2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学5-1

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第五章 数 列
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二、注意数列的两个性质 (1)单调性——若 an＋1>an，则{an}为递增数列；若 an
＋1
<an，则{an}为递减数列．否则为摆动数列或常数数列． (2)周期性——若 an＋k＝an(n∈N*， 为非零常数)， k 则
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{an}为周期数列，k 为{an}的一个周期．
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●备考指南 1．数列是一种特殊的函数，要善于利用函数的思想 来解决数列问题． 2．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解 决此类问题需要抓住基本量 a1、d(或 q)，常通过“设而 不求，整体代入”来简化运算．
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第五章 数 列
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3．分类讨论的思想在本章尤为突出，如等比数列求 和时，公式 q≠1 与 q＝1 等．学习时考虑问题要全面． 4．等价转化在数列中的应用．如通过 an 与 Sn 之间 的关系，将一些数列转化成等差(比)数列来解决等．复习 时要及时总结归纳． 5．灵活应用定义和等差(比)数列的性质是学好本章 的关键．
第5章 第一节
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解析：(1)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 2n－1 21,22,23,24，„，所以 an＝ n . 2 (2)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n
＋1
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表示，其各项的
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绝对值的排列规律为： 后面的数的绝对值总比前面数的绝 对值大 6，故通项公式为 an＝(－1)n(6n－5)．
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(5)偶数项为负， 奇数项为正， 故通项公式必含因子(－ 1)n＋1， 观察各项绝对值组成的数列， 从第 3 项到第 6 项可 见，分母分别由奇数 7,9,11,13 组成，而分子则是 3 ＋1,4
2 2
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＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第 1、2 两项可改写为 12＋1 22＋1 n2＋1 ＋ ，－ ，所以 an＝(－1)n 1· . 2＋1 2· 2＋1 2n＋1
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(3)形如 an＋1＝an＋f(n)的条件求通项公式，可用累加 法． an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„„＋(a2－a1)＋a1 (4)形如 an＝an－1f(n)的数列求通项可用累乘法：an＝ an an－1 a2 · „· · . a an－1 an－2 a1 1
版第5章第一节Fra bibliotek高考数学总复习
2n－1 5 n 答案：(1)an＝ n ；(2)an＝(－1) (6n－5)；(3)an＝ 2 9 2n n＋1 n ＋1 (10 －1)；(4)an＝ ；(5)an＝(－1) · . 2n－12n＋1 2n＋1
n 2
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(理)根据数列的前几项，写出下列各数列{an}的一个 通项公式： 1 9 17 33 (1)1， ， ， ， ，„，an＝________. 3 35 63 99 3 2 5 3 7 4 (2)－ ， ，－ ， ，－ ， ，„，an＝________. 7 5 13 8 19 11 (3)0.8,0.88,0.888，„，an＝________. 1 1 5 13 29 61 (4) ， ，－ ， ，－ ， ，„，an＝________. 2 4 8 16 32 64 3 7 9 (5) ，1， ， ，„，an＝________. 2 10 17
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●命题趋势 主要命题热点： 1．an 与 Sn 的关系 2．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等 比数列的性质、求和公式． 3．简单的递推数列及归纳、猜想、证明问题． 4．数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何综 合问题． 5．数列应用题． 6．探究性问题．
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2．倒序相加法 如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的 和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前 n 项和即 可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和即是用此法推 导的．
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3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比 数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前 n 项和 可用“乘公比，错位相减”法进行．如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的．
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(3)先联想数列 1,11,111,1111，„的通项，它又与数列 9,99,999,9999，„的通项有关，而 5 n an＝ (10 －1)． 9 (4)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分 母可分解为 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11„，每一项都是两 个相邻奇数的乘积．经过组合，则所求数列的通项公式 2n an＝ . 2n－12n＋1 ＝10n－1，于是
当自变量 n 从 1 开始依次取正整数时所对应的一列函数 值 f(1)，f(2)，„，f(n)，„.
