专题七 规律探索型问题

专题七规律探索型问题

考点梳理：探索规律型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”、“计算规律”、“图形规律”与“动态规律”等题型，近年来关于数列与图形排列规律的题目越来越多．

1．数列规律

数列规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．

2．计算规律

计算规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，然后通过适当的计算(主要以等差数列的计算为主)回答问题．

3．图形规律

图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．

4．动态规律

动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．一、课前导学

1．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为________.

2．观察下列算式：

①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1；④________；….

(1)请你按以上规律写出第4个算式；

(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；

(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．

3．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，

每次移动1个单位，其行走路线如图所示．

(1)填写下列各点的坐标：A1(______，______)，

A3(______，______)，A12(______，______)；

(2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；

(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．

4．如下数表是由从1开始的连续自然数组成的， 观察规律并完成各题的解答．

(1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数______的 平方，第8行共有______个数；

(2)用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是_____，最后 一个数是_____，第n 行共有____个数； (3)求第n 行各数之和．

二、中考典例讲解

1、一组按规律排列的数： (32)

362125,121659，

，，，请推断第n 个数是__________. 2、如图，将n 个边长都为1 cm 的正方形按如图所示摆放，点

A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠 部分的面积和为________．

3、在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝

1

2

∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ．

⑴当AB ＝AC 时，（如图13）， ①∠EBF ＝_______°；

②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明； ⑵当AB ＝kAC 时（如图14），求BE

FD

的值（用含k 的式子表示）．

图3

图4

A

B

C

D E

F

F E D

C

B

A

4、如图①至④中，两平行线AB，CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．

思考如图①，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)．其直径MN在AB上，MN ＝8，点P为半圆上一点，设∠MOP＝α.

当α＝________度时，点P到CD的距离最小，最小值为________．

探究一在图①的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图②，得到最大旋转角∠BMO＝________度，此时点N 到CD 的距离是________．

探究二将图①中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD 之间顺时针旋转．

(1)如图③，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；

(2)如图④，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．

三、课堂反馈

1．如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2 010个图案是()

2、观察下列算式：31＝3,32＝9,33＝27,34＝81,35＝243,36＝729,37＝2 187,38＝6 561，…通过观察，用你所发现的规律确定32 012的个位数字是()

A．3 B．9 C．7 D．1

3、填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是()

A．38 B．52 C．66 D．74

4、在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，

正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行

于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形

内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的

正方形内部的整点的个数为()

A．65 B．49 C．36 D．25

5、观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个★.

6、甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1.当报到的数是50时，报数结束；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．

在此过程中，甲同学需拍手的次数为____________．

7、如图，直线y=3x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2x的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A5的坐标为（）．

四、课堂小结：本节课你有什么收获？

五、作业布置：1、完善本节课讲义；

2、预习专题8