量子通信 第六章量子信道
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第六章 量子信道
主要内容
6.1 量子信道概述 6.2 量子信道的算子和模型 6.3 特定量子信道的模型 6.4 光纤量子信道 6.5 自由空间量子信道
6.1 量子信道概述
6.1.1 量子信道的酉变换表示和测量算子表示 6.1.2 量子信道的公理化表示
6.1.1 量子信道的酉变换表示和测量算子表示
6.2.2量子信道的算子和模型
给定开放量子系统的描述，即可确定其动力学过程的算
子和表示。若系统-环境变换运算用U表示，设环境的
一组基矢为 ek ，则运算元为
Ek ek U e0
（6-12）
如果可以获得量子状态的信息，同时在酉交互作用后在
系统-环境复合系统上可以执行测量，有可能进一步来
扩展这个结果。因此，这种物理上的可能性与非保迹量
若输入量子状态的密度算子为 ，输出量子态 的密度算子为 ' ，则量子信道可表述为映射：
即经过信道后，映' 射 (为) 。
（6- 1）
'
（1）量子信道的酉变换表示
若信道对量子态的变换可用酉算子U表 示，则称 () U U †为信道的酉变换表示形式， 经过信道后状态 变为 。U输入输出过程 如图6.1所示，其中酉变化可以用一个量子 线路来实现。
PmU ( )U †Pm
tr(PmU ( )U †Pm )
对环境E取迹，则Q得最终状态为
（6-13）
trE (PmU ( )U †Pm ) tr(PmU ( )U †Pm )
（6-14）
Q Q
Q'
PmU
E
定义映射
图6.3 量子运算的环境模型
m ( ) trE (PmU ( )U †Pm )
U
U U †
图6.1 封闭量子系统的酉变换
这里的酉变换表示适合于封闭量子系统。实 际上，主系统一般处于开放环境，为开放量 子系统，系统往往受到环境的影响。对于开 放量子系统，可以将携带信息的主系统与环 境构成一个封闭量子系统，进而研究主系统 与环境的交互作用，如图6.2所示，主系统 密度算子为 ，环境用 表e示nv ，输出为 。
若将信道对量子态的作用看作测量，且测量
算子为 M m
，则m ()
M
m
M
† 为用测量算子描述
m
的信道模型。系统在测量后的状态 m () ，
获得这个结果的概率为
p(m)
tr
(
m
(
tr (
))
m (
。
))
6.1.2 量子信道的公理化表示
量子信道的公理化表示，与前述方法相比较 为抽象，但适用范围更广。如前所述，量子 信道定义为从输入空间 Q1 的密度算子集合到 输出空间 Q2 的密度算子集合的一个映射，该 映射具有以下性质
()
U
env
图6.2 开放量子系统的组成
系统与环境复合系统的输入状态为直积 env ，经过变 化U后，通过对环境做偏迹，可得到主系统的状态，即
trenv U env U †
（6-2）
这种方法虽然便于理解信道与环境的交互过程，但数学
表达式比较复杂，不易应用
（2）量子信道的测量算子描述
子运算存在自然联系，也即映射 () Ek Ek† 使得
。 Ek†Ek I
k
k
设主系统初始处于状态 ，用Q表示主系统，用E表示 环境。假设Q和E初始时独立且E开始时处于某个标准状 态 ，则系统复合态的初态为 QE 。假设系统依据
酉算子U来交互作用，在酉交互后，在复合系统上执行 投影测量 Pm 。一个特例是不进行测量时，对应于投影 算子 P0 I 的单个测量结果为 m 0 。如图6.3，对应于 测量结果m，QE的最终状态为
jk
（6-16）
其中Ejk qj ek PmU j ,该方程是式（6-5）的推广。它
(A) 对任意半正定算子A必为是半正定的。进 而，引入一个任意维的附加系统R，则有下 述结果பைடு நூலகம் A 对组合系统 RQ1上的任意算
子A必为正的，其中 表示系统R上的单位映 射。
6.2 量子信道的算子和模型
6.2.1 量子信道的算子和表示 6.2.2 量子信道的算子和模型
6.2.1 量子信道的算子和表示