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2．数列的通项公式
项数 n 一个数列 an 的第 n 项 an 与________之间的函数关
系，如果可以用一个公式 an＝f(n)来表示，这个公式叫做 这个数列的通项公式．
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(1)形如 Sn＝aan＋b 的条件求通项公式时，首先考虑
S 1 公式：an＝ Sn－Sn－1
n＝1 n≥2
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(2)形如 an＋ 1 ＝pan＋q 的条件求通项公式可用配凑 法、换元法等． 此种类型递推数列，都能转化为等比数列{an＋x}， 其中 x 的确定方法： 假设 an＋1＋x＝p(an＋x)， an＋1＝pan 则 q ＋(p－1)x，∴(p－1)x＝q，∴x＝ (p≠1 时)． p－1
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一、求数列的通项公式常见的有以下三种类型 1．已知数列的前几项，写出一个通项公式． 依据数列前几项的特点归纳出通项公式： 方法是依据 数列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：① 定符号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规 律，④综合写出项与项数的关系．
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由数列的前几项写出数列的一个通项公式
[例 1] (文)根据下面各数列的前几项的值，写出数列的
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一个通项公式： 1 3 7 15 31 (1) ， ， ， ， ，„； 2 4 8 16 32 (2)－1,7，－13,19，„； (3)5,55,555，„； 2 4 6 8 10 (4) ， ， ， ， ，„； 3 15 35 63 99 2 10 17 26 37 (5) ，－1， ，－ ， ，－ ，„. 3 7 9 11 13
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要特别注意以下数列特点： (1)自然数列 (2)奇数列 自然数的平方列． 偶数列
n
(3)an＝(－1)
1 an＝ [1＋(－1)n] 类 2 nπ an＝cos . 2
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nπ (4)an＝sin 2
k n (5)an＝ (10 －1)(k＝1,2，„，9)类． 9


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二、数列的分类 1．按照项数是有限还是无限分：有穷数列与无穷数 列． 2．按照项与项之间的大小关系分：递增数列、递减 数列、摆动数列和常数列．
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三、an 与 Sn 的关系 设数列{an}前 n 项和 Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an， 则
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4．裂项相消法 如果数列的通项可以表达成两项之差，各项随 n 的 变化而变化， 前后项相加可以相互抵消就用裂项相加相消 法． 5．分组求和法 当一个数列的通项由几个项构成， 各个项构成等差或 等比数列时，可分为几个数列分别求和再相加．
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重点难点 重点：数列的定义和通项公式． 难点：正确运用数列的递推关系解答数列问题．
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知识归纳 一、数列的概念 1．数列的定义 数列是按一定次序排成的一列数， 从函数观点看， 数
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正整数集(或它的有限子集) 列是定义域为__________________________的函数 f(n)，
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●课程标准 1．数列的概念和简单表示法 通过日常生活中的实例， 了解数列的概念和几种简单 的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特 殊函数．
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2．等差数列、等比数列 ①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念． ②探索并掌握等差数列、 等比数列的通项公式与前 n 项和的公式． ③能在具体的问题情境中， 发现数列的等差关系或等 比关系，并能用有关知识解决相应的问题． ④体会等差数列、 等比数列与一次函数、 指数函数的 关系．
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8 8 8 (3) 将 数 列 变 形 为 (1 － 0.1) ， (1 － 0.01) ， (1 － 9 9 9 0.001)，„， 1 8 ∴an＝ 1－10n. 9
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(4)各项的分母分别为 21,22,23,24，„易看出第 2,3,4 项 2－3 的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－ ， 至此原 2 21－3 22－3 23－3 24－3 数列已化为－ 1 ， 2 ，－ 3 ， 4 ，„， 2 2 2 2 2n－3 ∴an＝(－1)n· n . 2
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要注意理顺其大小规律 8 32 4 8 16 如：2，－ ，4，－ ，„先变化为： ，－ ， ， 3 5 2 3 4 32 － ，„. 5 2．已知数列的递推关系求其通项公式：一般是采用 “归纳—猜想—证明”， 有时也通过变形转化为等差、 等 比数列进行处理．
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(2)这是一个与(－1)n 有关的数列，可将数列写成 3 4 5 6 7 8 － ， ，－ ， ，－ ， ，„ 7 10 13 16 19 22 可知分母组成以 3 为公差的等差数列，分子为以 3 为首项，1 为公差的等差数列，因此其通项公式为： n＋2 an＝(－1) . 3n＋4
n
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解析：(1)将数列写成： 3 5 9 17 33 ， ， ， ， ，„ 1×3 3×5 5×7 7×9 9×11 观察分子、分母与项数 n 之间的联系，易知： 2n＋1 其通项公式为 an＝ . 2n－12n＋1
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S n＝1， 1 an＝ Sn－Sn－1n≥2.
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误区警示 1．数列与数集应予区别，数列中的数排列有序，数 集中的元素无序； 数列中的数可重复出现， 数集中的元素 互异． 2． 并不是每一个数列都有通项公式， 给出前 n 项时， 写出的通项公式可以不止一个．
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三、数列求和方法 1．公式法 (1)直接用等差、等比数列的求和公式求． (2)了解一些常见的数列的前 n 项和． 1 1＋2＋3＋„＋n＝ n(n＋1)； 2 1＋3＋5＋„＋(2n－1)＝n2； 1 1 ＋2 ＋3 ＋„＋n ＝ n(n＋1)(2n＋1)． 6
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6． 要善于总结基本数学方法(如类比法、 倒序相加法、 累加法、 错位相减法、 待定系数法、 归纳法、 数形结合法、 构造法)，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效 果．
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第 一节
数列的概念
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3 ． 已 知 {an} 的 前 n 项 和 Sn 求 an 时 ， 用 an ＝
S 1 Sn－Sn－1
n＝1 求解应注意分类讨论．an＝Sn－Sn－1 是 n≥2
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在 n≥2 条件下求出的，应检验 a1 是否适合．如果适合， 则合写在一块，如果不适合，则分段表示．