， L = 1/16 H , C = 4 F, uC(0) =1 V , i (0) = 1 A ， 试求零输入响应 uC(t) 及 iL(t) 。 解：电路方程 特征方程 特征根
p1 p2CU 0 p1t I0 p2 t iL (e e ) ( p1e p1t p2 e p2t ) p2 p1 p2 p1
1．设 uC(0) = U0, i (0) = 0
U0 uC (t ) ( p2e p1t p1e p2t ) p2 p1 p1 p2CU 0 p1t U0 p2t iL (t ) (e e ) (e p1t e p2t ) p2 p1 L( p2 p1 )
p1 0.382 , p2 2.618
10
b,
c,
uC (0) A1 A2 0 uC ' (0) A1 p1 A2 p2 1
A1 0.447 A2 0.447
V t0
uC (t ) 0.447 e 0.382 t 0.447 e 2.618 t
e t K1 (cos t j sin t ) K 2 (cos t j sin t )
e t ( K1 K 2 ) cos t j ( K1 K 2 ) sin t
e t ( A1 cos t A2 sin t )
解：根据前述结果
a, p1, 2 R ( R ) 2 1 3 1 2L 2L LC
p1 2, p2 4
12
b,
c,
uC (0) A1 A2 2 ' iL (0) uC (0) A1 p1 A2 p2 C 4
uC (t ) 6 e 2 t 4 e 4 t V
3
特征方程
特征根
p2 R p 1 0 L LC
p1, 2 R ( R ) 2 1 2L 2L LC
称为固有频率
p2t
解 为 ： u C (t )
A1e
p1t
A2 e
这里：p1 和 p2 是特征根，仅与电路结构及参数有关； du 积分常数A1 和 A2 决定于uC 的初始条件 uC (0 ) 和 C dt 0 给定初始条件: uC(0) = U0, i(0) = I0
A1 6 A2 4
t 0
duC iL (t ) C 4 e 4t 3 e 2 t dt
A
t 0
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二. R 2
L ，衰减振荡放电过程（欠阻尼情况） C L 如果 R 2 ，则固有频率为共轭复数 C
p1, 2
R R 2 1 R 1 R 2 ( ) j ( ) j 2L 2L LC 2L LC 2 L
R R 2 1 ( ) p1 2L 2L LC p R ( R )2 1 2 2L 2L LC
p1 p 2
1 LC

uC A1e p1t A2 e p2t
5
U0 I0 p1t p2t uC ( p2e p1e ) (e p1t e p2t ) p2 p1 ( p2 p1 )C
A1 K1 K 2 , A2 j ( K1 14 2 ) K
e t
A1 A2 cos( t )
2 2
Ae t cos( t )
A2 A A1 A2 , tg , 90 , tg 1 A1 这里：uC (0) A1 , uC ' (0) A1 A2 1 iL (0) C 故 A1 uC (0), A2 1 uC (0) 1 iL (0) C
例7-2：前述电路中, C = 1 F, L = 1 H , R = 3 , uC(0) = 0, i (0) = 1 A ，t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 uC(t) 及 iL(t)。 解：利用前述结果
a,
p1, 2 R ( R ) 2 1 1.5 （ .5） 1 1 2 2L 2L LC
iL (t ) 0.171 e 0.382 t 1.17 e 2.618 t
A
t 0
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3. 设 uC(0) = U0, i L(0) = I0 例7-3：前述电路中, C = 0.25 F, L = 0.5 H , R = 3 , uC(0) =2 V , i (0) = 1 A ，t 0 时，uOC(t) = 0 , 试求 uC(t) 及 iL(t) 。
第 7章
二阶动态电路分析
主 要 内 容
1. 分析二阶电路过渡过程的经典法； 2. 二阶动态电路的零输入响应、零状态响应、全响应；
3. 二阶动态电路的阶跃响应、冲激响应；
1
§7-1 二阶电路的零输入响应
二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路
在二阶电路中，给定的初始条件应有两个，它们由储能元件
的初始值决定。
imax i t t 2.89(e268t e3732 t )
m
t tБайду номын сангаасm
2.19 mA
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2．设 uC(0) = 0, i (0) = I0
I0 uC (t ) (e p1t e p2t ) ( p1 p2 )C
I0 iL (t ) ( p1e p1t p2 e p2t ) p2 p1 LI 0 diL 2 2 u L (t ) L ( p1 e p1t p2 e p2t ) dt p1 p2
d 2 uC 1 uC 0 LC dt 2
p2 1 0 LC
p1.2 j
1 j j 2 0 LC
i 2.89 (e 268 t e 3732t ) mA
u R R i 11.56(e 268 t e 3732t ) V
uL L di (10.77 e 3732t 0.773 e 268 t ) V dt
(2) imax
1 ln p2 7.6 10 4 S 760 S tm p1 p2 p1
uC (0) A1 1 ' uC (0) A1 A2 1 iL (0) 1 C
A1 1, A2
uC (t ) e
1 t 2
3
(cos 3 t 3 sin 3 t ) V t 0 2 2
1 t 2
或 uC (t ) 2e
U0 diL u L (t ) L ( p1e p1t p2 e p2t ) dt p2 p1
p1 p2 , e p2t 衰减得快， p1t 衰减得慢，故 e p1t e p2t 0 e 由于 6
① uC , iL 始终不改变方向， uC iL < 0, 电容放电； ② uL 改变一次方向，t = tm 时， uL = 0 ；