Ek†Ek I
（6-6）
满足这个约束k的量子信道称为保迹（tracepreserving）
的量子信道
接下来看看式（6-5）的物理含义，设在酉变换以后，
在基 ek 下对环境进行测量，这一测量仅影响环境的状态， 而不改变主系统的状态。令 为结k果 出现k 时的主系 统状态，于是
ktrE ( ek ek U ( e0 )U † ek ek ) ek U ( e0 e0 )U † ek Ek Ek†
公理1：当初始状态为 时，tr[m ()] 表示由 表
征的过程出现的概率，
0 tr[m ()] 1
公理2：若 为密度矩阵集合上的一个凸线性映
射，即对概率{Pi} ，有
( i pi ) pi (i )
i
i
公理3：若 为完全正定映射，即如果 将 Q1
上的密度算子映射到 Q2 上的密度算子，则
（6-8）
归一化 k ，有
k
E k Ek† tr(Ek Ek† )
（6-9）
可见，得出结果 k 的概率为
P(k) tr( ek ek U ( e0 e0 )U † ek ek )
tr(Ek Ek† )
（6-10）
( ) p(k)k Ek Ek†
k
k
（6-11）
由（6-10）可见，量子信道映射的作用等价于 给输入 ，输出随机地以概率 tr(Ek Ek†) 变 为 。 Ek Ek† / tr(Ek Ek† )
（6-15）
于是Q得最终状态为 m () / tr(m ()) ，其中tr[m()]是出现测量结
果为m得概率。令 qj j j 为对 的一个分解，对系 j
统E引入一个正交基 ek ，由于
m () qjtrE ( ek ek PmU ( j j )U †Pm ek ek )
jk
Ejk E†jk
令ek 为环境的有限维状态空间上的一个标准正 交基，密度算子env e0 e0 为环境的初始状态，且 为纯态，则式（6-2）可写为
ek U e0 e0 U † ek k
Ek Ek†
k
（6-5）
上式满足完备性关系：
tr
tr
k
Ek
Ek†
tr
Ek†
Ek
1
k
完备性关系对所有 都成立，故
主要内容
6.1 量子信道概述 6.2 量子信道的算子和模型 6.3 特定量子信道的模型 6.4 光纤量子信道 6.5 自由空间量子信道
6.1 量子信道概述
6.1.1 量子信道的酉变换表示和测量算子表示 6.1.2 量子信道的公理化表示
6.1.1 量子信道的酉变换表示和测量算子表示
6.2.2量子信道的算子和模型
给定开放量子系统的描述，即可确定其动力学过程的算
子和表示。若系统-环境变换运算用U表示，设环境的
一组基矢为 ek ，则运算元为
Ek ek U e0
（6-12）
如果可以获得量子状态的信息，同时在酉交互作用后在
系统-环境复合系统上可以执行测量，有可能进一步来
扩展这个结果。因此，这种物理上的可能性与非保迹量
若输入量子状态的密度算子为 ，输出量子态 的密度算子为 ' ，则量子信道可表述为映射：
即经过信道后，映' 射 (为) 。
（6- 1）
'
（1）量子信道的酉变换表示
若信道对量子态的变换可用酉算子U表 示，则称 () U U †为信道的酉变换表示形式， 经过信道后状态 变为 。U输入输出过程 如图6.1所示，其中酉变化可以用一个量子 线路来实现。
PmU ( )U †Pm
tr(PmU ( )U †Pm )
对环境E取迹，则Q得最终状态为
（6-13）
trE (PmU ( )U †Pm ) tr(PmU ( )U †Pm )
（6-14）
Q Q
Q'
PmU
E
定义映射
图6.3 量子运算的环境模型
m ( ) trE (PmU ( )U †Pm )
U
U U †
图6.1 封闭量子系统的酉变换
这里的酉变换表示适合于封闭量子系统。实 际上，主系统一般处于开放环境，为开放量 子系统，系统往往受到环境的影响。对于开 放量子系统，可以将携带信息的主系统与环 境构成一个封闭量子系统，进而研究主系统 与环境的交互作用，如图6.2所示，主系统 密度算子为 ，环境用 表e示nv ，输出为 。
若将信道对量子态的作用看作测量，且测量
算子为 M m
，则m ()
M
m
M
† 为用测量算子描述
m
的信道模型。系统在测量后的状态 m () ，
获得这个结果的概率为
p(m)
tr
(
m
(
tr (
))
m (
。
))
6.1.2 量子信道的公理化表示
量子信道的公理化表示，与前述方法相比较 为抽象，但适用范围更广。如前所述，量子 信道定义为从输入空间 Q1 的密度算子集合到 输出空间 Q2 的密度算子集合的一个映射，该 映射具有以下性质
()
U
env
图6.2 开放量子系统的组成
系统与环境复合系统的输入状态为直积 env ，经过变 化U后，通过对环境做偏迹，可得到主系统的状态，即
trenv U env U †
（6-2）
这种方法虽然便于理解信道与环境的交互过程，但数学
表达式比较复杂，不易应用
（2）量子信道的测量算子描述
子运算存在自然联系，也即映射 () Ek Ek† 使得
。 Ek†Ek I
k
k
设主系统初始处于状态 ，用Q表示主系统，用E表示 环境。假设Q和E初始时独立且E开始时处于某个标准状 态 ，则系统复合态的初态为 QE 。假设系统依据
酉算子U来交互作用，在酉交互后，在复合系统上执行 投影测量 Pm 。一个特例是不进行测量时，对应于投影 算子 P0 I 的单个测量结果为 m 0 。如图6.3，对应于 测量结果m，QE的最终状态为
jk
（6-16）
其中Ejk qj ek PmU j ,该方程是式（6-5）的推广。它
(A) 对任意半正定算子A必为是半正定的。进 而，引入一个任意维的附加系统R，则有下 述结果பைடு நூலகம் A 对组合系统 RQ1上的任意算
子A必为正的，其中 表示系统R上的单位映 射。
6.2 量子信道的算子和模型
6.2.1 量子信道的算子和表示 6.2.2 量子信道的算子和模型
6.2.1 量子信道的算子和表示
Ek†Ek I
（6-6）
满足这个约束k的量子信道称为保迹（tracepreserving）
的量子信道
接下来看看式（6-5）的物理含义，设在酉变换以后，
在基 ek 下对环境进行测量，这一测量仅影响环境的状态， 而不改变主系统的状态。令 为结k果 出现k 时的主系 统状态，于是
ktrE ( ek ek U ( e0 )U † ek ek ) ek U ( e0 e0 )U † ek Ek Ek†
公理1：当初始状态为 时，tr[m ()] 表示由 表
征的过程出现的概率，
0 tr[m ()] 1
公理2：若 为密度矩阵集合上的一个凸线性映
射，即对概率{Pi} ，有
( i pi ) pi (i )
i
i
公理3：若 为完全正定映射，即如果 将 Q1
上的密度算子映射到 Q2 上的密度算子，则
（6-8）
归一化 k ，有
k
E k Ek† tr(Ek Ek† )
（6-9）
可见，得出结果 k 的概率为
P(k) tr( ek ek U ( e0 e0 )U † ek ek )
tr(Ek Ek† )
（6-10）
( ) p(k)k Ek Ek†
k
k
（6-11）
由（6-10）可见，量子信道映射的作用等价于 给输入 ，输出随机地以概率 tr(Ek Ek†) 变 为 。 Ek Ek† / tr(Ek Ek† )
（6-15）
于是Q得最终状态为 m () / tr(m ()) ，其中tr[m()]是出现测量结
果为m得概率。令 qj j j 为对 的一个分解，对系 j
统E引入一个正交基 ek ，由于
m () qjtrE ( ek ek PmU ( j j )U †Pm ek ek )
jk
Ejk E†jk
令ek 为环境的有限维状态空间上的一个标准正 交基，密度算子env e0 e0 为环境的初始状态，且 为纯态，则式（6-2）可写为
ek U e0 e0 U † ek k
Ek Ek†
k
（6-5）
上式满足完备性关系：
tr
tr
k
Ek
Ek†
tr
Ek†
Ek
1
k
完备性关系对所有 都成立，故